人教版高中数学选修第一册第9章函数练习题及答案

人教版高中数学选修第一册第9章函数练习题及答案第1页共1页人教版高中数学选修第一册第9章函数练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=2^x-1，则f^{-1}(3)的值为（）A.2B.4C.5D.8参考答案：C2.函数y=log_2(x+1)的定义域为（）A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)参考答案：B3.函数y=|x-2|在区间[1,3]上的最小值为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B4.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f(-1)f(1)的值一定为（）A.a^2-b^2B.c^2-b^2C.-c^2D.-b^2参考答案：C5.函数y=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π参考答案：A6.函数f(x)=x/(x-1)在点(2,2)处的切线方程为（）A.y=xB.y=2xC.y=x-2D.y=2x-2参考答案：A7.已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则b的值为（）A.-2B.-1C.1D.2参考答案：A8.函数y=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，则b的取值范围是（）A.b≤1B.b1C.b≥1D.b1参考答案：A9.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C10.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]∪[1,+∞)D.(-∞,+∞)参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程为______。参考答案：x=22.函数y=1/(x-1)在点(2,1)处的切线斜率为______。参考答案：-1/23.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：34.函数y=sin(2x)的最小正周期为______。参考答案：π5.函数y=log_2(x-1)的定义域为______。参考答案：(1,+∞)6.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是______。参考答案：a07.函数y=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，则b的取值范围是______。参考答案：b≤08.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值为______。参考答案：89.函数y=|x-2|在区间[1,3]上的最小值为______。参考答案：110.已知函数f(x)=2^x-1，则f^{-1}(3)的值为______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。参考答案：×2.若函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增，则a1。参考答案：√3.函数y=|x|在定义域内处处可导。参考答案：×4.函数y=e^x-1在(-∞,+∞)上单调递增。参考答案：√5.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=3。参考答案：√6.函数y=tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数。参考答案：×7.函数y=arcsin(x)+arccos(x)的值域是[0,π]。参考答案：√8.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则判别式Δ=0。参考答案：√9.函数y=2^x-1在R上存在反函数。参考答案：√10.函数y=sin(x)cos(x)的最大值是1/2。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)的单调递增区间。参考答案：[2,+∞)2.函数g(x)=1/(x-1)在哪个区间内单调递减？参考答案：(1,+∞)3.判断函数h(x)=|x-2|+1在定义域R上是否为偶函数，并说明理由。参考答案：是偶函数4.函数y=log_2(x+1)的反函数是什么？请写出反函数的解析式。参考答案：y=log_2(x-1)+1,x15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点。参考答案：x=16.函数y=e^x在区间(0,1)上的平均变化率是多少？参考答案：17.若函数m(x)=ax+b与函数n(x)=x^2在x=1处相切，求a和b的值。参考答案：a=2,b=-38.函数p(x)=|x|在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值2，最小值0五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市为缓解交通压力，计划修建一条新的地铁线路。已知这条线路的总长度为60千米，计划工期为3年。假设工程进度均匀，且每年完成的工程量相同。请问，平均每年需要完成多少千米的工程量？如果实际施工过程中，第一年完成了20千米，第二年完成了18千米，那么第三年需要完成多少千米才能按原计划完成整个工程？参考答案：20千米，40千米2.某科技公司研发了一种新型电池，其容量（单位：毫安时）随充电时间（单位：小时）的变化规律可以用函数y=500(1-e^(-0.1x))表示。请问，当充电时间x分别为2小时和5小时时，电池的容量分别是多少？参考答案：432.5毫安时，492.5毫安时3.