高中数学A版必修第一册第二章单元基础练习题（附答案详解）

高中数学A版必修第一册第二章单元

基础练习题

题型1不等关系与不等式

1.（福建福州）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5cm/s,人跑

开的速度为4m/s,为了使放炮的人在爆破时能安全跑到100m以外的安全区,

导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）

A.4喘>1。。B.4.^<100C.100.^<4D,100-^>4

2.（湖北黄冈）一个工厂每天可加工工件商品，经过技术革新该工厂每天可以

加工30%+560件商品，革新后每天加工的商品数比原来的7倍还多，用不等

关系表示为O

A.30x+560>75000B.30（%+560）>75000

C.30。+560）V75000D.30x4-560<75000

3.（广东广州）某汽车公司因发展需要，购进一批汽车，计划使用不超过

1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,

根据生产需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽

车x辆，B型汽车y辆，则写出满足上述所有不等关系的不等式为.

4.（河南郑州）某车间有15名工人，每人每天可加工a个零件，新出一批订

单，每天需要加工24个，则不等关系为：.

5.（浙江温州）用一限长为30m的绳子围成一边长为xm的矩形，该矩形的

面积S不小于18n?,清写出满足条件的不等关系,

题型2不等式的性质

1.(江苏南通)若火力,。,4£凡则下列命题正确的是()

A.若a>b,c>b,则a>cB.若a>b>0,则be?>

C.若Q>b,c>d,Mac>bdD.若工<工，则a>b

ab

2.(四川成都)下面命题中，正确的是()

A.若QC>be,则a>bB.若Q〉b,则ac?>be?

C.若de2>be2,则Q>bD.若a>b,c>d,则ac>bd

3.(河北石家庄)已知a>b>c,则下列不等式不成立的是

®ab>be；>2；③QC?>M；®a-c>b—c.

cc

4.(上海)设a,b,c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)若ac>be,则a>b；

(2)若a>b,则ac?>be2；

(3)若三<则a>b；

ab

(4)若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.

5.(湖南长沙)下列结论若成立，说明理由；若不成立，请举出反例.

(1)若Q>b,则ac>be；

(2)若ac>be,则a>b；

(3)若a>b,则a—b>d：

(4)若a>b,c>d,则a—c>b—d.

题型3基本不等式的理解

1.（山东济南）已知则下列式子中，最大的是（）

A.A-2+炉B.y[abC.—D.A

2涡

2.（安徽合肥）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值

等于较小部分与较大部分的比值，其比值为雪，约等于0.618.现取一条长

为100米的绳子，现从绳子一端截取一段，再将该段绳子从中间剪断，再取两

段中的一段，再从中间剪断，重复两次，最后得到两段绳子，两段绳子的长分

别为Q,b,则满足黄金分割比，则（）

A.Q大于100米B.Q小于100米

C.a等于100米D.a与绳子原长有关系

3.（陕西西安）已知Q>0”>0,且a+b=l,则质与：的大小关系为—.

4.（上海）已知0<。<匕，且a+8=1,请将匕,2时,。2+户按从小到大排歹ij.

5.（广东广州）两种购油方案，第一种方案：每次均买30元的油；第二种方

案，由市场油的价格有升有降，现买油有两种方式，每一种方式，每次均加30

升的油；

（1）设两次购买油的油价分别为X元/升，y元/升，请计算两种方案购买油

的均价；

（2）请比较两种购油方案的均价，说明哪种方案更划算.

题型4利用基本不等式求最值（条件）

1.（江苏南京）己知%>1,求x的最小值为（）

X-1

A.3B.2C.7D.8

2.（辽宁沈阳）函数？=%+±（%>1）的最小值为（）

A.2B.6C.4D.8

3.（重庆）已知x>2,求不+々的最小值.

X-2

4.（云南昆明）求最大值：

（1）已知％VO,求x+工的最大值；

X

（2）己知Ovxvl,求％（1%）的最大值.

5.（湖北武汉）已知—2x+y=l,求";的最小值.

题型5基本不等式的妙用求最值

1.（北京）己知工为正数，贝Ij9x+1的最小值为（）

A.2B.4C.6D.9

2.（江西南昌）设x〉0,y>0,且x+y=l,则三+三的最小值为（）

xy

A.2+2V2B.2V2C.4D.3+2V2

3.（上海）已知%>0,y>0,x4-2y=1,则：的最小值为（）

A.3+2V2B.32V2C.2V23D.2V2

4.（四川绵阳）已知正数x,y满足x+y=1.

