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南开大学2026年《数学分析》真题及参考解析（2026年10月29日）1.设常数α>0,计算积分2.设L为闭区域D={(I3.设Ω为ℝn中的有界区域,函数f(x)在Ω上连续,对满足U⊆Ω的任意开集Umax4.令f(x)=n=5.求函数项级数n=1∞6.设数列{λn}满足λn∈f证明:对任意的x>0,都有limn7.设an=18.证明无穷乘积n=1∞lim参考解析1.设常数α>0,计算积分解答.记I=cos(ln同时积分1+∞1xIJ解得I注.本题也可以利用换元法解答,可令t=ln设L为闭区域D={(I解答.记P=x3y+eyI注意到D关于y=x对称,因此D于是I设Ω为ℝn中的有界区域,函数f(x)在Ω上连续,对满足U⊆Ω的任意开集Umax解答.由于f(x)在有界闭集Ω上连续,所以f(x)在Ω上存在最大值,设x1∈Ω为f(x)的最大值点.若x1∈Ω,因为Ω为开集,所以存在x1(特别地,取y=f(x1)+ε2∈(f(x1)−ε令f(x)=n=解答.记un(x)=1(nlnn)x|且n=2∞1na(ln2)a收敛,所以n=u其中n=2∞2na收敛,进而n=2∞un求函数项级数n=1∞解答.对任意的x∈ℝ,记t=n比较上式的虚部,有n另外,注意到n对于n=1∞cosnxn2n,记|而n=1∞12n收敛,所以n=1∞S于是S将此代入到(1)式,有n设数列{λn}满足λnf证明:对任意的x>0,都有limn解答.首先容易证明不等式e因此对任意的x>0,有f即{fn(x)}关于n单调递增.若存在x0∈(0,+∞)λ由此可知{λn}也收敛，且limn→∞λn=aea设an=1解答.为了方便,记φ(a显然φ(x)在12,a再结合ana另外,根据连续性,对任意的ε>0(限制ε<45φ那么a进而a其中1记x1=1210其中C=x022lim将其代入到(4)式,有limnlim进而存在正整数N,当n>N时,有4再结合(3)式,当n>4这说明lim证明无穷乘积n=1∞lim解答.当x>0时,考虑lim根据比较原则可知n=1∞ln1n求和可得1而利

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