2025-2026学年湖北省武汉市武钢实验学校教联体八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年湖北省武汉市武钢实验学校教联体八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．5，6，12 B．3，4，5 C．6，3，3 D．2，3，63．（3分）如图，点C，F在BE上，且△ABC≌△DEF，若BC＝5，CE＝3，则FC的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（3分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CDF＝20°，∠CEF＝30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为（）A．25° B．30° C．35° D．40°5．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是（）A．BC＝DE B．∠ABC＝∠DEF C．AD∥BE D．AD被MN垂直平分6．（3分）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC与△DEF一定全等的是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝90° B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝80° C．AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝40° D．BC＝EF，∠A＝∠D＝80°，∠B＝∠E＝40°8．（3分）如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．45°二.填空题（共6小题）11．（3分）点P（m，3）和点Q（2，n）关于x轴对称，则m+n的值为．12．（3分）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长4cm，则该等腰三角形的底边为cm．13．（3分）如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，则∠E为．14．（3分）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝13cm，则BC边上的中线的取值范围是．15．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG，则下列四个结论：①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝135°．其中正确的序号是．16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为．三.解答题（共8小题）17．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．18．（8分）如图，在△ABD和△ACE中，若AB＝AC；AD＝AE；BD＝CE．求证：∠1＝∠2．19．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）小莉的方法：作BC边上的中线AD，但发现无法直接通过证明△ABD和△ACD全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明．20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）试说明AD垂直平分EF；（2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长．21．（8分）（1）如图1，在△ABC，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC，求证：直线AO垂直平分BC，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上只要证＝，＝（2）如图（2），在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线．（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，请你只利用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并证明．22．（10分）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连CD，E为BC边上一点，若AE平分∠BAC，ED平分∠BDC．（1）若∠ACD＝30°，则∠AED＝．（2）求证：2∠BCD+∠ACD＝180°；（3）如图2，若AC+DC＝AB，且∠ACD＝18°，求∠BAC的度数．23．（10分）【模型探究】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型．（1）已知AC＝CE，∠ABC＝∠ACE＝∠EDC＝90°，请在图1和图2中选择一个模型进行证明△ABC≌△CDE．【模型应用】（2）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，点D为射线CB上的一动点（点D不与点C重合），连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，交直线AB于点H．①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH＝EH；②如图4，当点D在CB的延长线上时，若S△ACD＝3S△AHE，请直接写出BD的长．24．（12分）如图，等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，等腰Rt△BDE，∠DBE＝90°，BD＝BE，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，若OA＝5，OB＝2，直接写出C点的坐标：；（2）如图1，点B（0，2），D、A两点均在x轴上，且S△ADB＝8，连接CE交y轴于F点，BF的长度是否发生改变？若不变，求出BF的值；若变化，求BE的取值范围．（3）如图2，若AG＝DG，CG＝EG，求证：∠AGD＝90°．

2025-2026学年湖北省武汉市武钢实验学校教联体八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：A．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．5，6，12 B．3，4，5 C．6，3，3 D．2，3，6【解答】解：A、5+6＜12，无法组成三角形，故本选项不符合题意；B、满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，能组成三角形，故本选项符合题意；C、3+3＝6，无法组成三角形，故本选项不符合题意；D、2+3＜6，无法组成三角形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）如图，点C，F在BE上，且△ABC≌△DEF，若BC＝5，CE＝3，则FC的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5，∵CE＝3，∴FC＝EF﹣CE＝2．故选：A．4．（3分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CDF＝20°，∠CEF＝30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【解答】解：如图，连接CF，并延长至点M，在△ABC中，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°，∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，∵∠EFD＝135°，∠CEF＝30°，∴135°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝35°，∴∠D应调整为35°．故选：C．5．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是（）A．BC＝DE B．∠ABC＝∠DEF C．AD∥BE D．