数据的概括性度量

第4章

数据的概括性度量1集中趋势的度量2离散程度的度量3偏态与峰态的度量某高校只有两个系，财经系和工程系。该校报考及录取的总体情况如下:男生女生录取350200未录取450400报考人数800600引例:工程系财经系录取男生300女生100男生50女生100未录取300100150300报考人数600200200400第1节

分布集中趋势的测度一、众数

二、中位数三、四分位数四、均值五、几何均值六、切尾均值七、众数、中位数和均值的比较众数

(mode)5一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据,也可用于顺序数据和数值型数据众数

(不惟一性)6无众数原始数据:11

3

7

12

9

84

6

13

4

4一个众数原始数据:

7多于一个众数原始数据:

1725

25

33

24

24中位数(median)72.不受极端值的影响M

e1.排序后处于中间位置上的值50%50%e主要用于顺序数据,也可用数值型数据,但不

能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小,即nxi

?

M ?

min?i?1中位数

(位置的确定)8?

n

?

12中位数位置案例分析(9个数据的算例)9【例】

9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1400

750

760

1050

870

950

2100

1450

1540排

序: 750

760

870位

置:

1

2

3950

1050

1400

1450

1540

21004

5

6

7

8

9?位置?n?1

?9?1

?52

2中位数=1050案例分析(10个数据的算例)10排序:63569077082093010781230

1450

16902150位置:1234567

8

910【例】 10个家庭的人均月收入数据?位置?n?1

?10?1

?5.52

2中位数?930?1078

?10042四分位数

(quartile)111.排序后处于25%和75%位置上的值3.主要用于顺序数据,也可用于数值型数据,但不能用于分类数据Q

M25% 25%QL2.不受极端值的影响25%25%QU四分位数

(位置的确定)12???UL3(n

?

1)4?Q??

n

?

14?Q位置位置案例分析(四分位数7个数据的算例)13??原始数据:23213032282526排

序:21232526283032位

置:1234567Q

L=

23Q

U

=

30Q

L位置=4Q

U

位置==

23(N+

1)

3(7+1)4

44==

6N+

1

=

7+

1案例分析(四分位数10个数据的算例)144

4ULQ位置?3?(10?1)?8.25Q位置?10?1

?2.75排序:50065076078094010601350168017901900位置:123?45678910【例】 10个家庭的人均月收入数据?Q

L

?

650

?

0.75

?

(760

?

650)?

732.5Q

U

?

1680

?

0.25

?

(1790

?

1680)?

1707.5统计函数—QUARTILE均值

(mean)15集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据,不能用于分类数据和顺序数据简单均值(simple

mean)16N?x1

?

x2

??

?

xN?

?设一组数据为:x1,x2 ,…,xnn总体均值样本均值n?

xii?1Nn?

xi?x

?i?1nx1

?

x2

?

?

?

xn加权均值(weighted

mean)17?f1

?

f2

??

?

fKx1

f1

?

x2

f2

??

?

xK

fK?

?设一组数据为:相应的频数为:x1 ,x2 ,…,xnf1 ,f2 ,…,fkK总体均值样本均值n?

xi

fii?1K?

fii?1k?

xi

fix

??

fii?1k k

?

i?12

k11

1

2

2f

?

f

??

?

fx

f

?

x

f

??

?

x

f案例分析加权均值18按零件数分组组中值（

X

i）频数（F

i）X

iF

i105~110107.53322.5110~115112.55562.5115~120117.58940.0120~125122.5141715.0125~130127.5101275.0130~135132.56795.0135~140137.54550.0合计—506160.0【例】根据表中的数据,计算50名工人日加工零件数的均值表2-5某车间50名工人日加工零件均值计算表616050??123.（2个)?i?

1K?i?

1K?F

ii

F

iXX均值(数学性质)193.统计分布的均衡点22.各变量值与均值的离差平方和最小nii?1(x

?

x)

?

min?1.各变量值与均值的离差之和等于零n?

