陕西省洛南中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省洛南中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若，则（）A. B.C. D.【答案】C2.已知向量，，若，则（）A. B.C. D.【答案】B3.已知向量的夹角为，，则（）A.6 B.5C.4 D.3【答案】B4.若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（）A. B.C. D.【答案】D5.已知是不同的直线，α，β是不重合的平面，若a⊂α,b⊂β,α∩β=c,a∩b=M则（A. B.C. D.【答案】D6.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（）A. B.C. D.【答案】C7.正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】D8.如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（）A. B. C. D.【答案】CD10.已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】BD11.若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（）A.若，则M是边BC的中点B.若，则M是边BC的中点C.若，则点M是△ABC的重心D.若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的【答案】ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知为虚数单位，若，则的虚部为_____.【答案】13.设、为单位向量，若，则________.【答案】14.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面所在四边形的面积为定值；（4）棱始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是______【答案】（1）（2）（4）（5）四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在中，，，为边上一点，且．（1）求；（2）若，求．解：（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴．（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴．16.已知向量，，．（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值．解：（1）因为，所以，即，所以所以.（2）因为，所以，所以，所以，而，所以.17.如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.（1）证明：取中点，连接，如图所示，∵为的中点.，∴且，又为的中点，又∵，且，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面；平面，∴平面．（2）解：.18.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．（1）求角B；（2）若，AC边上的中线长为，求的面积．解：（1）法一：由已知及正弦定理可得：可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以.法二：由已知及余弦定理可得：，化简得，由余弦定理可得因为，所以，因为，所以.（2）由，得，即，整理得，即，解得，所以.19.如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二.注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.（1）证明：；（2）求直线和所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接，分别为的中点，，，，；四边形为边长为的菱形，，为等边三角形，；平面，，平面，平面，.（2）解：连接，交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点