2025-2026学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共20页）2025-2026学年武珞路中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x﹣10123y30﹣103则抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）2．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根3．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．4．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx﹣c＝0 D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝96．（3分）某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（）A．15% B．20% C．25% D．30%7．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣28．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m9．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若A，D，E三点在同一条直线上，∠ACB＝n°，则∠ABC的度数是（）A．（m﹣n）° B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有y≥x，且当1≤x≤3时，有成立，当x＝﹣2时，y＝0，则b的值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）方程x2﹣4x＝0的根是．13．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是．14．（3分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝．15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，，分别以AC，BC为直角边，C为直角顶点向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连接BD，AE．在△ABC的边BC变化的过程中，当AE最大时，BC的长是．16．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，c＜0）经过点A（3，0），下列四个结论：①该抛物线一定经过（﹣1，0）；②a+c＜0；③若（t﹣2，y1），（t+1，y2）两点均在抛物线上，且y1＞y2，则；④若方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是．（填序号）三、解答题（共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）x2+10x+25＝0；（2）x2﹣2x﹣1＝0．18．（9分）一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长．19．（9分）如图，抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝kx+b．（1）求抛物线y1的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当0＜x＜3时，y1的取值范围是．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，求∠CDE的度数；（2）若BC＝3，，求AC的长．21．（9分）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．（1）在图1中，将线段BC向上平移2个单位长度，点B对应点D，点C对应点E，画出平移后的线段DE，再将线段AB绕点D顺时针旋转90°，画出对应线段A′B′；（2）在图2中，点O是格线上一点，先作点A关于点O对称的点G，再过点O作直线分别交AB，AC于点F，H，使得FO＝HO．22．（9分）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]售价x元/支）3032月销售量y（支）200180月销售利润w（元）20002160（1）中性笔的进价为元，y关于x的函数关系式为；（2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由；（3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．

23．（9分）在等边△ABC中，，AD⊥BC于D，点E为AB边上一点，点F为线段AD上一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG．（1）当点E与点A重合时，①如图1，连接GF，若GF的延长线过点C，连接BG，则线段BG＝；②如图2，若，连接BG、CF．M、N分别为BG、CF的中点，连接AM、AN和MN，求线段MN的长；（2）如图3，点E不与点A、B重合，若，GF的延长线交AC边于点H，连接EH、DG．当△EGH的周长最小时，DG＝．

24．（9分）抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C．（1）如图1，当m＝0时，直接写出点A，B，C的坐标；（2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，∠PCB＝∠ACO，求P点的坐标；（3）如图2，当﹣1＜m＜4时，若H是抛物线上B，C之间的一点（不与B，C重合），直线AH，BH分别交y轴于M，N两点，在点H运动过程中，总有CN＝3CM，求m的值．

2025-2026学年武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CAAACBBBDB一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x﹣10123y30﹣103则抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）解：由条件可知对称轴为直线，∵当x＝1时的函数值为﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1），故选：C．2．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根解：在方程x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，故该方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C． D．解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：A．4．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx﹣c＝0 D．解：A、方程x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；B、方程2x2﹣y+5＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、当a＝0时，方程为bx﹣c＝0，不是一元二次方程，不符合题意；D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意，故选：A．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9解：由原方程移项，得x2﹣2x＝5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6，∴（x﹣1）2＝6．故选：C．6．（3分）某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（）A．15% B．20% C．25% D．30%解：设平均每月增长的百分率为x，∴根据题意列一元二次方程得，100（1+x）2＝144，∴整理得，（1+x）2＝1.44，解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不符合题意，舍去），因此，平均每月增长的百分率是20%，故选：B．