任意角 导学案-高中数学人教A版必修第一册

5.1.1任意角导学案

【学习目标】

1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.

2.掌握终边相同角的表示方法.

【学习重难点】

重点：正角、负角、零角与象限角的概念.

难点：终边相同角的表示方法.

【学习过程】

一、课前预习

预习任务一：知识预习

预习课本P168〜171,思考并完成以下问题

⑴正角、负角、零角是怎样规定的？

⑵终边相同的角如何表示？

（3）象限角与终边落在坐标轴上的角如何规定的？

预习任务二：简单题型通关

1.判断（正确的打“山，错误的打“X”）

⑴终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（）

⑵终边相同的角有无数个，它们相差360。的整数倍.（）

⑶终边相同的角的表示不唯一.（）

2.时钟经过1小时，时针转动的角的大小是.

3.下列说法:

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角：

③第二象限角是钝角；

④小于180。的角是钝角、直角或锐角.

其中错误的序号为(把错误的序号都写上).

二、新知精讲

1.任意角的概念

①角的概念:角可以看成平面内绕着端点从一个位置____到另一个位置所形

成的图形.

②角的表示：如图1一1一1，

⑴始边：射线的位置OA,

(2)终边：射线的位置OB,

(3)顶点：射线的O.

这时，图中的角a可记为“角a”或2a”或简记为忆”.

③角的分类：按旋转方向，角可以分为三类:

正角按一____方向旋转形成的角

零角射线一一作任何旋转形成的角

负角按方向旋转形成的角

2.象限角与轴线角

①象限角：以角的为坐标原点，角的为;I轴正半轴，建立平面直角坐标系,

角的终边(除端点外)在第儿象限，就说这个角是第几象限角.

②如果角的终边在坐标轴卜.称这个角为轴线角.

3.终边相同的角

①前提：。表示任意角.

②表示：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=[Ji\P=

｝.即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角。与整数个

的和.

三、题型探究

题型一任意角的概念

例1(1)已知集合4=｛第一象限角｝,8=｛锐角｝,C=｛小于90。的角｝,则下面关系正

确的是(

A.A=B=CB.AQC

C.AC\C=BD.8UCGC

(2)下面与一850°12,终边相同的角是()

A.230012,B.229。48'

C.129。48'D.130。12'

[方法总结I

1.判断角的概念问题的关键与技巧:

⑴关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

⑵技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.

2.在0。到360。范围内找与给定角终边相同的角的方法:

⑴一般地，可以将所给的角a化成》360。+4的形式（其中0。“〈360。，A£Z）,其中的夕

就是所求的角.

（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采

用连续加360。的方式：当所给角是正角时，采用连续减360。的方式，直到所得结果达到要

求为止.常见360。的倍数如下:

1x360°=360°,2x360°=720°,

3x360。=1080°,

4x3600=1440°,

5x360°=1800°.

I活学活用]

1.有下列说法：

①相差360。整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②终边相同的角一定相等；

③终边关于x轴对称的两个角a，少之和为。360。，伏WZ）.

其中正确说法的序号是.

题型二象限角与区域角的表示

例2（1）如图终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（）

A.｛皿360。+30°<4360。+45。，k^Z]

B.｛砒•180。+150。180。+225。，k^Z]

C.｛«|A-3600+1500<«<A:-3600+2250,kSZ\

D.{«|A:-360o+30°<a<h180°+45°,k^Z]

(2)」知角fi的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角p的取值范围.

I方法总结］

表小区间角的三个步探：

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的角a和夕,

写出最简区间3a令＜/?},其中万一。＜360。；

第三步：起始、终止边界对应角a,£再加上360。的整数倍，即得区间角集合.

［活学活用］

2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.

”/45°

-45°

四、易错误区

3所在象限的判定方法及角的终边对称问题

•V

探究1由Q所在象限如何求食&£!<)所在象限？

K

探究2若角a与//的终边关于x轴、)，轴、原点、直线y=x对称，则角a与£分别具

有怎样的关系？

例3(1)若a是第四象限角，则180。一。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知a为第二象限角，则2a,5分别是第几象限角？

(3)本例(2)中条件不变，试判断］是第几象限角？

［易错警示］

1.解决此类问题，要先确定。的范围，进一步确定出〃。或彳的范围，再根据k与〃的

关系进行讨论.