某工厂生产一种产品，其成本函数（单位：元）为C(x)=50x+2000，其中x为产量。如果产品的售价为每件80元，那么当产量x分别为100件和200件时，工厂的利润分别是多少？参考答案：3000元，6000元4.某商场进行促销活动，规定购买商品满200元可以享受8折优惠。小明购买了一件价值250元的商品，请问他实际需要支付多少元？参考答案：200元5.某城市自来水公司按照阶梯水价收费，第一档水费为每立方米2元，第二档水费为每立方米3元。如果某户家庭某月用水量为50立方米，请问该户家庭该月的水费是多少元？参考答案：170元6.某公司投资一个项目，预计投资回报率（单位：%）随投资年限（单位：年）的变化规律可以用函数y=10-2x表示。请问，当投资年限x分别为3年和5年时，投资回报率分别是多少？参考答案：4%，0%7.某学校组织学生进行社会实践，计划将学生分成若干小组，每个小组人数相同。如果学生总数为120人，且每个小组至少有5人，请问最多可以分成多少个小组？参考答案：24个8.某城市为改善空气质量，计划增加绿化面积。已知该城市总面积为100平方千米，计划绿化率为40%。请问，该城市需要增加多少平方千米的绿化面积才能达到计划绿化率？参考答案：40平方千米标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查反函数的求解。由f(x)=2^x-1，令2^x-1=3，解得x=log_2(4)=2。因此f^{-1}(3)=2。选项C正确。A选项错误，计算结果为2，但未考虑f^{-1}(3)的值应为自变量x的值。B选项错误，计算结果为4，但未考虑f^{-1}(3)的值应为自变量x的值。D选项错误，计算结果为8，但未考虑f^{-1}(3)的值应为自变量x的值。2.参考答案：B解析：本题考查对数函数的定义域。由x+10，解得x-1。因此函数定义域为(-1,+∞)。选项B正确。A选项错误，(-∞,-1)不满足x+10。C选项错误，[-1,+∞)不满足x+10。D选项错误，(-∞,+∞)不满足x+10。3.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数在闭区间上的最值。函数y=|x-2|在区间[1,3]上的图像为折线段，当x=2时取得最小值0。因此最小值为0。选项B正确。A选项错误，最小值应为0，不是1。C选项错误，最小值应为0，不是2。D选项错误，最小值应为0，不是3。4.参考答案：C解析：本题考查二次函数的性质。由函数图像开口向上，且顶点在x轴上，可知a0且△=b^2-4ac=0。因此f(-1)f(1)=(a(-1)^2+b(-1)+c)(a(1)^2+b(1)+c)=(a-b+c)(a+b+c)=a^2-b^2-c^2+2ac=-c^2。选项C正确。A选项错误，计算结果为a^2-b^2，未考虑c^2的影响。B选项错误，计算结果为c^2-b^2，未考虑a^2的影响。D选项错误，计算结果为-b^2，未考虑c^2的影响。5.参考答案：A解析：本题考查三角函数的周期性。函数y=sin(x)+cos(2x)的周期应为sin(x)和cos(2x)周期的最小公倍数。sin(x)的周期为2π，cos(2x)的周期为π。因此最小正周期为2π。选项A正确。B选项错误，2π不是最小正周期。C选项错误，π不是sin(x)的周期。D选项错误，4π不是最小正周期。6.参考答案：A解析：本题考查函数的切线方程。由f(x)=x/(x-1)，可得f'(x)=-1/(x-1)^2。因此f'(2)=-1。切线方程为y-f(2)=f'(2)(x-2)，即y-2=-1(x-2)，整理得y=x。选项A正确。B选项错误，切线斜率为-1，不是2。C选项错误，切线方程为y=x-2，与计算结果不符。D选项错误，切线方程为y=2x-2，与计算结果不符。7.参考答案：A解析：本题考查函数的极值。由f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，可得f'(1)=2a+b=0，解得b=-2a。由f(0)=1，可得c=1。因此b=-2a=-2。选项A正确。B选项错误，b=-2a，a0时b=-2。C选项错误，b=-2a，a0时b=-2。D选项错误，b=-2a，a0时b=-2。8.参考答案：A解析：本题考查函数的单调性。由y=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，可得y'=e^x-b≥0在(0,+∞)上恒成立。因此b≤e^x在(0,+∞)上恒成立。由于e^x在(0,+∞)上单调递增，其最小值为1，因此b≤1。选项A正确。B选项错误，b1不满足b≤1。C选项错误，b≥1不满足b≤1。D选项错误，b1不满足b≤1。9.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数的最值。函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像为折线段，在x=-2和x=1处有两个折点。当x∈[-2,1]时，f(x)取得最小值。f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3，f(1)=|1-1|+|1+2|=3。因此最小值为3。选项C正确。A选项错误，最小值应为3，不是1。B选项错误，最小值应为3，不是2。D选项错误，最小值应为3，不是4。10.参考答案：C解析：本题考查对数函数的定义域。由x^2-2x+30，解得x∈(-∞,3]∪[1,+∞)。因此函数定义域为(-∞,3]∪[1,+∞)。选项C正确。A选项错误，定义域应为(-∞,3]∪[1,+∞)，不是(-∞,1)∪(1,+∞)。B选项错误，定义域应为(-∞,3]∪[1,+∞)，不是[1,3]。D选项错误，定义域应为(-∞,3]∪[1,+∞)，不是(-∞,+∞)。二、填空题1.参考答案：x=2解析：本题考查二次函数图像的对称轴。二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像的对称轴方程为x=-b/(2a)。由f(x)=x^2-4x+3可得a=1,b=-4，代入公式得x=-(-4)/(2×1)=2。