AD被MN垂直平分【解答】解：A、∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，∴△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，原说法错误，符合题意；B、∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，正确，不符合题意；C、∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，∴MN是线段AD、线段BE的垂直平分线，∴AD∥BE，正确，不符合题意；D、∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，∴MN是线段AD的垂直平分线，正确，不符合题意．故选：A．6．（3分）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【解答】解：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，作AB、AC的垂直平分线EF、GH并交于点P，则有AP＝BP，AP＝CP，则有AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP，∴这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点．故选：D．7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC与△DEF一定全等的是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝90° B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝80° C．AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝40° D．BC＝EF，∠A＝∠D＝80°，∠B＝∠E＝40°【解答】解：A、根据HL可证两个三角形全等，故A不符合题意；B、根据SSA不能判定两个三角形全等，故B符合题意；C、根据ASA可证两个三角形全等，故C不符合题意；D、根据AAS可证两个三角形全等，故D不符合题意；故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∠A＝∠ABE，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，∴AE＝BE，∵AC＝6，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝2，∴BE＝AE＝2，∴BD＝BE＝1，故选：A．9．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线；由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线，∴OP⊥CD，∴∠COP＝∠DOP，∴射线OP为∠AOB的平分线；由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB，在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC（SAS），∴∠OAD＝∠OBC，∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD，∴△APC≌△BPD（AAS），∴AP＝BP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，∴射线OP为∠AOB的平分线；由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP，∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴∠COP＝∠BOP，∴射线OP为∠AOB的平分线；由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线，∴OE＝AE＝BE，∴△OAE≌△OBE（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，∴射线OP为∠AOB的平分线；故选：D．10．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．45°【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AE＝2，∠BAC＝60°，∴AE＝EC＝2，∴AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC，∴∠ECF＝30°．BF＝CF，∴EF+CF＝BF+EF≥BE，即当BE⊥AC时，EF+CF取最小值，∴当EF+CF取最小值时，∠ECF的度数为30°．故选：C．二.填空题（共6小题）11．（3分）点P（m，3）和点Q（2，n）关于x轴对称，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵点P（m，3）和点Q（2，n）关于x轴对称，∴m＝2，n＝﹣3，∴m+n＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长4cm，则该等腰三角形的底边为4cmcm．【解答】解：①4cm是底边时，腰长为×（16﹣4）＝6，∵4+6＞6，∴能组成三角形，②4cm是腰长时，底边为16﹣2×4＝8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．故答案为：4cm．13．（3分）如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，则∠E为30°．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且D为AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，故答案为：30°．14．（3分）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝13cm，则BC边上的中线的取值范围是大于3.5且小于9.5．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，如图，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即AC﹣AB＜AE＜AC+AB，13﹣6＜AE＜13+6，即7＜AE＜19，∴3.5＜AD＜9.5，故答案为：大于3.5且小于9.5．15．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG，则下列四个结论：①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝135°．其中正确的序号是①②③．【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，连接BE，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°，由条件可知BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°，故①符合题意；由条件可知BE＝CE，∴∠BCE＝∠CBE，∵CE＝EF，∴BE＝EF，∴∠FBE＝∠BFE，∴∠AEF＝∠BFE﹣∠BAD＝∠FBE﹣30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠AEC＝∠ADC+∠BCE，∴∠AEC＝90°+∠CBE，∴∠CEF＝90°+∠CBE+∠FBE﹣30°∵∠ABC＝∠FBE+CBE＝60°，∴∠CEF＝90°+60°﹣30°＝120°，故②符合题意；由条件可知∠ABC＝∠ACB，∵BE＝CE，∴∠BCE＝∠CBE，∴∠FBE＝∠ACE，∴∠FBE＝∠BFE，∴∠ACE＝∠BFE，故③符合题意；由条件可知∠BFE＝30°+15°＝45°，∵EG⊥AB，∴∠BFE＝∠FEG＝45°，∴EG＝FG，∴∠FEG＝45°，又∵BG＝FG＝EG，∴∠BEG＝45°＝∠EBG，∴∠EBC＝∠ECB＝60°﹣45°＝15°，∴∠BEC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故④不符合题意．故答案为：①②③．16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为2．