2017-2026年上海高考数学复习汇编：统计、概率、随机变量及其分布（学生版）

1.上海询考真题〉如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸

易额描述错误的是（）

20182021年中国货物进出口总额统计图

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B.从2018年开始，进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，进口总额逐年增大

D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

2.（2023•上海・高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（）

A.身高越高，体重越重B.身高越高，体重越轻C.身高与体重成正相关D.身

高与体重成负相关

3.（2023・上海・高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，

某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242,且四

个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为；

4.（2023•上海•高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm，根

据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5,且第一组下限为153.5,则组数为.

5.（2020•上海•高考真题）己知人人、1、2的中位数为3,平均数为4,则帅=

6.（2026•上海•高考真题）某兴趣班共15（）人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画画人数

[25,35)845

2

[35,45)1055

[45,55)650

(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在［25,35)岁的有多少人？

(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？

(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在［35,45)为事件记抽到学员爱好摄影为事件〃.事件

力与8是否独立？请说明理由.

7.(2025•上海•高考真题)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是历届奥

运会男子4x100米混合泳接力项H冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求这组数据的极差与中位数：

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=-().3Ux+6,年份x的平均数为2006,预测2028年冠军队的

成绩(精确至IJ0.01秒).

8.(2024•上海•高考真题)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(I)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育铁炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

(附：1=/⑺小，其中〃=〃+b+c+d，P(Z2>3.841)«0.05.)

(a+b)(c+d)(〃+c)e+d)'7

口,2)其他合计

3

优秀455095

不优秀177308485

合计22235858()

9.（2024•上海•高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共12（）个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，

单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

考点02概率

1.（2026•上海・高考真题）事件,4和事件8相互独立，“力和8至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AcBB.4U8C.AQBD.AuB

2.（2025・上海•高考真题）有一四边形力4c。，对于其四边力从BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以4为起点沿着尚未擦

去的边出发，可以到达。点的概率为（）.

A.；B.—C.~D.—

216416

3.（2024•上海・高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件力：所选盒中有中国结，事件6：所选盒中有记事本，事件C：

所选盒中有笔袋，则（）

A.事件＞1与事件8互斥B.事件力与事件8相互独立

C.事件/与事件BuC互斥D.事件力与事件AcC相互独立

4.（2026•上海•高考真题）己知事件力，8互斥，尸（力）=0.2,0（4）=0.5,则尸（/U8）=.

5.（2022・上海•高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为；

6.（2018•上海•高考真题）有编号互不相同的五个祛码，其中5克、3克、1克祛码各一个，2克祛码两个,

从中随机选取三个，则这三个硅码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）

7.（2017・上海•高考真题）己知四个函数：①y=-x；②y=--i③y=x\®v=J.从中任选2

个，则事件”所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

8.（2023•上海•高考真题）21世纪汽车博览会在.上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公

4

司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示;

红色外观蓝色外观

米色内饰812

棕色内饰23

（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件4为小明取到的模型为红色外观，事件8取到模型有棕色

内饰，求P⑻/⑻4）,并据此判断事件力和事件B是否独立；

（2）为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。

为了得到奖品类型，现作出如下假设：

假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内

饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。

假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。

假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。

请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是X,写出X的分布，并求X的数学期望。

X600300150

44977

P

25Uo150

考点03随机变量及其分布

I.（2025・上海・高考真题）己知事件力、4相互独立，事件力发生的概率为尸（4）=；,事件8发生的概率

为P（B）=g,则事件力发生的概率P（力门用为（）

A.；B.；C.yD.0

2.（2024•上海•高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

（~\（）\\

3.（2026・上海・高考真题）己知随机变量X的分布为一八，且七（X）=0.5,则b=.

