北师大版数学 第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·提升卷） 试卷 含答案

第五章二元一次方程组（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握相关运算方法，是解题的关键．移项，将的系数化为1，即可得解．【详解】解：，移项，得：，将的系数化为1，得：．故选：A．2．下列方程组中是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组．二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组．据此判断即可．【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意；B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意；C、含有3个未知数，故不是，不符合题意；D、是二元一次方程组，符合题意；故选：D．3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可．【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，∴，解得：．故选D．4．在①，②，③，④中，解是的有（

）A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案．【详解】解：①将代入第一个方程，，成立，将代入第二个方程，，成立，的解是；②将代入第一个方程，，不成立，的解不是；③将代入第一个方程，，不成立，的解不是；④将代入第一个方程，，成立，将代入第二个方程，，成立，的解是；综上可知，解是的有①和④，故选：C．5．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键．设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案．【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：，故选：B．6．若小明在解关于x、y的二元一次方程组时，得到了正确结果，则♣、♥的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解求参数，把方程组中的两个方程相加可消去y，进而解方程求出x的值，即可得到的值，再把x、y的值代入方程组中的对应方程中求出的值即可．【详解】解：得：，解得，即，∴原方程组的解为，∴，∴，故选：B．7．如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（

）A．16 B．20 C．25 D．36【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值，再利用正方形的面积公式可求出结论．【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为，依题意，得：，解得：，∴．故选：A．8．已知一个关于的方程组的解为，则的值为()A．5，1 B．1，5 C． D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解解的概念，把解代入方程组是解题的关键．根据题意把解代入方程组，进而转化为关于的二元一次方程组，解出方程组即可．【详解】解：∵关于的方程组的解为，∴把代入，得，解得，故选：A．9．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（

）A．4 B． C． D．4或5【答案】C【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可．【详解】解：，得，即，∵是整数，方程组有正整数解，∴或或或，解得或（舍去）或或（舍去），当时，，代入，解得（符合题意），当时，，代入，解得（符合题意），综上，．故选：C．10．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．【详解】解：∵，解得．∴．点为和谐点，∴，．又，∴．∴，故答案选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知关于x，y的二元一次方程组则．【答案】5【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中两个方程相加即可得解．【详解】解：，得，故答案为：5．12．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为．【答案】4【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件组成新的方程组，求出和的值，再将和的值代入第二个方程求出的值．【详解】解：∵方程组的解满足③，∴①和③组成新的方程组为，解得，将代入②，得．故答案为：4．13．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为．【答案】15【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值．把代入方程组，得出关于a，b的方程组，再根据加减消元法解方程组求解即可．【详解】解：把代入方程组，得：，得：，解得，把代入①得，解得，∴．故答案为：15．14．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：第一列与对角线上的三个数之和相等，∴；第二行与第三列上的三个数之和相等，∴．根据题意可列出方程组，故答案为：．15．若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是．【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案．【详解】解：设，∵，∴．∵关于，的二元一次方程组的解是，∴关于s、t的二元一次方程组的解是．∴．解得，∴关于，的二元一次方程组的解是．故答案为：．16．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是．①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则【答案】①③④【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：当这个方程组的解，的值互为相反数时，即，两方程相加，得，，解得；故正确；当时，原方程组可化简为解得方程，左边可化为：，右边可化为：，所以左边右边，故错误；可得：，即，所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；由知，，故正确；故答案为．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．解方程组：(1)（用代入法）(2)（用加减法）【答案】(1)(2)【分析】本题考查了代入法和加减法解二元一次方程组等知识．（1）把方程②变形为，把③代入①解得，把代入③得，即可求解；（2）得，得，解得，把代入②解得，即可求解．【详解】（1）解：由②得，把③代入①得，解得，把代入③得，∴方程组的解为；（2）解：得，得，得，解得，把代入②得，解得，∴方程组的解为．18．解方程组：下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法．解：方程①去分母，得，即．③③＋②，得，解得．把代入②，得，解得．所以原方程组的解为【答案】不正确，正确解法见解析【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据马虎去分母时方程右边未乘以可知马虎的解法不正确．方程①去分母，然后根据加减消元法计算即可．【详解】解：不正确．方程①去分母，得，即．③③+②，得，解得．把代入②，得，解得．所以原方程组的解为19．已知关于的方程组与有相同的解，(1)求此相同的解；(2)求的值．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，把只含的两个方程联立，求出的值是解题的关键．（1）把只含的两个方程联立，可求出的值；（2）将的值代入其余的两个方程，得到关于的方程组，解方程组求得的值．【详解】（1）解：已知关于的方程组与有相同的解，与有相同的解，解，得到，故相同的解为；（2）解：将代入，得到，解得，．20．已知关于x，y的方程组(1)证明：无论实数m取何值，方程总有一个公共解；(2)若方程组的解满足，求m的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．（1）先将二元一次方程化简为，可得当时，，即可求解；（2）先得到二元一次方程组，求出x，y的值，再代入计算即可．【详解】（1）解：，整理得：，∴当时，，此时，∴无论实数m取何值，方程总有一个公共解；（2）解：方程组的解满足，可得方程组，解得：，将代入，得，解得：21．已知关于x，y的二元一次方程组．(1)若方程组的解满足，求m的值；(2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．（1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出；（2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解．【详解】（1）解：，，把代入得：，解得：，，把代入得：，解得：（2）解：，,无论数m取何值，方程总有一个固定的解，，解得：固定解为：．22．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组，则___，__；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？【答案】(1)，3，(2)见解析；(3)14；【分析】本题主要考查了运用整体思想求代数式的值，解题的关键是找到合适的整体式子；（1）求时，可以把两个二元一次方程直接相减；求可以把两个二元一次方程直接相加，再化简即可解决问题；（2）要求不论a取什么实数，的值始终不变，即想办法把a消去，得到的式子可以保证的值不变；（3）先设出未知数，列出方程，再运用整体思想解决问题即可；【详解】（1）解：∵，得：，得：则；（2）解：，得：③，∴得：，故不论a取什么实数，的值始终不变；（3）解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元；则得：，∴购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元.23．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元．(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办．①试推算与应满足的数量关系；②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值．【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元(2)①；②10860元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式．（1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系；②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，根据题意得：，解得，答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元；（2）解：①第一批手办的销售额为元，第二批每套“哪吒”手办的进价为元，第二批每套“敖丙”手办的进价为元，根据题意得：，整理可得：；②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，则，∵，∴，∴，∵，∴w随a的增大而减小，∵a与b均为正整数，，且，∴a的最小值为132，∴当时，w取得最大值，最大值为元，∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元．24．阅读下列材料：小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：解：令．原方程组化为，解得把代入，得，解得所以原方程组的解为(1)运用上述方法解方程组(2)直接写出方程组的解为_______．(3)在（2）的条件下