北师大版数学 第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·强化卷） 试卷 含答案

第五章二元一次方程组（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，属于二元一次方程的是（

）A． B．C． D．2．是下面哪个二元一次方程的解（）A． B． C． D．3．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（

）A．先把①变形 B．先把②变形C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形4．二元一次方程在正整数范围内的解有（

）组．A．3 B．4 C．5 D．无数5．若，则的值为（

）A．1 B．-1 C． D．76．甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本，若设有x个同学，y本笔记本，则可得方程组（

）A． B． C． D．7．若方程组的解与相等，则的值为（

）A．1 B．0 C．2 D．48．已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（）A．3 B． C．5 D．9．规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（

）A． B． C．4，5 D．5，410．已知关于x，y的方程组

给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知是关于、的二元一次方程，则．12．已知：，则的值为．13．已知关于的方程组，若，则的值为．14．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是．15．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是．16.定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．解方程组：(1)(2)18．已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．19．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B．(1)求直线与的解析式：(2)求的面积．20．2025年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．21．茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同．A茶叶销量B茶叶销量销售额打折前3002006900打折后5004009360(1)每两茶叶的原价分别是多少？(2)B茶叶打几折销售？(3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案．22．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为．根据以上信息，解答下列问题：(1)已知，则线段的中点的坐标是______；(2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）；(3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标．23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．(1)若，求天平处于平衡状态时x的值；(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．24．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：．观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________．探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________．25．定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”．(1)下列方程是“阶梯方程”的是．①

②

③

④(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．(3)若方程组的解为整数，求整数的值．

第五章二元一次方程组（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，属于二元一次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据定义依次判断即可．【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；

B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；

C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；

D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．故选D．2．是下面哪个二元一次方程的解（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把代入各个选项的方程，验证即可．【详解】解：A、把代入方程，得左边右边，∴是方程的解；B、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边，∴不是方程的解；C、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边，∴不是方程的解；D、把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解．故选：A．3．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（

）A．先把①变形 B．先把②变形C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形【答案】B【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法：代入法，根据代入法分析即可得到答案，正确掌握解法并根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．【详解】解：根据方程组的特点，②中的系数为1，故将②变形为用的代数式表示，再代入①计算更简便．故选：．4．二元一次方程在正整数范围内的解有（

）组．A．3 B．4 C．5 D．无数【答案】C【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解．由二元一次方程的特点逐一写出方程的正整数解从而可得答案．【详解】解：∵，为正整数，，∴或或或或，∴正整数范围内的解有5个．故选：C．5．若，则的值为（

）A．1 B．-1 C． D．7【答案】A【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组的应用，用方程①减去方程②即可求解﹒【详解】解：得﹒故选：A6．甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本，若设有x个同学，y本笔记本，则可得方程组（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设有个同学，本笔记本，根据题意列方程组即可．【详解】解：设有个同学，本笔记本，根据题意可得．故选：A．7．若方程组的解与相等，则的值为（

）A．1 B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．根据题意可得，可求出x，y的值，再把x，y的值代入，即可求解．【详解】解：∵方程组的解与相等，∴，解得：，把代入得：，解得：．故选：C8．已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（）A．3 B． C．5 D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得．【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解，∴，，∴，∴，故选：A．9．规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（

）A． B． C．4，5 D．5，4【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．由新定义得：，利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：由新定义，得①-②，得解得：把代入②，得解得：∴方程组的解为故选：C．10．已知关于x，y的方程组