⑴求*2的最小值；

xy

⑵求冷的最小值.

题型6一元二次不等式的解法

1.(山东青岛)不等式Q4)。+1)VO的解集为。

A.x|-1<%<4B.x|xV-l或％>4

2.C.x|l<x<4D.%|4<%<1

3.（天津和平）关于工的不等式办2+（。？％1<0,其中。工（），则此不等式

的解集不可能是（）

A.(-oo,-1)B.(-1,4-=°)

C.（-^-1）D.（—l,q）

3.（山西太原）求不等式/3%2>0的解集.

4.（吉林长春）解下列一元二次不等式

（1）2x27x+3>0；

（2）2%2+7X+4<0.

5.（宁夏银川）解下列关于x的不等式

(l)2x23x+1<0；

(2)x(2x)>0；

⑶务>0.

题型7解分式.绝对值不等式

1.（安徽蚌埠）不等式工》1的解集为（）

X

A.（0,1]B.[0,1]C.D.

2.（甘肃兰州）不等式孑40的解集为（）

大IO

3.（广西南宁）不等式|2x4|41的解集是.

4.（贵州贵阳）解卜列不等式:

⑴、0;

2x

（2）|2xl|>2.

4.（辽宁大连）解下列关于X的不等式.

⑴黑”

(2)|2%4|<x+2.

题型8二次函数的图象分析与判断

1.（福建福州）不等式a%2+bx+c>0的解集为一1VX<2,则函数y=

C%2+Q%+b的图象大致为（）

2.（江西南昌）在同一平面直角坐标示中，二次函数丫=。产+8%+。与一次

函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2bx+c的图象可能是（）

3.（河北保定）二;

论中正确的是

4.（江苏徐州）已知二次函数〉=%2771%+4且满足/（4）=/（3）.

（1）求该函数的解析式；

（2）若该函数的定义域为[工4],求该函数值域.

题型9一元二次不等式的应用

1.（河南新乡）已知二次函数y=bx+c的解是（一8,-1）u（4,+8）,则函数

y=ex2+ax+b,下列不等式成立的是()

A./(4)>/(0)>/(1)比/(4)>川)>/(0)

C/(0)>/(1)>/(4)D./(0)>/(4)>/(l)

2.(广西百色)一元二次方程以2+以=0(。>0)的两根为2,3,那么关于工

的不等式a/力工+。v0的解为()

A.x|—2<%<3B.x|3<x<2C.x\x<-2或久>3D.x\x<

—3或%>2

3.（海南海口）已知二次函数y=%2+8%+（：的图像如图所示，则不等式/

bx-c<0的解集为

4.（上海）已知函数？=%2bx+3,bER.

（1）若y>0恒成立，求b的取值范围；

（2）解不等式yVO.

5.（四川内江）已知二次函数y=/2x3.

（1）求y=0时，%的值；

（2）求34入《0时，y的取值范围.

题型10一元二次不等式的实际应用

1.（陕西咸阳）某商店销售一种进价为每桶30元的桶油，为了获得最大利润,

当每桶售价为％元时，总利润可表示为Q30）（1202x）,则每桶售价多少元，总

利润最大（）

A.45B.12C.15D.5

2.（河南驻马店）某商店购进一批新台灯，若按每台15元的价格销售，每天

能卖出200个，售价每提高1元，销售量将减少10个，现该店要想获得最

大利润，则售价应该定为（）

A.17.5元B.22.5元C.11元D.18元

3.（宁夏吴忠）已知一块花苗的面积均为150平方米，若在矩形花坛长比宽

至少多4米，则花坛的宽的取值范围为.

4.（河北张家口）如图，在长为8m,宽为6m的矩形的四周种花，中间放草

坪，要求草坪的面积不超过原面积的四分之一，则花的宽度至少应为多少？

5.（全国）某商品的成本价为80元，售价为100元/件，每天售出100

件，若售价降低久成（1成=10）,售出商品的数量就增加成，要求售价不能

低于成本价.

（1）设该商品一天的营业额为y,试写出y与x之间的函数关系式；

（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求》的取值范围.

答案解析

题型1不等关系与不等式

1.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5cm/s,人跑开的速度为4

m/s,为了使放炮的人在爆破时能安全跑到100n以外的安全区，导火索的长

度x(cm)应满足的不等式为()

A.4,—>100B.4,——<100C.100,--V4D.100,-->4

0.50.50.50.5

【答案】A

【解析】导火索燃烧的时间为W秒，人在这段时间跑的路程为4•会明

U・D

由题意，得4♦言>100,故选A.