7．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．故选：B．8．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，根据AB为4米可知：OA＝OB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．9．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若A，D，E三点在同一条直线上，∠ACB＝n°，则∠ABC的度数是（）A．（m﹣n）° B． C． D．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝n°，∠ACE＝m°，AC＝CE，∠ABC＝∠EDC，∴∠ACD＝m°﹣n°，，∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∴，∵A，D，E三点在同一条直线上，∴∴故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有y≥x，且当1≤x≤3时，有成立，当x＝﹣2时，y＝0，则b的值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．2解：∵对任意实数x，都有y≥x，∴当x＝2时，y≥2；∵当1≤x≤3时，有成立，∴当x＝2时，；综上所述，二次函数y＝ax2+bx+c图象过点（2，2），∴2＝4a+2b+c①；∵当x＝﹣2时，y＝0，∴0＝4a﹣2b+c②；由①﹣②得：（4a+2b+c）﹣（4a﹣2b+c）＝2﹣0，化简得：4b＝2，解得，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）．解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．12．（3分）方程x2﹣4x＝0的根是x1＝0，x2＝4．解：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，则x＝0或x﹣4＝0，所以x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．13．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是k＞1．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，∴一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根，则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＜0，解不等式得k＞1，故答案为：k＞1．14．（3分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝﹣2．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1，整理得x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，所以x1＝x2＝﹣2．故答案为﹣2．15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，，分别以AC，BC为直角边，C为直角顶点向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连接BD，AE．在△ABC的边BC变化的过程中，当AE最大时，BC的长是．解：∵∠ACE＝90°+∠ACB，∠DCB＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∵CD＝AC＝2，∠ACD＝90°，∴，∵，在△ABD中，由三角形三边关系可得AD+AB＞BD，则当A、B、D三点共线，即点A在BD上时，BD最大，如图所示：∵AE＝BD，∴AE＝BD最大值为＝，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：由条件得，∴，∴BC，故答案为：．16．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，c＜0）经过点A（3，0），下列四个结论：①该抛物线一定经过（﹣1，0）；②a+c＜0；③若（t﹣2，y1），（t+1，y2）两点均在抛物线上，且y1＞y2，则；④若方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是①②．（填序号）解：由条件可知9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，当x＝﹣1时，a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），故①正确，符合题意；②由①得：c＝﹣3a，∵c＜0，∴﹣3a＜0，∴a＞0，∴a+c＝﹣2a＜0，∴a+c＜0．故②正确，符合题意；③抛物线的对称轴为直线，∵a＞0，y1＞y2，∴，解得：，故③错误，不符合题意；④方程|ax2+2ax+c|＝2即|a（x2+2x﹣3）|＝2，设g（x）＝a（x2+2x﹣3），∵a＞0，c＝﹣3a，∴g（x）＝a（x+3）（x﹣1），∵方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根，∴，此时g（x）＝2有两个根，一正一负；g（x）＝﹣2有两个根，均满足﹣3＜x＜1；∴当时，g（x）＝﹣2的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误，不符合题意；故答案为：①②．三、解答题（共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）x2+10x+25＝0；（2）x2﹣2x﹣1＝0．解：（1）由题意得（x+5）2＝0，解得x1＝x2＝﹣5；（2）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，，解得，．18．（9分）一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长．解：设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32﹣2x）m，根据题意得：x（32﹣2x）＝120，解得：x1＝6，x2＝10．当x＝6时，32﹣2x＝20，20＞18，不合题意，舍去；当x＝10时，32﹣2x＝12．答：矩形的宽AB的长为10m．19．（9分）如图，抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝kx+b．（1）求抛物线y1的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当0＜x＜3时，y1的取值范围是0＜y1≤4．解：（1）抛物线与x轴交于点A（3，0），将点A的坐标代入得：a（3﹣1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线y1的解析式为；（2）抛物线与y轴交于点B，当x＝0时，得：y＝﹣（0﹣1）2+4＝3，∴B（0，3），直线AB的解析式为y2＝kx+b．将点A，点B的坐标分别代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y2＝﹣x+3；（3）由（1）知，，∵﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴抛物线开口向下，当x＝1时，有最大值，为y1＝4；当0＜x＜3时，y1取得的最小值，∴当x＝0时，；当x＝3时，；∵0＜3，∴y1的最小值是0，综上所述，当0＜x＜3时，y1的取值范围是0＜y1≤4，故答案为：0＜y1≤4．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，求∠CDE的度数；（2）若BC＝3，，求AC的长．