2026年苏教版高三数学第8单元复数综合测试卷及答案

2026年苏教版高三数学第8单元复数综合测试卷及答案第1页共1页2026年苏教版高三数学第8单元复数综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知复数z=1+i，则z^2的虚部是A.2B.1C.-1D.0参考答案：B2.若复数w满足(2+i)w=5-2i，则w的模长|w|等于A.√5B.√10C.√13D.√17参考答案：C3.在复平面内，点Z对应复数z=-3+4i，则Z关于直线Re(z)=Im(z)对称的点的坐标是A.(4,-3)B.(-4,3)C.(3,4)D.(-3,-4)参考答案：B4.已知复数α=1-2i，β=3+i，则(α+β)•(α-β)的结果是A.10-5iB.10+5iC.-10-5iD.-10+5i参考答案：D5.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z在复平面内对应的点的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线参考答案：B6.已知方程x^2+px+q=0(p,q∈R)有一个根是1+2i，则另一个根是A.1-2iB.-1+2iC.-1-2iD.2+i参考答案：C7.设z=a+bi(a,b∈R)，若|z|=2且Arg(z)=π/3，则z^3的实部是A.8√3B.-8√3C.8D.-8参考答案：A8.已知复数z=cosθ+isinθ，则z^4+z^-4的值等于A.2cos2θB.2cos^2θC.2sin2θD.2sin^2θ参考答案：A9.在复平面内，正方形ABCD的顶点A,B分别对应复数1和1+i，则顶点C对应的复数可能是A.2-iB.-1-iC.-2+iD.1-i参考答案：A10.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z+1|的值是A.1B.√2C.√3D.2参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若复数z=2-3i，则z的共轭复数是______。参考答案：2+3i2.计算(1+i)^4的结果是______。参考答案：-43.在复平面内，复数3+4i对应的点位于______象限。参考答案：一4.若复数w满足(1-2i)w=5+i，则w=______。参考答案：2+3i5.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若|z|=5且arg(z)=π/3，则a=______，b=______。参考答案：5√3/2，5/26.方程x^2+2x+5=0的解是______。参考答案：-1+2i7.若复数z满足z^2=-4，则z=______。参考答案：2i，-2i8.在复平面内，点A对应复数1+i，点B对应复数2-i，则向量AB的模长是______。参考答案：√29.若复数z=1+i，则z^3的实部是______。参考答案：-410.已知复数α=2+i，β=1-i，则(α+β)(α-β)=______。参考答案：10三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若复数z满足(1+i)z=2-i，则z是一个实数。参考答案：×2.在复平面内，复数-3+4i对应的点位于第二象限。参考答案：√3.若复数z=a+bi(a,b∈R)，则|z|^2=a^2+b^2。参考答案：√4.方程x^2+4x+5=0在实数范围内有解。参考答案：×5.若复数w满足(1-i)w=2+3i，则w的实部为2。参考答案：√6.在复平面内，向量对应的复数是模长为1的复数。参考答案：×7.若复数z=1+i，则z^2的虚部是2。参考答案：√8.已知复数α=2+i，β=1-i，则(α+β)(α-β)是一个实数。参考答案：√9.若复数z满足z^2=-1，则z=i或z=-i。参考答案：√10.在复平面内，点A对应复数1+i，点B对应复数1-i，则向量AB对应的复数是2i。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知复数z=1-2i，求z的共轭复数z̄及|z|。参考答案：z̄=1+2i，|z|=√52.若复数w满足(2-i)w=1+3i，求w的代数形式。参考答案：w=(1+3i)/(2-i)=1+i3.在复平面内，点A对应复数3+4i，点B对应复数-1-2i，求向量AB的模长。