第一章《集合与常用逻辑用语》单元检测卷（含解析）2026-2027学年高一年级上册数学人教A版必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷2026-2027学年

学校:姓名：班级：考号：

题号--二三四总分

得分

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（共40分）

1.下列可以构成集合的是（

A.2025年我校高一数学期中试卷中的难题

B.高一年级所有高个子男生

C.2025年所有受观众喜爱的影片

D.所有大于3的自然数

2.不小于2的所有整数构成的集合可表示为（）

A.{xeQIx>2}B.{xEN\x>2]C.{xeIx>2}D.{xEN\x>2}

已知命题一则-是(

3.pFx>1,/1>0,1P)

A.Vx>1,x2-1<0B.Vx<1,x2-1<0

C.<l,x2-1<0D.>l,x2-1<0

4.已知集合力={x|-11}：B={x\0<x<2],则21Ug=()

A.{x|0<x<1}B.{x\-l<x<2}

C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

5.2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手''.对接时，只有空间站组合

体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太

空提手根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现，太空握手'”是“空间站组合体与梦天实验舱

处干同一轨道高度”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.卜列命题中的直命题是（)

A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角

C.若/=则同=|mD.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

7.对集合4=｛1,2,3,几｝的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减

的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果.如：集合｛1,2,4,7,10｝的“交

替和”为10-74-4-2+1=6,集合｛7,10｝的“交替和”为10-7=3,集合｛10｝的“交替和”为10,则集合A所

有非空子集的“交替和”的总和为（）

A.n-2n-xB.n-2n

C.n（n+1）-2n-2D.n（n+1）-2n-l

8.杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比

赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过

其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没

观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比蹇的人的数据夭失，i已为m,则由上述可推断Hm=（）

A.16B.17C.18D.19

二、多选题（共18分）

9.下列命题正确的是（）

A.三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件

B.Vx6R,x2-x+10

C.有些平行四边形是菱形是全称量词命题

D.至少有一个整数，使小+几为奇数是真命题

10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.3GQ4UC)B.CyBn(/IUC)

C.BACy{AUC)D.5n8)U(3nC)

11.对任意48GR,定义A㊉8={H%€4U又％04AB}.例如,若A={1,2,3},B={2,3,4},则。㊉B=

{1,4},下列命题中为真命题的是()

A.若力,81/?且4招8=8,则力=0B.若48GR且力㊉8=0,则4=8

C.若48GR且4㊉8GA,则为GBD.若A,BGR,则(C/)㊉B。(/㊉B)

三、填空题(共15分)

试卷第2页，共4页

12.若。6{1,小一2。+2},则实数Q的值为.

13.已知集合4={刘/-3%+2=0/€1<},8={对0<工<8/61^},则满足条件AGCB的集合C个数

为个.

14.已知命题p:“方程a/+2%+1=。至少有一个负实根”,若p为真命题的一个必要不充分条件为a<m+l,

则实数m的取值范围是.

四、解答题(共77分)

15.已知p:-2W%W6,q:m<x<m+1.

(1)若m=2,那么p是q的什么条件；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

16.设A={x|x2+ax+12=0],B={x\x2+3x+2b=0},AC\B={2},C={2,—3).

(1)求a,b的值及4B；

(2)求(4U8)nC.

2

17.已知命题p:V%6R,%+2m-3>0,命题qT&WR,XQ-2mx0+m4-2<0.

⑴若命题〃为真命题，求实数mH勺取值范围；

(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；

⑶若命题P，夕至少有一个为真命题，求实数，〃的取值范围.

18.己知数集4={%4…，即}(1W%V。2<<SN2)具有性质P：对任意的/>；(1<i<;<n),

与攵两数中至少有一个属于A(如a3a4与3中至少有一个属于4；•

«ia3

(1)分别判断数集4={1,3,4}与8={1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由;

(2)求小的值；

⑶证明：%+a2+…+0n=即(\+2+…+3

19.定义：若任意m,n64(w，〃可以相等)，都有则集合B=卜卜二黑,€4}称为集

合A的生成集；

(1)求集合4={3,4}的生成集8；

(2)若集合4={a,2},4的生成集为从4的子集个数为4个，求实数"的值;

(3)若集合4=(一1,1)，A的生成集为8,求证4=8.