aU.3b}

5

4.（2024•上海•高考真题）某校送办科学竞技比赛，有4&。3种题库，4题库有5000道题，B题库有

4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，已知小申完成/题库的正确率是0.92,8题库的正确

率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

一、单选题

I.（2026•上海•三模）下列结论中正确的是（）

A.数据1,3,4,5,7,9,II,16的第三四分位数为9

B.多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有

16个

C.已知N关于X的经验回归方程为3=0.3-0.7X,则样本点（3.-4）的残差为22

D.若随机变量X服从正态分布Ml。?），且P（XW2）=0.8,则尸（0<X<l）=0.3

2.（2026•上海嘉定•二模）生物学家在研究动物体重％（单位：g）与脉搏率/（单位：次-1而>|）的关系

时，获得了右表的数据，令x=ln%,y=ln/f并拟合线性回归方程）=公+九根据已知数据，下列说法

正确的是（）

动物名体重）/g脉搏率力（次min-D

鼠25670

豚鼠300300

兔2000205

小狗5000120

大狗3000085

羊5000070

马45000038

A.变量x与y成正相关，且A〉0B.变量工与卜成货相关，且3<0

C.变量x与y成正相关，且右<0D.变量了与丁成负相关，且刃>0

3.（2026・上海闵行•二模）以下是由变量x与V所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的

是（）

6

4.（2026•上海金山•二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名

学生，发现他们每天平均体育运动时间为1.5h.这里的总体是（）

A.该校所有学生B.该校所有学生的每天平均体育运动时间

C.所调查的10（）名学生D.所调查的10（）名学生的每天平均体育运动时间

5.（2026•上海普陀•二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨

部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工,

乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各

选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为X,则X的期望为（）

7「5II「13

AA.-B.-C.-D.—

4366

6.（2026•上海杨浦•二模）事件48相互独立，若尸（力）二；,P何）=:，则力与耳同时发生的概率为（）.

1,51

A.0B.-C.-D.-

663

7.（2026•上海金山•二模）已知全集U是一个六元集合，任取U的两个子集力、B（A、8可以相等），

记事件用：8C入记事件N:8Q7.则尸（MDN）=（）

95665-697729

A.C.D.

尹乙亍r

二、填空题

8.（2026•上海•三模）设总体由编号为00,01...,59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个

体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个

体的编号为.

50446644216606580562616564350242354896321452415248

226622158626637541995X4236722458375218510337183911

7

2026

9.（2026•上海•二模）已知样本数据为，々，…,々西的平均数为。，设“二/€。，当函数//）=Z（芍-女尸取最

M

小值时，4=.

10.（2026・上海徐汇•二模）已知实数%、%、%、4、%满足

[x\\x-ai）（x-a2）（x-a3）（x-a4）^c-as）=0}={1,2,3,4},则《、％、%、&、%的方差的最大值为.

11.（2026•上海普陀•二模）某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿

管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：（-3,-21.（-2,〃?）、（-1,-2）.（0,-1）.（1,0）.（2,1）、

（3,2）,若该机器人经过的点的纵坐标），关于横坐标x的一元线性回归方程是歹则〃，的值为

(3,3)

12.（2026・上海普陀•二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年7月至2026年1月，我国新能源汽

车月度销量（单位：万辆）为：143.2,156.7,162.4,158.3,182.1,173.5,168.9,则这7个月新能源汽车销量的中

位数为万辆.

13.（2026・上海•三模）某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dm2）与水生植物的株数y（单位：

株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y=ceh（c>0）去拟合x与y的关系，设z=lny,x与z的

数据如表格所示：

X3467

Z22.54.57

得到x与z的线性回归方程》=i,2x+》，贝卜=.

14.（2026・上海黄浦•三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为.（默

认每年天数均为365天，结果精确到0.001）

15.（2026・上海•三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到/、B、C、。四个特殊家庭开展帮扶，每

个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在力家庭的概率为.

16.（2026•上海虹口•三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为.

8

1_3--9

17.（2026・上海徐九•二模）设48是一个随机试验中的两个事件，且尸（8）=亍2（8|4）=〒尸（8|力）=6，

JJ1U

则尸（力）=.