2.一个工厂每天可加工x件商品，经过技术革新该工厂每天可以加工30%+560

件商品，革新后每天加工的商品数比原来的7倍还多，用不等关系表示为()

A.30%+560>75000B.30(%+560)>75000C.30(%+560)<75000

D.30%+560<75000

【答案】B

【解析】根据题意可得每天加工的商品数为30(%+560),即可得出结果.

3.某汽车公司因发展需要，购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金

购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据生产需要，

A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，没购买A型汽车4辆，B型汽

车y辆，则写出满足上述所有不等关系的不等式为.

【答案】

40%+90y<1000

%>5

【解析】根据题意得到

y>6

x,y£N*

4.某车间有15名工人，每人每天可加工a个零件，新出一批订单，每天需要

加工24个，则不等关系为：.

【答案】15%>24

【解析】该车间工人一天平均每天加工15x个零件，加工15天的零件个数与

12天加工的零件个数不小于24个，故15x》24.

5.用一根长为30m的绳子围成一边长为％m的矩形，该矩形的面积S不小于

18m2,请写出满足条件的不等关系.

［答案］卜（15大）>18

【解析】由于矩形的周长为30,则一边长为工,另一边长为（15九），则可得不

等关系：「（15乃）18

（0<%<15

题型2不等式的性质

1.若仇c,dWR,则下列命题正确的是（）

A.若Q>b,c>b,则a>cB.若a>b>0,则be?>QC?

C.若a>b,c>df则ac>bdD.若三VKJa>b

【答案】B

【解析】对于A,取Q=1,Z?=1,c=2,满足a>b,c>b,但aVc,A

错误；

对于B,由Q>b>0,c2>0,所以be?<ac2,B正确；

对于C,取Q=2,b=1,c=1,d=2,满足Q>b,c>d,但ac<bd,C

错误；

对于D,取a=-1,b=1,2<J,但Q<b,D错误.故选B.

2.下面命题中，正确的是（）

A.若etc>be,则Q>bB.若a>b,贝Me2>be?

C.若ac2>be2,则a>bD.若a>b,c>d,则ac>bd

【答案】C

【解析】对于A,当c<0时不成立；B,当c=0不成立；C,c2>0,不等式两

边同除以正数，不等号方向不变：D举反例可证错误，故选C.

3.已知a>b>c,则下列不等式不成立的是.

①ab>be；啰〉£；③ac?>be?；©at>bv.

【答案】①②③

【解析】对于①，取b=0,贝ijab=be,不成立；

对于②，eVO时，不等号方向改变，不成立；

对于③，c=0,ac2=be2,不成立；

④由不等式性质，a>bna~c>bx:成立,故填①②③.

4.设a,b,c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)若ac>be,则Q>b\

(2)若a>b,则ac?>be2；

(3)若工<：,则

(4)若a>b>0,c>d>0,则ac>匕d.

【答案】

(1)假命题，当c<0时，ac>be=>a<b；

(2)假命题，当c=0时，ac2=be2；

(3)假命题，取Q=—1,b=1,-<aVb；

ab

(4)真命题，同向正数不等式相乘，不等号方向不变.

5.下列结论若成立，说明理由；若不成立，请举出反例.

(1)若a>b,则ac>be；

(2)若ac>be,贝IJQ>b；

(3)若a>b,则

(4)若a>b,c>d,贝！

【答案】

(1)不成立，evO时反例；

(2)不成立，evO时反例；

(3)不成立，c,d大小不确定；

(4)不成立，举反例：a=3,b=2,c=2,d=0,ac=1,bd=2,1<2.

题型3基本不等式的理解

1.已知a>0,b>0,则下列式子中，最大的是()

A.yJa2+b2B.yjabC.—D.

ab

【答案】A

【解析】由基本不等式：调和平均数《几何平均数《算术平均数4平方平均数,

<va24-b2,故选A.

2.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分

与较大部分的比值，其比值为浮，约等于0.618.现取一条长为100米的绳

子，现从绳子一端截取一段，再将该段绳子从中间剪断，再取两段中的一段，

再从中间剪断，重复两次，最后得到两段绳子，两段绳子的长分别为Q,b,则

Q为满足黄金分割比，则()

A.Q大于100米B.Q小于100米C.Q等于100米D.Q与绳子原长有

关系

【答案】B

【解析】截取的均是原绳子的部分，故每段长度小于原绳长100米，选B.