参考答案：|AB|=√((3-(-1))²+(4-(-2))²)=√(4²+6²)=√52=2√134.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若z²是实数，求a,b满足的条件。参考答案：a²+b²=0，即a=0且b=05.解方程x²+2x+5=0，写出其解。参考答案：x=-1±√(2²-4×1×5)i=-1±i6.若复数α=1+i，β=1-i，求αβ的模长。参考答案：|αβ|=|(1+i)(1-i)|=|1-i²|=|1-(-1)|=|2|=27.已知复数z满足|z|=2且z的辐角主值为π/3，写出z的代数形式。参考答案：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+i√3/2)=1+√3i8.说明复数除法的几何意义。参考答案：复数除法表示将一个复数按辐角主值方向旋转另一个复数的辐角主值的相反方向，模长进行相除五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某水利工程设计中，需要修建一条长为10千米的灌溉渠道，计划每天修建1千米，但由于天气原因，实际每天只能完成原计划的80%。设实际修建的天数为x天，则x满足的方程为多少？请列出方程并解出x的值。参考答案：x=252.在复平面内，一个矩形ABCD的顶点A对应复数2+3i，顶点B对应复数4+3i，求顶点C和D对应的复数。参考答案：C:6+3i,D:2-3i3.已知复数z=1+i，求z^2的模长和辐角主值。参考答案：模长：10,辐角主值：π/44.若复数w满足|w|=3且arg(w)=π/3，求w的代数形式。参考答案：w=3(cos(π/3)+isin(π/3))5.已知复数u=2-3i和v=1+i，求u/v的值。参考答案：u/v=5/13-11/13i6.在复平面内，一个圆的方程为|z-1|=2，求该圆上距离原点最近的点的坐标。参考答案：(1-√3,1)7.若复数z满足z^2+2z+5=0，求z的实部和虚部。参考答案：实部：-1,虚部：28.已知复数a=1+2i，b=3-4i，求向量a+b对应的复数及其实数部分和虚数部分。参考答案：a+b=4-2i,实数部分：4,虚数部分：-2标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查复数的平方运算。z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，虚部为2。选项B正确，其余选项计算错误。2.参考答案：C解析：本题考查复数的除法运算。w=(5-2i)/(2+i)=(5-2i)(2-i)/(2+i)(2-i)=(10-5i-4i+2i^2)/(4-i^2)=(8-9i)/5=8/5-9i/5，模长|w|=√((8/5)^2+(-9/5)^2)=√(64/25+81/25)=√145/5=√13。选项C正确。3.参考答案：B解析：本题考查复数与几何的对应关系。点Z(3,4)关于直线Re(z)=Im(z)即y=x对称的点的坐标为(4,3)。选项B正确。4.参考答案：D解析：本题考查复数的乘法运算。(α+β)•(α-β)=(1-2i+3+i)•(1-2i-3-i)=(4-i)•(-2-3i)=-8-12i+2i+3i^2=-8-10i-3=-11-10i。选项D正确。5.参考答案：B解析：本题考查复数模的几何意义。|z-1|+|z+1|=4表示复数z到点1和点-1的距离之和为4，根据椭圆定义，轨迹是椭圆。选项B正确。6.参考答案：C解析：本题考查共轭复数的性质。由于系数为实数，方程有实根，所以另一个根必为1+2i的共轭复数1-2i。选项C正确。7.参考答案：A解析：本题考查三角形式复数的运算。z^3=(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ，z^-4=(cosθ+isinθ)^-4=cos(-4θ)+isin(-4θ)=cos4θ-isin4θ，z^3+z^-4=2cos3θ。由|z|=2得cosθ=1/2，θ=π/3，3θ=π，2cos3θ=2cosπ=-2。但选项中没有-2，可能题目数据设置有误，但按解析过程，正确答案应为-2。8.参考答案：A解析：本题考查棣莫弗定理。z^4+z^-4=cos4θ+isin4θ+cos(-4θ)-isin4θ=2cos4θ。选项A正确。9.参考答案：A解析：本题考查复数与几何的对应关系。设C(x,y)，由正方形性质，向量AB=(1,1)，向量BC=(x-1,y-1)，向量AD=(-1,1)，向量DC=(x+1,y-1)。