(xi

?

x)?

0i?1几何均值(geometric

mean)20n

个变量值乘积的 n

次方根适用于对比率数据的平均主要用于计算平均增长率计算公式为:5.

可看作是均值的一种变形i?1nGm

?

n

x1

?

x2

??

?

xn

?

n

?

xi1nm1

2

nnnlgG

??lgxi(lxg

?lgx

??

?lgx

)?

i?1案例分析几何均值21【例】

一位投资者购持有一种股票，在 1997年、1998年、1999年和2000年收益率分别为 4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率?

NG

M

X

1

?

X

2

??

?

X

N?4104.5%?102.0%?103.5%?105.4%?103.84%平均收益率＝103.84%-1=3.84%切尾均值(trimmed

Mean)22?(n?

?1)

(n?

?2)(n?n?

)x ?

x

? ?

xx

?n?

2?n??去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用计算公式为:2n表示观察值的个数;α表示切尾系数，0???1案例分析切尾均值23【例】某次求职面试中共有11名评委，对某位求职者的给分分别是:???1/11(

2)(10)9x

?x11

?

1/11 ?

111

?

1/11 ?

211

?

11

?

1/11去掉一个最高分和一个最低分,取1/11?x

?? x

?11

? 2

?

11

??

x?

x?9.2

?

9.22??

9.3??

9.26?

? x

?1

/

11(3)

?

?11

?

2?9.22,9.25,9.20,9.30,9.65,9.30,

9.27,9.20,9.28,9.25,9.24经整理得到顺序统计量值为x(1),

x(2),

x(3),

x(4),

x(5),

x(6),

x(7)

,

x(8)

,

x(9)

,

x(10)

,

x(11)9.20,

9.20,

9.

2,

9.24,

9.25,

9.92.52,7,

9.28,

9.30,

9.30,

9.65x1

, x2

,

x3

,

x4

,

x5

,

x6

,

x7

, x

8

, x

9

,

,x10

x11众数、中位数和均值的关系24左偏分布均值

中位数

众数对称分布均值=中位数=众数右偏分布众数

中位数

均值众数、中位数、均值的特点和应用251.众数-不受极端值影响-具有不惟一性-数据分布偏斜程度较大时应用中位数-不受极端值影响-数据分布偏斜程度较大时应用均值-易受极端值影响-数学性质优良-数据对称分布或接近对称分布时应用数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型适用的测度值定类数据定序数据定距数据定比数据众数中位数均值均值—四分位数众数调和平均数—众数中位数几何平均数——四分位数中位数———四分位数———众数27本节提问一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度?Q1Q2怎样理解均值在统计学中的地位?Q3 对于比率数据的平均，为什么采用几何平均?简述众数、中位数和均值的特点和应用场合。Q4第2节

分布离散程度的测度一、极差二、内距三、方差和标准差四、离散系数极差(range)29一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响4.未考虑数据的分布7

8

9

10

7

8

9

105.计算公式为:R

=

max(

xi)

-min(xi)内距

(Inter-Quartile

Range,IQR)30也称四分位差上四分位数与下四分位数之差

内

距=Q3–Q1反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响可用于衡量中位数的代表性方差和标准差(Variance

and

Standard

deviation)31离散程度的测度值之一最常用的测度值反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差;根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4

6

8

10

12?

x

=

8.3总体方差和标准差

(Population

variance

and

Standard

deviation)322未分组数据:NN??

2(x

?

)??

ii?1方差的计算公式标准差的计算公式2未分组数据:Ni(xN?

?

)?

??i?1组距分组数:2组距分组数:KN(M

??)

f?

2

??

i

ii?1(M ?

?)2

fi

iN?

?K?i?1案例分析总体标准差的计算333100

.550??7.87（个)?K?i?1K?i?

1iiF

i(X ?