3.已知la>0,b>0,且Q+b=l,则核与之的大小关系为\l\|\l\I.

【答案】属《之

【解析】由基本不等式而(炉=5当且仅当Q=8=：取等号.

4.已知0<QV匕，且a+b=1,请将比2a瓦，+炉按从小到大排列

【答案】2。8<小+匕2

【解析】0<"从。+匕=1,则0V"；<bVl,

2ab<2(等)口，

。2+/=(Q+匕)22ab=12ab,

作差比较即可得到2ab<a2+b2<b.

5.两种购油方案，第一种方案：每次均买30元的油；第二种方案，由市场油

的价格有升有降，现买油有两种方式，每一种方式，每次均加30升的油；

(1)设两次购买油的油价分别为％元/升，y元/升，请计算两种方案购买油

的均价；

(2)请比较两种购油方案的均价，说明哪种方案更划算.

【答案】

(1)方案一均价：沱；方案二均价：？；

x+y2

(2)9《手，当x=y时相等；油价不同时，第一种方案均价更低，第一和方

x+y2“

案划算.

【解析】方案一总钱数60元，总油量〃+哎，均价耳=血；

xy—+—x+y

xy

方案二总油量60升，总钱数30%+30y,均价四铲=审；

602

由基本不等式应《同《十，xwy时，应〈?.

.r+yV/2Jx+y2

题型4利用基本不等式求最值(条件)

1.已知1%>1,求工+工的最小值为()

XI

A.3B.2C.7I),8

【答案】A

【解析】x>l=>xl>0,

%+—=(%-1)+—+1>2=3,当且仅当％-1=二•即x=2取

X-1XiyjX-1X1

等号，最小值3,选A.

2.函数y=x+白。>1)的最小值为()

A.2B.6C.4D.8

【答案】A

【解析】同第1题，？=(1)+±+1)2+1=3,选项A应为3,原题印

刷选项.

3.已知x>2,求―+土的最小值.

X2

【答案】4

［解析］%>2=>x2>0,

x+—=(x2)+—+2>2+2=4,当％2=L，x=3取最小值4.

x2x2x2

4.(1)已知xVO,求工+工的最大值；

X

(2)已知OVxVl,求x(lx)的最大值.

【答案】⑴2；(2)i

4

【解析】

（l）x<0,—x>0»（—x）+（一：）》2,x+：=—（—%）+（—：）]《2，最大值

-2；

（2）0<x<1,x（lk）《（=1,x=g取最大值土

5.己知x>0,y>0,2x+y=l,求:+；的最小值.

【答案】3+2企

【解析】

当r=即y=结合2%+y=1取等号.

题型5基本不等式的妙用求最值

1.己知x为正数，贝1]9左+工的最小值为（）

X

A.2B.4C.6D.9

【答案】C

【解析】%>0,9%+>2）9x--=6,当9x=-,x=：取等号，最小值6.选

C.

2.设％>0,y>0,且无+y=l,贝咛+：的最小值为（）

A.2+2遮B.2V2C.4D.3+2企

【答案】D

【解析】

3.已知x>0,y>0,x+2y=1,则工+工的最小值为（）

xy

A.3+2&B.32aC.2V23D.2或

【答案】A

【解析】

4.已知正数%,y满足x+y=1.

（1）求三+2的最小值;

xy

⑵求2+工的最小值.

Xy

【答案】(1)3+272；(2)3+272

【解析】乘1法，(x+y)乘分式，展开基本不等式求解.

题型6一元二次不等式的解法

1.不等式(工4)。+1)<0的解集为()

A.x|-1<x<4B.<-1或x>4C.x\l<%<4D.x|-4<x<

1

【答案】A

【解析】零点%=-1/=4,开口向上，小于0取两根之间，-1VXV4.

2.关于％的不等式a/+(Q])%一1<0,其中Q40,则此不等式的解集不可能

是()

A.(-00,-1)B.(-1,4-00)C.(一：,-1)D.

【答案】C

【解析】因式分解(ax4)(x+1)V0,分a=0,QVO讨论，QV0两根一13，

比较大小可得解集不可能是C.

3.求不等式/3x2>0的解集.

【答案】或％〉三洛

【解析】解方程/3x2=0,x=岑渔=手，开口向上，大于0取两边.