试卷第4页，共4页

《第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷2026-2027学年高一上学期数学人教A版必

修第一册》参考答案

题号12345678910

答案DDABACAAABAD

题号11

答案ABD

1.D

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合元素的确定性进行判断

【详解】对于选项A,什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合；

对于选项B,高个子也没有标准，所以B不能构成集合：

对于选项C,受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合；

对于选项D,一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合.

故选：D

2.D

【知识点】描述法表示集合

【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为{%GV|%>2}.

3.A

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以是Vx>l,x2-l<0.

故选：A

4.B

【知识点】并集的概念及运算

【详解】已知力={%I-1<x<1},B=[x\0<x<2},

所以力UB={x[-l<x<2}.

5.A

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】由推出关系可确定结论.

【详解】由题意知：“太空握手”="空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间

站组合休与梦天实验舱处了同一轨道高度”用“太空握手”，

答案第1页，共9页

.•，梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手是"空间站组合体与梦天实验舱处于同一

轨道高度”的充分不必要条件.

故选：A.

6.C

【知识点】判断命题的真假

【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判呼C；

运用三角形外角的性质可判断D.

【详解】对于A,互余的两个角可能相等，比如都为45',故A错误；

对于B,相等的两个角可以是对顶角，故B错误；

对于C,若小=匕2,则①+匕）（。-b）=0,即a=b或a=—力，则|a|=网，故C正确；

对于D,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角云口，故D错误；

故选：C

7.A

【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】因为集合A的非空子集有（24-1）个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必

须通过分析“交替和''的特点，寻找“交替和”的规律.为『我至『'交替和''的规律，令几=4,则

A={1,2,3,4}的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下:

[1,2,3/}4-3+2-1=2；{1,2,4}4-24-1=3；{3,4}4-3=1；

{1,2,3}3-24-1=2；{1,2}2-1=1；{3}3：

{1,3,4}4-3+1=2；{2,3,4}4-3+2=3：{4}4.

{1,3}3-1=2；{2,3}3-2=1；

{1,4}4-1=3；{2,4}4-2=2；

{1}1；{2}2；

从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合{4}以外，可以把集合A的子集分成两类：一类

子集中包含4,另一类不包含4,并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设凡是

集合A的一个不包含4的子集，则令4与集合4U{4}相对应，显然4•与％U{4}的“交替和”

之和为4.因为这样的4•共有3（24-2）=7个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和

为7x4+4=32.

【详解】解：集合力="，2,3,…，n}的非空子集中，除去集合{九},还有2"-2个非空子

答案第2页，共9页

集，将这2'-2个子集分成两类:第一类是包含元素九的子集;第二类是不包含元素n的子集；

在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系/':4->4U{n},其中人是第二类子集,

显然这种对应是一一映射，设4的“交替和”为k,则4U5}的“交替和”为ri-匕这一对集

合的“交替和''的和等于九，所以集合A的所有非空子集的咬替和”的总和为-2)xn+

n=n-2n-1.

故选：A.

8.A

【知识点】容斥原理的应用

【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有x人，观看过球类与游泳类比赛的有y人，观

看过田径类与游泳类比赛的有z人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a，6,

c,画出Veen图结合题意求解即可.

【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有4人，观看过球类与游泳类比赛的有y人，

观看过田径类与游泳类比赛的有z人，则m=x+y+z,

只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a,b,c,如图，则a+b+c+x+y-z=

50-15=35①，

因为有18人没看过球类比赛，所以匕+c+z=18,

因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以a+c+y=20,a+b+%=

16,

所以2(a+b+c)+%+y+z=54②，由①②得a+b+c=19,则m=16.

故选：A.