18.（2026・上海闵行•二模）已知事件力发生的概率P（⑷=0.2,事件8发生的概率P（8）=0.5,若事件力与

4独立，则尸（/c与）=.

19.（2026•上海奉贤•二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训.设事件4:至少抽

到一名女生，事件8:恰好抽到一名男生，则P（用4）=.

20.（2026・上海黄浦•三模）将序号分别为1,2,3,4,5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每

人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为.

（12）

21.（2026・上海虹口•三模）已知随机变量X服从分布八，，则£（10¥-3）=

22.（2026•上海黄浦・三模）已知随机变量X服从正态分布%（2炉）（。＞0）,则P（X＞2）=.

23.（2026・上海静安•二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径〃为10.00mm.根

据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差4为。.0004mm2.规定：活塞销的直径在9.96mm

到10.04mm之间为合格品.随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是.（结果保留三位小数）

参考数据：若随机变量X~N（〃°2）,则尸（〃—b＜X«〃+b）a0.683,P（〃-2。＜丫4〃+2。）。0.954,

P（"-3。＜X«"+3o■卜0.997.

（\23、

24.（2026•上海金山•二模）已知随机变量X的分布为““，则期望上[%]=

[0.40.2aJLJ---------

25.（2026・上海崇明•二模）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件力表示“取得的牌面

是,4”，事件8表示“取得的牌的花色是黑桃”，则P（A|/1）为.

26.（2026•上海•二模）已知离散型随机变量X服从二项分布8（8,£j,则O（X）=.

27.（2026•上海•三模）随机变量X服从二项分布X~8（〃,p）,且E（X）=4,Q（X）=3,则p的值为

三、解答题

28.（2026・上海静安•二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表.

年份20212022202320242025

9

年份代码X12345

年销售量y（万台）23.52.589

（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）

（2）为了调查力、8两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在力、8两地区的人群中分别进行品牌

知晓情况的问卷调查.统计知晓与不知晓的人数，得到如下2x2列联表.

知晓不知晓合计

/地区8020100

8地区4060100

合计12080200

试根据表中数据判断/、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异.（规定品著水平

a=0.05）

£（工-司（乂-歹）

附：关于回归方程》=云十九回归系数的计算公式•，其中（只刃为样本点的中心；z2

.力-必

6二0-------

n(ad-bc)~

的计算公式/=

(a+b)(b+d)(a+c)(c+d)

P(%2nk)=a0.050.010.001

k3.8416.63510.828

29.（2026•上海•二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告

指出，高三学生每周手机使用时长X（单位:小时）总体上服从正态分布N（12,4）.

（1）小明老师将自己所带班级（共5（）名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态

分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数’在此估算基础上若在全班任选3位同学，

则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少？（结果用最简分数表示）

参考数据:若Y〜二（〃一），则"（IY—"<"）"X%.

10

(2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹

每周手机使用时长x与该周数学练习得分y(每周练习的难度相同且满分均为150分)，制成表1.以这5

组数据建立回归方程V=-3&+146.请求出实数〃?的值

表I

第1周第2周第3周第4周第5周

手机使用

2018221614

时长X

练习得分

80887392m

y

(3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计

划表中若第〃天能更习时长超过5小时(记为“高效复习”)，则第〃+1天也能“高效复习”的概率为若第〃

天不能“高效复习”，则第〃+1天还能“高效复习''的概率为］.设勺(14〃428,〃为正整数)表示第〃天能“高

效复习”的概率，＜=1，若匕＞07表示复习计划表第〃天有效.求证:数列｛巴是等比数列，并说明小

虹的该爱习计划表是否在寒假每一天均有效.

30.(2026•上海杨浦・二模)一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高

到低平均分为四组，第一组(均分最高的一组)的数据为141、140、138、134、133、133、133、132、132、132.