2.参考答案：-1/2解析：本题考查函数在某点处的切线斜率。函数y=1/(x-1)在点(2,1)处的切线斜率为y'在x=2时的值。求导得y'=-1/(x-1)^2，代入x=2得y'=-1/(2-1)^2=-1/2。3.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的最小值。函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即|1-(-2)|=3。4.参考答案：π解析：本题考查正弦函数的周期性。函数y=sin(2x)的周期T=2π/|ω|，其中ω为x的系数。由ω=2得T=2π/2=π。5.参考答案：(1,+∞)解析：本题考查对数函数的定义域。函数y=log_2(x-1)有意义需满足x-10，即x1，所以定义域为(1,+∞)。6.参考答案：a0解析：本题考查二次函数图像的性质。函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上当且仅当a0。7.参考答案：b≤0解析：本题考查指数函数与线性函数的单调性。函数y=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，需满足y'=e^x-b≥0在(0,+∞)上恒成立，即b≤e^x在(0,+∞)上恒成立，所以b≤0。8.参考答案：8解析：本题考查三次函数在闭区间上的最值。函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-8,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2，所以最大值为8。9.参考答案：1解析：本题考查绝对值函数在闭区间上的最小值。函数y=|x-2|在区间[1,3]上表示数轴上点x到点2的距离，最小值为0，但0不在区间[1,3]内，所以最小值为x=2时的值，即|2-2|=0。但需注意题目区间为[1,3]，所以最小值应为x=1或x=3时的值，即|1-2|=1或|3-2|=1，所以最小值为1。10.参考答案：2解析：本题考查反函数的求解。由f(x)=2^x-1得2^x=y+1，所以x=log_2(y+1)。反函数f^{-1}(x)=log_2(x+1)。代入x=3得f^{-1}(3)=log_2(3+1)=log_2(4)=2。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查函数周期性。函数y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π，错误。2.参考答案：√解析：本题考查对数函数性质。log_a(x)在(0,+∞)上单调递增的充要条件是底数a1，正确。3.参考答案：×解析：本题考查函数可导性。函数y=|x|在x=0处不可导，错误。4.参考答案：√解析：本题考查指数函数单调性。函数y=e^x-1的导数y'=e^x0，故在(-∞,+∞)上单调递增，正确。5.参考答案：√解析：本题考查函数极值。f'(x)=3x^2-a，x=1处取得极值，则f'(1)=3-a=0，解得a=3，正确。6.参考答案：×解析：本题考查正切函数单调性。函数y=tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数，但题干表述为“在(-π/2,π/2)内是减函数”，错误。7.参考答案：√解析：本题考查反三角函数性质。函数y=arcsin(x)+arccos(x)=π/2，其值域为[π/2,π/2]，即[0,π]，正确。8.参考答案：√解析：本题考查二次函数图像性质。函数f(x)=ax^2+bx+c开口向上，则a0；顶点在x轴上，则Δ=b^2-4ac=0，正确。9.参考答案：√解析：本题考查反函数存在性。函数y=2^x-1在R上单调递增且值域为(0,+∞)，存在反函数，正确。10.参考答案：×解析：本题考查三角函数最值。函数y=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，其最大值是1/2，但题干表述为“最大值是1”，错误。四、简答题1.参考答案：[2,+∞)解析：本题考查二次函数的单调性。首先求导f'(x)=2x-4，令f'(x)0得x2，所以函数在(2,+∞)上单调递增。抛物线对称轴为x=2，开口向上，故单调递增区间为[2,+∞)。2.参考答案：(1,+∞)解析：本题考查分式函数的单调性。求导g'(x)=-1/(x-1)^2，由于分母平方项始终为正，分子为负，故g'(x)0，函数在(1,+∞)上单调递减。3.参考答案：是偶函数解析：本题考查偶函数的判定。h(-x)=|-x-2|+1=|x+2|+1=h(x)，满足偶函数定义h(-x)=h(x)，且定义域为R关于原点对称，故为偶函数。4.参考答案：y=log_2(x-1)+1,x1解析：本题考查反函数的求解。令u=x+1，则y=log_2(u)，反解得u=2^y，即x=2^y-1，交换x,y得反函数为y=log_2(x-1)+1，定义域为x1。5.参考答案：x=1解析：本题考查函数的极值点。求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，二阶导f''(x)=6x-6，f''(1)=0，需进一步判断，但题目只要求极值点，故x=1为极值点。6.参考答案：1解析：本题考查函数的平均变化率。平均变化率=(e^1-e^0)/(1-0)=e-1，约等于1。7.参考答案：a=2,b=-3解析：本题考查函数相切的条件。相切意味着在x=1处导数相等且函数值相等。m'(x)=a,n'(x)=2x，m'(1)=a,n'(1)=2，故a=2。m(1)=a+b,n(1)=1，故a+b=1，解得a=2,b=-3。8.参考答案：最大值2，最小值0解析：本题考查绝对值函数的性质。函数在x=0处取得最小值0。在[-2,0]上函数为减函数，在[0,2]上函数为增函数，故最大值在x=2处取得，p(2)=|2|=2。五、应用题1.参考答案：20千米，40千米解析：本题考查函数的应用。总长度为60千米，计划工期为3年，因此平