X

)2

F?【例】根据表中的数据,计算工人日加工零件数的标准差某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)

频数(Fi)

(Xi-

X

)2

(Xi-

X

)2Fi105~110107.53246.49739.47110~115112.55114.49572.45115~120117.5832.49259.92120~125122.5140.496.86125~130127.51018.49184.90130~135132.5686.49518.94135~140137.54204.49817.96合计—50—3100.5样本方差和标准差(simple

varianceand

standard

deviation)342is2(x

?

x

)?n

?

1?i?12i(x

?

x

)s

?n

?

1?i?1i

ii?1s2

?n?1?

(M

?

x)2

f注意:样本方差用自由度n-1去除!方差的计算公式

标准差的计算公式未分组数据:n未分组数据:n组距分组数据:k组距分组数据:ki

i(M

?

x)2

fs?n?1?i?1样本方差自由度(degree

of

freedom)351.一组数据中可以自由取值的数据的个数2.当样本数据的个数为n时,若样本均值?x确定后,只有n-1个数据可以自由取值,其中必有一个数据则不能自由取值例如,样本有3个数值,即x1=2,x2=4,x3=9,则?x=5。当?x=5确定后,x1,x2和x3有两个数据可以自由取值,另一个则不能自由取值,比如x1=6,x2=7,那么x3则必然取2,而不能取其他值样本方差用自由度去除,其原因可从多方面解释,从

实际应用角度看,在抽样估计中,当用样本方差去估

计总体方差σ2时,它是σ2的无偏估计量案例分析样本方差36???

?

?

(8

?

8.5)2S

2n?

(xi

?

x)2i?

1n

?

1(10

?

8.5)2

?

(5

?

8.5)26

?

1n

?

1样本方差与标准差原始数据:

10

59

13

6

88.3

?

2.88??n

?

1(x

?

x)2i?1?

8.3n?

iSn

?1离散系数(coefficient

of

variation)37标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响用于对不同组别数据离散程度的比较计算公式为:??ssxv

?

?

v

?案例分析 离散系数381超市编号产品销售额（万元）x销售利润（万元）x211708.1222012.5339018.0443022.0548026.5665040.0795064.08100069.0【例】某公司抽查了所属的8家超市,其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度表2-8 某公司所属8家超市的产品销售数据案例分析 离散系数391v

=309.19536.25=0.57711x?536.25(万元)s?309.19(万元)2v

=23.0932.5215=0.710x2

?32.5215(万元)s2

?23.09(万元)结论:计算结果表明，v1<v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度本节提问为什么要计算离散系数?40第3节

分布偏态与峰度的测度一、偏态及其测度二、峰度及其测度偏态与峰度分布的形状42偏态峰度左偏分布扁平分布右偏分布尖峰分布与标准正态分布比较!偏态431、偏态：衡量频数分配不对称程度，或偏斜程度的指标。2.计算公式：偏斜（左偏)。

44?当?3=0时，左右完全对称，为正态分布；当?3>0时为正偏斜（右偏)；当?3<0时为负Ⅰ(α3

=0

)II(α3>0)Ⅲ(α

3

<

0)偏态案例分析

偏态45按纯收入分组（元)户数比重（%)500以下2.28500~100012.451000~150020.351500~200019.522000~250014.932500~300010.353000~35006.563500~40004.134000~45002.684500~50001.815000以上4.94【例】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表。试计算偏态系数表2-9

1997

年农村居民家庭纯收入数据案例分析 偏态与峰度从直方图上观察46户数比重(%)252015105按纯收入分组(元)←→结论:1.为右偏分布2.峰度适中500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000农村居民家庭村收入数据的直方图案例分析

偏态系数（计算过程)47按纯收入分组（百元)组中值X

i户数比重(%)Fii(X

-X

)

F3i(X

i-

X

)

F

4i5以下2.52.28-154.642927.155—107.512.45-336.464686.5110

—1512.520.35-144.871293.5315

—2017.519.52-11.8446