CH07二叉树期权定价法

第7章期权定价的二叉树模型单步二叉树模型风险中性定价原理两步二叉树模型一、单步二叉树模型执行价格为21元的看涨期权。3个月⒈一个示例2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型2/39

股票和股票期权所面临的系统风险相关,适当配置两种资产可以消除系统风险,组建无风险组合。

考虑以下组合:①买入1份股票看涨期权②卖空Δ股股票

显然,适当调整Δ可以使得上述组合为无风险组合。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型3/39

如果这个组合是无风险组合，则其价值与状态无关，所以，以下数学表达式成立:解得,

也就是说,1份看涨期权多头加上0.25股股票空头构成的组合是无风险组合。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型4/394.50元5.00-C0元3个月2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型5/39⒉单步二叉树模型的推广无风险组合:Δ股股票多头+1份期权空头2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型6/392026/10/30第7章期权定价的二叉树模型7/39将Δ代入f,得2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型8/392026/10/30第7章期权定价的二叉树模型9/39在之前的示例中，我们得到:结果与之前一致。2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型10/39

单步二叉树模型至少给我们两点启示：

⑴期权价格与股票价格变化的真实概率无关（这与我们的直觉不一致)

⑵期权价格在定价形式上可以看成到期日价值期望值的贴现值（按无风险利率贴现)2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型11/39二、风险中性定价⒈风险中性假设

公平赌博是指赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均的意义上来讲应当是"不输不赢”。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型12/39

有一个掷硬币的赌局（假定硬币是完全对称的)，正面朝上可以赢得2000元，反面朝上则无钱收回。试问你愿意以多少钱作为入局费参加这样的赌博？公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝1000元2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型13/39

如果有人愿意无条件地参加公平的赌博,则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对风险采取无所谓的态度。

入局费＜1000元风险厌恶者众多入局费＝1000元风险中性者入局费＞1000元风险喜好者极少愿意支付的入局费风险类型数量2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型14/39财富的效用愿意支付的风险金W0Wh风险厌恶者风险中性者风险喜好者不同风险类型者的财富效用曲线凹性效用函数线性效用函数凸性效用函数金融学2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型15/39u1u1u1u2u2u2U＝f（财富)→U＝g（E（R))U＝h（风险)→U＝q（σR)R＝φ（σR)风险回避型效用函数风险爱好型效用函数风险中立型效用函数投资学2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型16/39

风险中性的投资者对风险不要求回报,他们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险收益率。

投资回报率=无风险利率+风险溢价2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型17/39

在一个假想的风险中性的世界（Risk-NeutralWorld)里，所有的市场参与者都是风险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按无风险收益率贴现的价值（即现值)。

这就是风险中性定价的基本思想。

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我们回到之前的示例中，在那里，我们可以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到期日T时刻，股票价格的期望值为:代入p值,得

在我们的假设下，从概率角度讲，股票价格以无风险利率增长（也就是说股票的期望收益率等于无风险利率)。

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所谓风险中性假设就是:

如果对一个问题的分析过程和投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应成立。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型20/39⒉风险中性定价理论

风险中性理论又称风险中性定价方法（RiskNeutralPricingTheory)，是考克斯（CoxJ.C.)和斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross)于1976年推导期权定价公式时建立的。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型21/39

风险中性定理表达了资本市场中的这样的一个结论:即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。

这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型22/392026/10/30第7章期权定价的二叉树模型23/39

利用风险中性假设的分析方法进行金融产品的定价,其核心环节是构造出风险中性的概率。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型24/39标的股票价格变动路径解得即股票价格上升的概率为0.6523。2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型25/39解得股票看涨期权价格变动路径这与在真实世界里利用无套利理论得出的定价结论是一致的。2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型26/39

注意，我们在风险中性定价过程中使用的标的股票价格上升的概率不是真实的概率，而是假想的概率（称为风险中性概率)，这个假想是建立在股票的期望收益率等于无风险利率的基础上的。事实上，股票价格是按期实际收益率上升的，如果股票的实际收益率为16%，则其价格上升的概率为以下表达式中的q：解得2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型27/39

与此对应，在真实世界里，该股票期权在到期日的预期价值为:由此可以得到期权的预期收益率

股票期权的预期收益率明显高于股票的预期收益率。这与我们的直觉是一致的,因为期权的风险要高于股票的风险。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型28/39对风险中性定价原理的总结:

在风险中性的经济环境中，投资者并不要求风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率;由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现值与它们当前的价值相等。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型29/39

假定风险中性世界中基础资产价格上升的概率为p，由于其未来价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等于其当前的价格，因此该概率可通过下式求得:则以该资产为标的物的衍生证券的价格为:2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型30/39三、两步二叉树模型⒈一个示例两步二叉树中的股票价格和期权价格2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型31/39

根据单步二叉树的定价原理，可以可以将上述两步二叉树分离为三个单步二叉树（从右向左；先上后下)：2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型32/39根据无套利原则,得2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型33/392026/10/30第7章期权定价的二叉树模型34/39⒉两步二叉树的一般形式2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型35/39

依据单步二叉树定价法，可得以下三表达式:将前两式代入第三式,整理得到这个结论验证了风险中性原理。2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型36/39

例7.1考虑一个2年期的欧式股票看跌期权，其执行价格为52元，当前标的股票的价格为50元。我们假定股票价格为两步二叉树，每个步长为1年，在每个步长中，股票价格按20%的比例上升或下降。如果每个步长的无风险利率均为5%（连续复利)，试绘制出股票价格和股票期权价格的两步二叉树，并确定该股票期权当前的合理价格。

2026/10/30第7章期权定价的二叉树模型37/39作业题:

⒈

股票现价为50元，6个月后（期间无红利支付)的股票价格要么为60元，要么为42元。现有以该股票为标的物的欧式看跌期权，执行价格为48元，6个月后到期。如果6个月期的无风险利率为12%（连续复利)，试分别利用无套利原理和风险中性定价原理确定该期权当前价格，并比较计算结果。

⒉

将本章第一个示例中的单步分为两步，即步长由原来的3