\b

田径类

9.AB

【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否为全称命题

【分析】A：结合充分不必要条件的概念即可判断：B：由/一%+1=(%-32+：>0即

可判断；C：全称量词命题的关键词即可判断；D：根据n为奇数或偶数分析即可判断.

答案第3页，共9页

【详解】A：三角形全等可以推出面积相等，但是面积相等不一定全等，如直角边为4,4

的直角三角形和直角边为2,8的直角三角形，三角形面积相等，但是不全等，结合充分必

要条件的概念即可判断三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件，所以A正确；

B：x2-x4-1=(%-1)+：>0,故B正确；

C：全称量词命题的关键词为所有，全部，都，故C错误；

D：n2+n=n(?i+1),当几为奇数时，则九十1为偶数，n(n+1)为偶数：当九为偶数时，则

〃+1为奇数，MTI+1)为偶数，故D错误；

故选：AB.

10.AD

【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合

【分析】在阴影部分区域内任取一个元素工，分析”与集合4、8、C的关系，利用集合的运

算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.

【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素》,则％E4nB或所以阴影部分

所表示的集合为(/ma)u(FAC),再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可

表示为8nQ4u。)，

所以选项AD正确，选项BC不正确.

故选：AD.

II.ABD

【知识点】集合新定义、交并补混合运算

【分析】根据定义力㊉8={x\x£AU8,%WAn8},得到A㊉8=[(CRA)n8]U

[/inCC^)],对四个选项一一验证.

【详解】根据定义A®B=[(C/)nF]u[4n(CRB)].

对于A：若A㊉B=B,则[CM)QB=B,AO(CRB)=0,(C/)CB=BoB7(C/),4n

(CRB)=0=AG=0.故A正确；

对于B：若4㊉8=。，则(品4)CB=0,AA(CR8)=0.AB=A=^>AQB.ACB=BnB3

As-A=8,故B正确；

对于C：若/㊉8G4则4㊉BG儿/ln(&B)£4,则B£4故C错；

对于D：左边(C/)㊉寸=(4nB)U(CRAnCRB),右边CR(A©F)=CR{[S)介B]U

[An(q?B)]}=(4CB)U(CRAnCRB)所以左=右.故D正确.

答案第4页，共9页

故选：ABD.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

⑴仔细阅读，理解新定义的内涵：

⑵根据新定义，对对应知识进行再迁移.

12.2

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解.

【详解】a6{1,a2—2a42],

则：a=1或a=M-2Q+2,

当a=l时：a2-2a+2=l,与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当QH1时：2a+2,解得：a=l（舍去）；或a=2；

故答案为：2

13.31

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】求出集合48中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得

出答案.

【详解】易知集合24={无|/-3%+2=0,X£阳={1,2},/?={x|0<x<8,x6N）=

[1,2,3,4,5,67}：

因为力c。可得1ec,2ec,

又CB,所以集合C中一定含有1,2,且1,2,3,4,5,6,7不能同时全部包含；

满足条件/ccB的集合C的个数即为求集合{3,4,5,6,7}的真子集的个数，

所以满足条件的集合C个数为25-1=31个.

故答案为：31

14.m>0

【知识点】根据必要不充分条件求参数

【分析】先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围.

【详解】若命题p:“方程a/+2x+1=0至少有一个负实根”为真命题，

a=0时，2x+l=0,x=—5符合题意;

当a<0时，△=4—4a>0,且勺+x2=—^>0,xxx2=：<0,

答案第5页，共9页

则此时方程a/+2X+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；

当a>0时，由△=4-4Q=0,解得a=1,

此时方程为/+2%+1=（X+I）?=0,x=-1符合题意；

由△=4-4a>0解得0<aV1,此时勺+x2=―^<。，与上=：>。，

则此时方程a/+2x+1=0有两个负根，符合题意.

综上所述,p为真命题时,a的取值范围是（-8,1].

若p为真命题的一个必要不充分条件为a<m+l,

则m4-1>l,m>0.

故答案为：m>0

【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用

分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.