2.一般地，要确定彳所在的象限，可以作出〃等分各个象限的从原点出发的射线，它们

与坐标轴把圆周等分成4〃个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4〃个区域依次标上

号码1、2、3、4,则标号是〃的区域就是。为第几象限时，蓝的终边也可能落在区域.

五、达标检测

1.若。是第一象限角，则一患()

A.第一象限角B.第一、四象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

2.与一457。角终边相同的角的集合是（)

A.{a|a=3360°+457。，&WZ)

B.{丽=好60。+97。，依Z}

C.{姐=七360。+263。，kQZ\

D.{a|a=k360。-263。，kSZ\

3.下列各角中，与角330。的终边相同的角是（）

A.510°B.150°

C.-150°D.-390°

4.若角。与角夕终边相同，则。一/?=

六、本课小结

画

任零M

意

角象限用轴缓用

终边相同的用

参考答案

课前预习

1.【答案】(1W(2)4(3)4

2.【答案】一30。

3•【答案】①②③@

新知精讲

1.一条射线旋转

2.开始终止端点

3.逆时针没有顺时针

4、顶点始边

5、a+k-360%kez周角

题型探究

［例1］［解析］(1)第一象限角可表示为％360。＜冰4360。+90。，锐角可表示为

0。＜夕＜90。，小于90。的角可表示为y＜90。；由三者之间的关系可知，选D.

(2)与一850。12,终边相同的角可表示为。=-850。12，+/360。依£2),当k=3时,G=-

850°12/+1080°=229°48/.

［答案］(1)D(2)B

［活学活用］

1.①不正确.终边相同的两个角一定相差360。的整数倍・，反之也成立；

②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差&・36O。，(4£Z).

③正确.因为终边关于x轴对称的两个角,当(—180。，180。)，且夕£(一180。，180。)

时a+/?=0。，当a,4为任意角时，a+/?=h360。伏£Z).

【答案】③

［例2］［解析］(1)在。。〜360。内落在阴影部分角的范围为大于150。而小于225°,所以

终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为｛。上360。+150。*4-360。+225。，kS｝.

【答案】C

(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：

4=伊伙・360。+60。学＜々,360。+105。，k＜7」\.

阴影在x轴下方部分的角的集合为：8=｛用1-360。+240。乎＜七3600+285°,kGZ\.

所以阴影部分角P的取值范围是AUB,即｛川％360。+60。少〈大360。+105。，k^Z｝U

｛夕心3600+240。斗＜七360+285。，攵£Z),其中8可以化为：｛夕住360。+180。+60。斗＜4-3600

+180°+105°,kSZ\.

即｛你2〃?+1)x180°+600＜^＜(2w+1)x180°+105°,meZ).

集合A可以化为

｛/?|2/nx180°+60。少＜2〃?+180°+105°,EZ｝.

故AU8可化为｛川〃•180°+60°y〈〃•180°+105°,〃£Z｝.

［活学活用］

2.［解析］在一180。〜180。内落在阴影部分角集合为大于一45。小于45°,所以终边落

在阴影部分(不含边界)的角的集合为｛。|-45。+火・360。＜侬45。+%360。，k£Z｝.

易错误区

探究1(1)画图法：将各象限上等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注I,2,3,

4,循环下去，直到填满为止，则当。在第〃象限时，/就在〃号区域.例如：当角a在第

二象限时，垓在图―2时的2号区域，言图攵=3时的2号区域.但此规律有局限性，如在

己知角。的范围求角2a的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.

4=2时4=3时

(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理.如：当角a在第二象限时，90+々・360。"(<180。

+k360。，2£Z,则30。十&420。4<60。+火」20。，kGZ,所以1在第一、二、四象限.

探究2⑴关于y轴对称:若角a与4的终边关于y轴对称，则角a与4的关系是0=180。

-a+/360。，kRZ.

(2)关于x轴对■称:若角a与尸的终边关于x轴对称，则角a与尸的关系是/?=—a+k36()。，

kQZ.

(3)关于原点对称：若角a与△的终边关于原点对称，则角a与夕的关系是外=180。+口

+k360。，A£Z.

(4)关于直线y=x对称：若角a与夕的终边关于直线,，=”对称，则角a与夕的关系是6

=一。+90。+k360°,kSZ.

例3解析；(1)因为。是第四象限角，则角。应满足；

^-360o-90o<a<^360SkQZ,

所以一k3600<-a<-k-3600+90°,

则一Z?3600+180°