由平行四边形法则，AB+AD=BC+DC，即(1,1)+(-1,1)=(x-1,y-1)+(x+1,y-1)，解得x=2,y=0，即C(2,0)。选项A正确。10.参考答案：A解析：本题考查复数方程的解。由求根公式x=(-2±√(4-16))/2=-1±√3i。|z+1|=|-1±√3i+1|=|±√3i|=√3。选项A正确。二、填空题1.参考答案：2+3i解析：本题考查复数的共轭复数。复数z=a+bi的共轭复数是a-bi。因此，z=2-3i的共轭复数是2+3i。2.参考答案：-4解析：本题考查复数的乘方运算。首先计算(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。然后计算(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=4(-1)=-4。3.参考答案：一解析：本题考查复数的几何意义。复数3+4i对应的点在复平面上位于第一象限，因为实部和虚部都为正数。4.参考答案：2+3i解析：本题考查复数的除法运算。首先将等式两边同时除以(1-2i)，得到w=(5+i)/(1-2i)。然后利用复数的除法法则，将分子和分母同时乘以共轭复数(1+2i)，得到w=(5+i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i)=(5+10i+i+2i^2)/(1-4i^2)=(5+10i+i-2)/(1+4)=(3+11i)/5=2/5+11i/5=2+3i。5.参考答案：5√3/2，5/2解析：本题考查复数的模和辐角。复数z=a+bi的模为|z|=√(a^2+b^2)，辐角为arg(z)=arctan(b/a)。由|z|=5得到√(a^2+b^2)=5，即a^2+b^2=25。由arg(z)=π/3得到arctan(b/a)=π/3，即b/a=√3。联立这两个方程，解得a=5√3/2，b=5/2。6.参考答案：-1+2i解析：本题考查复数方程的解。首先计算判别式Δ=b^2-4ac=2^2-415=4-20=-16。因为Δ0，所以方程有两个共轭复数解。解为x=(-b±√Δi)/(2a)=(-2±√16i)/2=(-2±4i)/2=-1±2i。7.参考答案：2i，-2i解析：本题考查复数方程的解。首先将方程x^2=-4写成x^2+4=0。然后计算判别式Δ=b^2-4ac=0^2-414=-16。因为Δ0，所以方程有两个共轭复数解。解为x=(-b±√Δi)/(2a)=(0±√16i)/2=±2i。8.参考答案：√2解析：本题考查复数的模长。向量AB的模长为|AB|=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。点A对应复数1+i，点B对应复数2-i，所以x1=1，y1=1，x2=2，y2=-1。代入公式得到|AB|=√((2-1)^2+(-1-1)^2)=√(1^2+(-2)^2)=√(1+4)=√5。9.参考答案：-4解析：本题考查复数的乘方运算。首先计算z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。然后计算z^3=z^2z=2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-4+2i。因此，z^3的实部是-4。10.参考答案：10解析：本题考查复数的乘法运算。首先计算α+β=(2+i)+(1-i)=3。然后计算α-β=(2+i)-(1-i)=1+2i。最后计算(α+β)(α-β)=3(1+2i)=3+6i。因此，(α+β)(α-β)=10。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查复数的运算。由(1+i)z=2-i，得z=(2-i)/(1+i)=(2-i)(1-i)/(1+i)(1-i)=(2-i-2i+1)/(1+1)=(3-3i)/2=3/2-3/2i。z的虚部不为0，因此z不是一个实数。2.参考答案：√解析：本题考查复数的几何意义。在复平面内，复数-3+4i对应的点的实部为-3，虚部为4，位于第二象限。3.参考答案：√解析：本题考查复数的模。由复数z=a+bi(a,b∈R)，得|z|^2=|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2。4.参考答案：×解析：本题考查复数方程的解。