【解答】解：连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H，∵DE⊥AB于点E，∴∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°，∵FG是BC的垂直平分线，FG＝BC，∴∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FC＝BC，∴∠FGB＝∠FBG＝∠FGC＝∠FCG＝45°，∴∠BGC＝2∠FGB＝90°，∴∠EBG＝∠HGC＝90°﹣∠BGE，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDH中，，∴△ADE≌△CDH（AAS），∴AE＝CH＝3，DE＝DH，在△BEG和△GHC中，，∴△BEG≌△GHC（AAS），∴BE＝GH＝7，GE＝CH＝3，∴EH＝GH+GE＝10，∴DE＝DH＝EH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故答案为：2．三.解答题（共8小题）17．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，∵∠ABE＝20°，∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠BDC＝63°．18．（8分）如图，在△ABD和△ACE中，若AB＝AC；AD＝AE；BD＝CE．求证：∠1＝∠2．【解答】证明：在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，即∠1＝∠2．19．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS；（2）小莉的方法：作BC边上的中线AD，但发现无法直接通过证明△ABD和△ACD全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明．【解答】（1）解：小刚的方法：由条件可知∠BAD＝∠CAD，在△ABD与△ACD中，，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）；小亮的方法：由条件可知∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD与△ACD中：，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）．故答案为：AAS；（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，DE＝DF．∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AB＝AC．20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）试说明AD垂直平分EF；（2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴点D在EF的垂直平分线上，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∴点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴，∵AB＝6.6，AC＝3.4，∴，∴DE＝2；∵∠B＝30°，BD＝2DE＝4．21．（8分）（1）如图1，在△ABC，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC，求证：直线AO垂直平分BC，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上只要证AB＝AC，OB＝OC（2）如图（2），在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线．（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，请你只利用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并证明．【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，OB＝OC，∴直线AO垂直平分BC；故答案为：AB，AC，OB，OC；（2）如图2，连接BE，CD，它们相交于P点，延长AP交BC于H，则AH为BC的垂直平分线．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD＝CE，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴PB＝PC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC；（3）如图3，连接AC，AD，BD，CE，BD和CE交于点O，连接AO并延长交CD于点M，则AM就是CD的垂直平分线，理由如下：∵AB＝AE，BC＝DE，∠ABC＝∠AED，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADE，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BCD＝∠EDC，∵CD＝DC，∴△BCD≌△EDC（SAS），∴∠BDC＝∠ECD，∴OC＝OD，∵AC＝AD，∴AM是线段CD的垂直平分线．22．（10分）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连CD，E为BC边上一点，若AE平分∠BAC，ED平分∠BDC．（1）若∠ACD＝30°，则∠AED＝15°．（2）求证：2∠BCD+∠ACD＝180°；（3）如图2，若AC+DC＝AB，且∠ACD＝18°，求∠BAC的度数．【解答】（1）解：∵DE平分∠CDB，∴，∵AE平分∠CAB，∴，∴∠AED＝∠EDB﹣∠EAB＝＝，∵∠CDB﹣∠CAB＝∠ACD，代入得：，∴∠ACD＝30°，∴；故答案为：15°．（2）证明：过E作EG⊥AC于G，EH⊥AB于H，EI⊥CD于I，如图所示：∵AE平分∠BAC，ED平分∠BDC，∴EG＝EH，EI＝EH，∴EG＝EI，∴CE平分∠DCG，∴∠BCD＝∠BCG，∵∠DCG+∠ACD＝180°，∴2∠BCD+∠ACD＝180°；（3）解：延长AC至点F，使CF＝CD，连接BF，如图所示：则AC+CF＝AC+DC＝AB，即AF＝AB，∴∠ABF＝∠AFB，在△CDB和△CFB中，，∴△CDB≌△CFB（SAS），∴∠ABC＝∠FBC，∴∠AFB＝∠ABF＝2∠ABC，∵∠ACD＝18°，∴，∵∠CDB＝∠BAC+∠ACD＝∠BAC+18°，∠CDB+∠BCD+∠ABC＝180°，∴∠BAC+18°+81°+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝81°﹣∠BAC，又∵∠ABF+∠AFB+∠BAC＝180°，∴4∠ABC+∠BAC＝180°，∴4（81°﹣∠BAC）+∠BAC＝180°，解得：∠BAC＝48°．23．（10分）【模型探究】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型．（1）已知AC＝CE，∠ABC＝∠ACE＝∠EDC＝90°，请在图1和图2中选择一个模型进行证明△ABC≌△CDE．【模型应用】（2）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，点D为射线CB上的一动点（点D不与点C重合），连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，交直线AB于点H．①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH＝EH；②如图4，当点D在CB的延长线上时，若S△ACD＝3S△AHE，请直接写出BD的长．【解答】（1）证明：选择图1：∵∠ACE＝90°，∴∠ECD+∠ACB＝90°，∵∠CDE＝90°，∴∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；选择图2：∵∠ACE＝∠CDE＝90°，∴∠ECD+∠ACB＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）①证明：过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F，如图3，∵∠ABC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠BAE＝90°，∠BAE+∠AEF＝90°，∴∠BAD＝∠AEF，在△ABD与△AEF中，，∴△EAF≌△DAB（AAS），∴EF＝AB＝1，∵AB＝BC＝1，∴EF＝BC＝1，∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∴EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCE，在△EHF和△CHB中，，∴△EHF≌△CHB（AAS），∴EH＝CH；②解：过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F，由①得△EA