解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，∴∠BCA＝∠DEA，AC＝AE，∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠BCD＝45°，∴∠BCA+∠ACD＝45°，∵∠ACE＝45°，∴∠DCE+∠ACD＝45°，∴∠BCA＝∠DCE，∵∠BCA＝∠DEA，∴∠DCE＝∠DEA，∵∠AEC＝45°，∴∠DEA+∠DEC＝45°，∴∠DCE+∠DEC＝45°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE＝180°，∴∠CDE＝180°﹣（∠DEC+∠DCE）＝180°﹣45°＝135°；（2）将△ADC绕点A顺时针旋转90°得△ABC′，连接CC′，过点C′作C′H⊥CB的延长线于点H，如图所示：∴，∠ABC′＝∠ADC，∠CAC′＝90°，AC＝AC′，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣90°﹣45°＝225°，∵∠ABC′＝∠ADC，∴∠ABC′+∠ABC＝225°，∴∠CBC′＝360°﹣（∠ABC′+∠ABC）＝360°﹣225°＝135°，∴∠C′BH＝45°，∵∠BHC′＝90°，∴∠BC′H＝∠C′BH＝45°，∴△BHC′是等腰直角三角形，∴BH＝C′H，∵，∴，即2BH2＝32，解得BH＝4，∴C′H＝BH＝4，∴CH＝BC+BH＝3+4＝7，在Rt△C′CH中，C′H＝4，CH＝7，∴，在Rt△CAC′中，AC＝AC′，，∴AC2+C′A2＝C′C2，即2AC2＝65，解得．21．（9分）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．（1）在图1中，将线段BC向上平移2个单位长度，点B对应点D，点C对应点E，画出平移后的线段DE，再将线段AB绕点D顺时针旋转90°，画出对应线段A′B′；（2）在图2中，点O是格线上一点，先作点A关于点O对称的点G，再过点O作直线分别交AB，AC于点F，H，使得FO＝HO．解：（1）如图所示：∴线段DE、线段A′B′即为所求；（2）如图所示：连接AO，并延长找到格点G，作7×5矩形的对角线DG，交AB于点F，作直线FO，交AC于点H，则点F，H即为所求作．由DG∥AC，AO＝GO，可证明△AOH≌△GOF，则FO＝HO．22．（9分）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]售价x元/支）3032月销售量y（支）200180月销售利润w（元）20002160（1）中性笔的进价为20元，y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500；（2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由；（3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．解：（1）设进价为a元/支，则由销售表可得（30﹣a）×200＝2000，解得a＝20；设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，200）、（32，180）代入关系式可得，解得，则y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500；故答案为：20，y＝﹣10x+500；（2）存在，由题意可得w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x2﹣70x+1225）+2250＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵﹣10＜0，∴二次函数图象开口向下，当x＝35时，函数值w有最大值；（3）∵要求在售价不超过37元，∴0≤x≤37，新的销售利润w′＝（x﹣20﹣m）y＝（x﹣20﹣m）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（700+10m）x﹣（10000+500m）＝﹣10[x2﹣（70+m）x]﹣（10000+500m）＝＝∵﹣10＜0，∴二次函数图象开口向下，对称轴为，则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，∴，解得m＞3，∴m的取值范围3＜m≤5．

23．（9分）在等边△ABC中，，AD⊥BC于D，点E为AB边上一点，点F为线段AD上一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG．（1）当点E与点A重合时，①如图1，连接GF，若GF的延长线过点C，连接BG，则线段BG＝6；②如图2，若，连接BG、CF．M、N分别为BG、CF的中点，连接AM、AN和MN，求线段MN的长；（2）如图3，点E不与点A、B重合，若，GF的延长线交AC边于点H，连接EH、DG．当△EGH的周长最小时，DG＝．解：（1）①在等边△ABC中，，∴，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴，，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，∵线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝∠EGF＝∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，当E和A重合时，∠BAC＝∠GAF＝60°，∴∠BAG＝∠CAF，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（SAS），∴BG＝CF，∵∠EFG＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ACF＝∠EFG﹣∠CAF＝30°，∴∠CAF＝∠ACF，∠DCF＝∠ACB﹣∠ACF＝30°，∴AF＝CF，，∴，∴，∴BG＝CF＝6，故答案为：6；②由①知AD＝9，又∵，∴AF＝3，∴DF＝6，如图2，过点N作NK⊥AD交AD于点K，∵NK⊥AD，AD⊥BC，∴CD∥NK，∴△FKN∽△FDC，∴，∵点N为CF的中点，∴，∴，∴，FK＝3，∴AK＝AF+FK＝6，在Rt△AKN中，由勾股定理得：，由①知：△GAB≌△FEC，∴BG＝CF，∠MBA＝∠NCA，∵M、N分别为BG、CF的中点，∴BM＝CN，易证△MAB≌△NAC（SAS），∴AN＝AM，∠BAM＝∠CAN，∴∠MAN＝∠BAC＝60°，∴△AMN为等边三角形，∴；（2）∵线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，连接FG，∴△EGF为等边三角形，∴∠GFE＝∠GEF＝∠EGF＝60°，EF＝GE，∴∠EFH＝120°，∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，∵∠EFH+∠BAC＝120°+60°＝180°，∴A、E、F、H四点共圆，如图3，∴∠DAC＝∠FEH＝30°，∴∠EHF＝∠EFG﹣∠EHF＝30°，∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝90°，∴GH＝2GE，在直角三角形GEH中，由勾股定理得：，∴△EGH的周长为，∴当FE⊥AB时，EF最小，即△EGH的周长最小，如图4，又∵∠FEH＝30°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠FEH＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝AH，∵∠FEH＝∠FHE＝30°，∴FE＝FH，∴AF垂直平分EH，∴AF平分∠EFH，∴，∴∠DFG＝180°﹣∠AFE﹣∠EFG＝60°，∴∠DFG＝∠AFE，∵，∴DF＝AF，在△DFG和△AFE中，，∴△DFG≌△AFE（SAS），∴DG＝AE，∵，AD＝9，∴，又∵∠EAF＝30°，∴，∴故答案为：．24．（9分）抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C．（1）如图1，当m＝0时，直接写出点A，B，C的坐标；（2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，∠PCB＝∠ACO，求P点的坐标；（3）如图2，当﹣1＜m＜4时，若H是抛物线上B，C之间的一点（不与B，C重合），直线AH，BH分别交y轴于M，N两点，在点H运动过程中，总有CN＝3CM，求m的值．解：（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；理由如下：抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且m＝0，∴y＝