方程x^2+4x+5=0的判别式Δ=4^2-4×1×5=16-20=-4，小于0，因此方程在实数范围内无解。5.参考答案：√解析：本题考查复数的运算。由(1-i)w=2+3i，得w=(2+3i)/(1-i)=(2+3i)(1+i)/(1-i)(1+i)=(2+2i+3i+3i^2)/(1+1)=(2+5i-3)/2=-1/2+5/2i。w的实部为-1/2，因此原说法错误。6.参考答案：×解析：本题考查复数的几何意义。在复平面内，向量对应的复数是向量的起点到终点的复数差，不一定是模长为1的复数。7.参考答案：√解析：本题考查复数的幂运算。由z=1+i，得z^2=(1+i)^2=1^2+2×1×i+i^2=1+2i-1=2i。z^2的虚部为2。8.参考答案：√解析：本题考查复数的运算。由α=2+i，β=1-i，得(α+β)(α-β)=(2+i+1-i)(2+i-(1-i))=3×(2+i-1+i)=3×(1+2i)=3+6i。由于结果为复数，因此原说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查复数的平方根。由z^2=-1，得z=±√(-1)=±i。10.参考答案：√解析：本题考查复数的几何意义。在复平面内，点A对应复数1+i，点B对应复数1-i，则向量AB对应的复数是B-A=(1-i)-(1+i)=1-i-1-i=-2i。四、简答题1.参考答案：z̄=1+2i，|z|=√5解析：本题考查复数的共轭与模长。z的共轭复数z̄是将z的虚部符号改变，即z̄=1+2i。|z|是z到原点的距离，|z|=√(1²+(-2)²)=√5。计算时需注意平方和的求法。2.参考答案：w=(1+3i)/(2-i)=1+i解析：本题考查复数的除法运算。将分母有理化：(2-i)(2+i)=4+1=5，所以w=(1+3i)(2+i)/5=(2+i+6i-3)/5=(2+7i-3)/5=(-1+7i)/5=-1/5+7i/5=1+i。注意分子分母同时乘以分母的共轭复数。3.参考答案：|AB|=√((3-(-1))²+(4-(-2))²)=√(4²+6²)=√52=2√13解析：本题考查复平面内两点间距离。向量AB的坐标为(-1-3,-2-4)=(-4,-6)，模长|AB|=√((-4)²+(-6)²)=√(16+36)=√52=2√13。计算时需注意坐标差的平方和。4.参考答案：a²+b²=0，即a=0且b=0解析：本题考查复数平方为实数的条件。z²=(a+bi)²=a²+2abi-b²=(a²-b²)+2abi。若z²为实数，则虚部为0，即2ab=0，所以a=0或b=0。但当a=0时，z=bi，z²=-b²，仍为实数；当b=0时，z=a，z²=a²，仍为实数。但若a,b不同时为0，则虚部不为0，z²为虚数。因此a,b必须同时为0。5.参考答案：x=-1±√(2²-4×1×5)i=-1±i解析：本题考查实系数一元二次方程的解。利用求根公式：x=[-2±√(4-20)]/2=[-2±√(-16)]/2=[-2±4i]/2=-1±2i。注意判别式小于0时方程有虚数解。6.参考答案：|αβ|=|(1+i)(1-i)|=|1-i²|=|1-(-1)|=|2|=2解析：本题考查复数模长的性质。|αβ|=|α||β|。|α|=√(1²+1²)=√2，|β|=√(1²+(-1)²)=√2。所以|αβ|=√2×√2=2。计算时需注意模长的乘法性质。7.参考答案：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+i√3/2)=1+√3i解析：本题考查复数的三角形式与代数形式。z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|=2，θ=π/3。代入得z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+i√3/2)=1+√3i。注意三角函数值的记忆。8.参考答案：复数除法表示将一个复数按辐角主值方向旋转另一个复数的辐角主值的相反方向，模长进行相除解析：本题考查复数除法的几何意义。设z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)，则z₁/z₂=(r₁/r₂)(cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂))。几何意义是：将z₁的辐角主值旋转-θ₂，模长缩小为r₁/r₂倍。即除法对应旋转与模长伸缩。五、应用题1.参考答案：x=25解析：本题考