求命题的必要不充分条件，叫转化为找一个比本身“大”E勺范围来进行求解.

15.（1）必要不充分条件（必要条件也正确）

⑵[-2⑸

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、判断命题的必要不充

分条件

【分析】（1）根据集合关系判断p是q的必要不充分条件；

（2）根据p是q的必要不充分条件，得｛%\m<x<m+1｝是｛%[-2<x<6｝的真子集，

然后根据集合关系列不等式组求解即可.

[详解]（1）当m=2时，Q：2<x<3,

显然（%I24%43｝是｛无\-2<x<6｝的真子集，

所以p是q的必要不充分条件（注：必要条件也正确）.

（2）若p是q的必要不充分条件,

则｛%|7n<x<7n+1｝是"|一2<x<6｝的真子集，

则有｛配或｛黑人解得_2<m<5,

4-1<6Im+1<6,

故实数m的取值范围为[-2,5].

16.⑴a=-8,b=-5,A=｛2,6｝,B=｛-5,2｝

（2）（4UB）nC=｛2｝

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算

答案第6页，共9页

【分析】(1)根据2642EB,可求a,b的值，解方程可得集合4B.

(2)根据集合的交集、并集的概念进行运算.

【详解】(1)因为2W/L所以2?+2a+12=0=a=—8,

由X2-8x+12=0=(A-2)(%—6)=0=x=2或％=6,所以力={2,6}.

因为2eB,所以22+3x2+2b=0=>b=-5,

由/4-3x-10=0n(x+5)(x—2)=0=x=—5或％=2,所以8={-5,2}.

所以，a=-8,b=-5,A={2,6},B={-5,2}.

(2)所以4UB={-5,2,6},所以(4U8)nC={2}

17.⑴{加血>1

⑵{7n|m<-1或m>2]

⑶{m|m<-1或m>

【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数、根据特称(存在性)命

题的真假求参数

【分析】(1),可转化个3-2mV(%2)mM；

(2),可转化成方程X2-2mx+m+2=0有两不等实杈；

(3),即〃或q为真命题，结合(1)(2)即可得到答案

【详解】(1)若命题〃为真命题，则/>3—2m对x€R恒成立，

即3-2m<(%2)min，因此3-2m<0,解得m>去

因此，实数机的取值范围是{山|血>9.

(2)若命题q为真命题，则方程为2一26为+771+2=0有两不等实根，

所以A=(-2m)2-4(m+2)>0,则m?-m-2>0,解得m<-1或m>2.

因此，实数〃?的取值范围是{m|m<一1或m>2}.

(3)若命题p,g至少有一个为真命题，即〃或g为真命题，

则结合(1)(2)得m€{向m>UUV-1或m>2}=>me{m|m<-1或>弓},

因此，实数in的取值范围是{m[m<-1或m>|]

18.(1)数集A不具有性质P,数集B具有性质P,理由见解析

(2)1

(3)证明见解析

答案第7页，共9页

【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、根据元素与集合的关系求参数

【分析】（1）举反例得到数集A不具有性质P,用列举法得到数集8具有性质P,得到答案.

（2）册册与色中至少有一个属于4,得到答案.

anan

（3）根据%<0-v…v®<椀得到幺=1,0-=。2....%=即-1，-=an,计算得

anan-ia25anan-i"a2

到证明.

【详解】（1）由于3X4与3均不属于数集{1,3,4},所以数集4不具有性质P.

由于lx2,1x3,1x6,2x3,；,；,都属于数集{1,2,3,6},

231236

所以数集B具有性质P

（2）力={%,。2,…,a?J具有性质P，则a/n与%中至少有一个属于由于1<a<a<•••<

an12

玛，可知即册>品，则%从而1=%£力，所以=1.

an

（3）由于1=a1va2V…vQn，可知以分>an,则图力（4=123…,九）.

又由A具有性质P可知%€4（攵=1,2,3产・,九）.

ak

因为&V工<•••<%<%,所以a=1,工=。2，…，回=。刖1，&二册，