给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．【详解】解：得：，即，把代入①得：，当，即时，，把代入，此时，∴，不是方程组的解；选项①错误；假设x与y互为相反数，，无解，选项②正确；当时，代入，中，解得，代入中，成立，∴也是方程的解，选项③正确；由x与y都为自然数，∴，都为自然数，∴，解得，，为整数，故和为偶数，为奇数，∴，自然数解有4对，选项④正确．∴不正确结论的个数为1个；故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知是关于、的二元一次方程，则．【答案】【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解．【详解】解：是关于、的二元一次方程，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握二元一次方程的定义．12．已知：，则的值为．【答案】1【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，有理数的乘方运算，根据非负性，列出方程组，求出的值，再进行乘方运算即可．【详解】解：∵，∴，解得，∴；故答案为：1．13．已知关于的方程组，若，则的值为．【答案】1【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程相减得到，则，再结合得到关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：得，，∴，又∵，∴，解得．故答案为：1．14．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可．【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为，∴关于x，y的二元一次方程组的解是，故答案为：．15．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是．【答案】【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案．【详解】解：原式变形可得，令，则化简为：，方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解，∴∴，解得．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案．16.定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为．【答案】或【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上，设直线l的解析式为，将点和代入解析式得：，解得，∴直线l的表达式为，当时，，即直线l与y轴交点为，当时，，解得，即直线l与x轴交点为，∴，∴，∴直线的表达式或．故答案为：或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．（1）利用代入法进行求解即可；（2）先将原方程组变形为，再利用加减消元法进行运算即可．【详解】（1）解：，将②代入①得，，解得：，将代入②得，，解得：，∴原方程组的解为：；（2）解：原方程组可变形为，得：，解得，将代入得，则该方程组的解为．18．已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案．【详解】解：解方程组，得．所以，解得：．19．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B．(1)求直线与的解析式：(2)求的面积．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）把点代入直线，确定b；把点，分别代入解答即可．（2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可．本题考查了运用待定系数法求直线解析式以及直线围成图形面积问题，勾股定理的逆定理，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：把点代入直线，得，解得，故直线；把点，分别代入，得，解得，故．（2）解：由，得，由点，，得，，，故，故是直角三角形，故的面积为：．20．2025年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)元；元(2)A种购买千克，B种购买千克；元【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．（1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解；（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值．【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意，得，解得，A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元．（2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．根据题意，得．，．，随的增大而增大．当时，有最小值为：（元）．A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元．21．茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同．A茶叶销量B茶叶销量销售额打折前3002006900打折后5004009360(1)每两茶叶的原价分别是多少？(2)B茶叶打几折销售？(3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案．【答案】(1)每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元(2)七折(3)三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶．【分析】（1）通过设A、B茶叶原价，依据打折前的销量与销售额关系以及A茶叶打折后价格和B茶叶打折前价格的关系列方程组求解．（2）设B茶叶折扣，根据打折后的销量与销售额关系列方程求解．（3）设购买A、C茶叶的数量，依据花费金额列方程，结合正整数条件确定购买方案．本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系并列出方程（组）是解题的关键．【详解】（1）解：设每两A茶叶的原价为元，每两B茶叶的原价为元，由题意，得解得所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元．（2）解：设B茶叶打折销售，由题意，得，解得，所以B茶叶打七折销售．（3）解：设王阿姨购买A茶叶两，C茶叶两，由题意，得，整理，得．因为均为正整数，所以可取所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶．22．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为．根据以上信息，解答下列问题：(1)已知，则线段的中点的坐标是______；(2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）；(3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标．【答案】(1)；(2)点的坐标为；(3)点的坐标为．【分析】本题考查了坐标中点公式，二元一次方程组的应用，掌握坐标中点公式是解题关键．（1）根据坐标中点公式求解即可；（2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可；（3）先根据中点坐标公式得出线段和的中点坐标，再根据中点中和列方程组求解即可．【详解】（1）解：，线段的中点的坐标是，即,故答案为：；（2）解：设点的坐标为，点，线段的中点的坐标为，，解得：，即点的坐标为；（3）解：点，线段的中点坐标为，线段的中点坐标为，线段的中点与线段的中点重合，，解得：点的坐标为．23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．(1)若，求天平处于平衡状态时x的值；(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．【答案】(1)(2)(3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键．（1）由题意可得，代入计算即可得解；（2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可；（3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可．【详解】（1）解：当天平平衡时，则：，即：，当时，得：，解得：；（2）解：通过题意，得：，整理可得：，∵、为正整数，∴，∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是．（3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意，得：，整理可得：，∵a和b都是正整数，∴或，故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元．24．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：．观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得_