4.解下列一元二次不等式

(1)2/7x+3>0；

(2)2x2+7x+4<0.

【答案】

(l)x|x<1或%>3；

(2)x|x>4或％<

【解析】

⑴2.M7T+3=(2x4)(.rS)>0：

(2)2x27x4>0,(2x+1)(x4)>0.

5.解下列关于x的不等式

(1)2/3x+1<0；

(2)x(2x)>0；

⑶三>0.

x+2

【答案】

(1)%||<X<1；

(2)x|0<%<2；

(3)x|x>1或％<—2

【解析】

(l)(2xl)(xl)<0：

(2)x(x2)<0：

(3)等价(%?(%+2)>0.

题型7解分式、绝对道不等式

1.不等式工》1的解集为()

X

A.(04]B.[0,1]C.(一呜u[l,+8)D.(_8,一三乂1,+8)

【答案】A

【解析】；1》0=">0=犯《0等价卜(”一1)4°，解得0cx41.

%%%(丫壬n

2.不等式言《0的解集为()

【答案】%|-3<%<2

【解析】等价02)(%+3)40,4+3工0・

3.不等式|2x4|41的解集是.

【答案】x|0<x<1

【解析】-1<2x4<1，0<2%<2,0<x<1.

4.解下列不等式:

⑴>)0:

2x

(2)|2xl|>2.

【答案】

(1)%|1<%<2；

(2)x|x)|或x(一：

【解析】

0=(%4)(x2)<0,x。2；

(2)2x4>2或2%勺<2.

5.解下列关于x的不等式.

(1)—>1；

X+1

(2)|2xl|<x+2.

【答案】

(l)x|x<-1或%>2；

(2)x]一[《x43

【解析】

⑴蟹>0=瞪>0；

(2)^2<2x-l<x+2,左右分别解取交集.

题型8二次函数的图象分析与判断

1.不等式a/+匕》+。>0的解集为-1vx<2,则函数y=ex2+QX+b

的图象大致为()

【答案】开口向上，两根为％=Lx=一9的二次函数图像

【解析】由解集知a<0,-1,2是Q/+匕％+。=o两根，韦达定理：-1+2=

-1x2=(,得6=-Q,c=-2a,代入y=c/++b=—2。%2+

axu,a<0,-2Q>0开口向上，解方程-2a/+3。=。得根i,一：

2.在同一平面直角坐标系中，二次函数、=。/+以+。与一次函数3,二。才+

C的图象如图所示，则二次函数y=a/8%+c的绍象可能是()

【答案】根据Q,b,c符号判断图像，对称轴％=以.

3.二次函数丫=a/+b%+c(Q00)的图像如图所示，则下列结论中正确的

是•

【解析】由图像开口、对称轴、与坐标轴交点判断a,b,c,△符号.

4.已知二次函数y=x2vix+4旦满足/(一1)=/(3).

(1)求该函数的解析式；

(2)若该函数的定义域为求该函数值域.

【答案】

(1)/(%)=x22%4-4；

(2)[3,12]

【解析】

(l)f(-l)=1+m4-4,/⑶=93m+4,5+m=133m=4m=8=n?=

2；

(2)/(%)=(xi)2+3,对称轴％=1E[-1,4],最小值f(l)=3；/(-l)=7,

/(4)=12,最大值12,值域[3,12].

题型9一元二次不等式的应用

1.已知二次函数y=取+C的解是(一8,-1)U(4,+8),则函数y=c/+

ax+b,下列不等式成立的是()

【解析】由一元二次不等式解集反推方程根，韦达定理求系数，再解新不等式.

2.一元二次方程。/+"=0(a>0)的两根为一2,3,那么关于％的不等式a-

bx+c<0的解为()

A.x|-2<x<3B.x\-3<x<2C.x\x<-2或x>3D.x\x<

-3或%>2

【答案】B

【解析】a/+9=o根—2,3,x(ax4-b)=0,-^=1,a>0,b=—a,方

程a/力丫+c=0两根为-3,2,开口向上，小于0取两根之间-3vxV2.

3.已知二次函数y=严+/?》+。的图像如图所示，则不等式一％2<0的解

集为.

【答案】或X>%2，%1，%2为图像与横轴交点横坐标.

【解析】一%2%Xp<0<=>/+人工+。>0,取图像在X轴上方部分对应的X.

4.已知函数y=x2"+