陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的共轭复数的虚部为（

）A.1 B. C. D.【答案】A2.已知，，若，则实数的值为（）A.2 B. C.-2 D.±2【答案】C3.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D4.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（）A. B.C.或 D.或【答案】A6.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.【答案】D7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.300m B.600mC. D.【答案】D8.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（）A.4π B.π C.2π D.π【答案】D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.）9.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，且，则D.若，，且，则【答案】BD10.在中，下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若G是的重心，则C.若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为D.已知，，则的最大值为10【答案】BCD11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）．A.该三棱台的体积为B.该三棱台的表面积为C.若点在棱上，则的最小值为D.该三棱台内半径最大球的体积为【答案】ABC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则______.【答案】13.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______．【答案】14.在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______.【答案】四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数，（为虚数单位）.（1）当时，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.解：（1）当时，，故，所以.（2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，所以的取值范围为.16.已知向量.（1）求与;（2）求与的夹角的余弦值.解：（1）由，得，而，则.（2），即与的夹角的余弦值为.17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.解：（1）因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故；（2）因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以.（3）解：已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得，∵，∴.18.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积．解：（1）设底面圆的直径为，则其高也为；由题可知，圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为.（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长，所以三棱柱的体积．19.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.（1）求证：平面；（2）求证：