(1)求笫一组的得分的均值与中位数；

(2)若从笫一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；

(3)兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学

生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该

题与进入高分组有关？

附：/n(ad-bc)p(2>6,635)«0.01

zP(Z25.024卜0.025,P(2>3.841)°0.05,

Z(a+/))(c+d)(a+c)e+d)")Z

P(/22.706卜0.1.

高分非高分总

组组计

某客观题答

11

对

某客观题答

错

总计

高分组非高分组总计

答对131629

答错2911

总计152540

高分组非高分组总计

答对131629

答错2911

总计152540

31.(2026・上海闵行•二模)某学校举办“乐动体育”比赛活动，高三年级共有50名学生报名参加“小球类项

目”，其中参加乒乓球项目的有28人，参加羽毛球项目的有22人，赛前进行了一道比赛通用规则判断题测

试，答对得5分，答错得0分，统计结果加下表：

乒乓球项目羽毛球项目

答对人数1916

答错人数96

根据上述数据，回答下列问题：

(1)求这50名学生的平均得分；

(2)从这50名学生中随机选取2人做裁判.设随机变量X表示两名裁判的最高得分，求上[>]:

(3)是否有95%的把握认为该题的测试成绩与比赛项目有关？(附:

n(ad-be)2

,〃=a+力+c+d,02384])U0.()5)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

12

答对答错合计

乒乓球19928

羽毛球16622

合计351550

零假设〃。为：该题的测试成绩与比赛项目无关,

,,,,n(ad-bc)250x(19x6-16x9)2

则/=----：——-一-——--------=---：-----------L$).139,

(a+-)(c+d)(r+c)(b+d)35x15x28x22

因为尸(/之3.841)=0.05,0.139<3.841,

故接受假设，即认为没有95%的把握认为测试成绩与比赛项目有关.

32.(2026・上海金山・二模)绝对零度(℃)是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何

测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0(枕。)时,

气体温度达到绝对零度.以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：

数据123456

温度(℃)4.0716.6929.4245.6757.0673.05

压强

103.095107.734112,461118.469122,706128.758

(kPa)

(1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；(精确到0.01)

(2)若该次实验下气体压强V关于气体温度x的I可归方程为y=O.372x+5,预估该次实验下绝对零度的数值;

(精确到().(“℃)

(3)为了验证实验的普适性，口同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据.若任取其中的2个

数据，求该两个数据与绝对零度(-273.15°。)的误差均小于IC的概率.

绝对零度

-275.13-274.56-274.28-273.57-272.45-271.67

(°C)

33.(2026・上海黄浦•三模)雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组

成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研

究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.

13

分组区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

人数3075105603()

支持态度人数2466904218

（1）完成下列2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关;

年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计

支持态度人数

不支持态度人数

总计

（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记X为4人中

持支持态度的人数，求X的分布以及数学期望.

参考数据：P（r>3.841）^0.05

34.（2026・上海・三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业时现有

生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为X（单位nm）.

（1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素•，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转

速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为（）.75,-0.88,0.42.请按

照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）；

（2）现有IH设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取2个，记丫表

14

示取出的零件中直径大于10nm的零件个数，求丫的分布与期望；

（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X〜N（9,。爰），从生产的同一批零件中随机取出1（）个零件逐一独

立地进行检验，求至多有1个零件小于8.6nm的概率.（结果保留到0.0001）

参考数据：若x~N（4,/）,则夕（上一“工。）^（）.6827,P(|.r-//|<2o-)«0.9545.

Y012

142

rP

777

Y012

42

P

777

35.（2026,上海黄浦•三模）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的

袋中，记袋中红球的个数为X。.从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过〃次摸球，袋

中的红球个数记为X..

⑴求尸（匕二0）和P（X0=1）；

（2）求尸（乂=1）；

（3）当居=1时，求随机变量X?的分布列和数学期望E（Xj.

X?13

72

P

99