初中数学九年级“轴对称与图形的折叠”专题复习教学设计

初中数学九年级“轴对称与图形的折叠”专题复习教学设计一、教学设计基础信息课题名称：初中数学九年级“轴对称与图形的折叠”专题复习教学设计适用年级：九年级（福建中考一轮复习）课时安排：2课时（每课时45分钟）教学内容定位：本专题属于“图形的变化”板块，是福建中考数学的必考内容。命题点39聚焦轴对称变换的核心性质及其在图形折叠问题中的综合应用，涉及几何直观、空间观念、逻辑推理三大核心素养。近五年福建中考卷中，本命题点以选择题第46题、填空题第1214题、解答题第2425题第二问的形式交替出现，分值占比约610分，且常与全等三角形、勾股定理、函数图象等内容交叉命题。二、课标要求与命题趋势分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》对轴对称内容的要求分为三个层次：第一，通过具体实例认识轴对称图形，探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质；第二，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形；第三，探索并掌握轴对称的基本性质，能运用轴对称进行图案设计，并能解决与轴对称相关的实际问题。从20232025年福建中考试卷分析来看，本命题点的考查方向呈现三个明显变化：一是从单一考查轴对称性质向折叠情境下的综合性考查转变，2025年选择题第5题以矩形折叠为背景，将轴对称与锐角三角函数结合；二是从静态图形识别向动态折叠操作探究转变，2024年填空题第13题要求学生通过两次折叠后求角度；三是从纯几何计算向几何与代数融合转变，2025年解答题第24题将折叠问题置于平面直角坐标系中，需要建立函数关系求解。基于上述分析，本专题复习的教学目标确定为：第一，系统梳理轴对称图形与图形轴对称的区别与联系，强化对称轴的本质属性；第二，掌握折叠问题中“对应点连线被对称轴垂直平分”这一核心定理的灵活运用；第三，建立折叠问题与全等、勾股、相似、三角函数等知识的关联网络；第四，通过分类讨论思想解决折叠位置不确定性问题。三、学情诊断与教学策略选择（一）学生已有知识基础九年级学生已经系统学习了轴对称的概念、性质，掌握了等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形的轴对称特征，具备基本的尺规作图能力和几何推理经验。在一轮复习阶段，学生能够识别常见轴对称图形，能够完成基础性的折叠角度计算。（二）典型学习障碍分析通过前测问卷和作业批改发现，学生在本命题点存在三类典型问题。第一类是对“折叠即轴对称”这一等价关系的意识淡漠，遇到折叠问题无法自觉将其转化为轴对称模型。第二类是对折叠后“对应点连线与折痕垂直且被折痕平分”这一核心结论的理解停留在记忆层面，不能在实际问题中主动构造辅助线。第三类是面对多解情况时缺乏分类讨论的自觉性，当折叠位置不确定时容易漏解。（三）教学策略选择针对上述学情，本教学设计采用“三层递进、双线并行”的教学策略。三层递进是指基础回扣层、方法建构层、素养提升层，每一层设置对应的典型例题和变式训练。双线并行是指知识主线（轴对称性质的应用）与思想主线（转化思想、分类讨论思想、方程思想）同步推进。教学组织形式采用“独立试做小组互议全班共研教师点拨”四个环节，充分暴露学生思维过程。四、第一课时教学过程设计（基础回扣与方法建构）（一）课前诊断与情境导入（约8分钟）上课开始，教师呈现三道基础诊断题，要求学生在3分钟内独立完成。诊断题1：下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.等边三角形C.矩形D.菱形诊断题2：点A(3，2)关于x轴对称的点的坐标为______，关于y轴对称的点的坐标为______，关于原点对称的点的坐标为______。诊断题3：如图，将一张三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处。若∠B=50°，∠C=70°，则∠BDF+∠CEF=______度。三道题分别对应轴对称图形识别、坐标对称变换、折叠角度计算三个基本技能。学生完成后，教师通过实物投影展示典型错误。重点关注诊断题3中部分学生将∠BDF误认为∠BDE的错误，引出本节课核心问题：折叠前后哪些量保持不变？教师随即用一张A4纸进行现场折叠演示，连续折叠两次后展开，引导学生观察折痕与对应点连线的位置关系。学生自然生成结论：折痕是对应点连线的垂直平分线。教师板书核心定理，并用彩色粉笔在图形上标注垂直、平分两个关键要素。（二）核心知识梳理（约10分钟）教师引导学生以思维导图形式共同梳理本章知识网络。知识梳理围绕三条主线展开：第一条线是概念辨析线，对比“轴对称图形”与“成轴对称”两个概念，明确前者是一个图形的属性，后者是两个图形的位置关系。第二条线是性质应用线，从“对应点连线被对称轴垂直平分”出发，推导出对应线段相等、对应角相等、对应图形全等三个推论。第三条线是坐标变换线，总结关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y=x对称的坐标变化规律。为了帮助学生形成结构化认知，教师呈现以下知识表格：图形变换类型变换后坐标特征不变性质关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数图形全等，对应点到x轴距离相等关于y轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数图形全等，对应点到y轴距离相等关于原点对称横纵坐标均互为相反数图形全等，对应点连线经过原点关于直线y=x对称横纵坐标互换图形全等，对应点在直线y=x两侧且到该直线距离相等教师强调：表格最后一列“不变性质”是解决坐标变换与折叠综合问题的关键突破口。当题目给出折叠后某点坐标时，本质是利用对称性建立等量关系。（三）典型例题精讲——折叠基本模型（约12分钟）例题1（2025年福建中考改编）：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内部点F处，连接DF。若DF=2，求BE的长。教师引导学生按三步分析：第一步，标注折叠条件，明确△ABE与△AFE关于AE轴对称，得到AB=AF=6，BE=FE，∠AFE=∠ABE=90°。第二步，寻找直角三角形，连接BF，由折叠性质知AE垂直平分BF。观察到△ADF中，∠DAF为直角吗？此时学生发现∠DAF无法直接确定。教师引导转换视角：过点F作AD的垂线，垂足为G，则矩形被分割为两个直角三角形。第三步，设BE=x，则FE=x，EC=8x。在Rt△EFG中，FG=ABAF在AD方向上的投影，通过勾股定理列方程求解。学生独立演算后，教师请一位学生上台展示完整过程。该生写道：过F作FH⊥BC于点H，设EH=m，则FH²+EH²=FE²=x²。由折叠知AF=6，在Rt△AFH中，AH=ABFH=6FH，AF²=AH²+FH²。又因为AH+HE+EC=8，即(6FH)+m+(8x)=8，化简得m=x+FH6。联立两组方程后解得x=3。教师对上述过程进行点评，指出该解法成功的关键是构造了以F为公共顶点的两个直角三角形，利用方程思想将几何关系代数化。同时提出第二种解法：连接BF交AE于点O，由折叠知BF⊥AE，且O为BF中点。利用面积法可得S△ABE=S△AFE，即1/2×AB×BE=1/2×AF×EF，因AB=AF=6，此式自动成立，说明面积法在此处不产生新信息。再思考用相似：由∠AFE=90°，∠AFB与∠EFB互余，结合∠FAB与∠AFB互余，可证△ABF∽△EBF，进而通过比例式求解。学生对比两种方法后发现，构造直角三角形利用勾股定理是折叠问题最通用的解题路径。（四）变式训练与小组互议（约10分钟）教师呈现变式题：条件不变，将“点E在BC边上”改为“点E在BC所在直线上”，其余条件不变，求BE的长。本题的设计意图是激活分类讨论意识。学生独立试做约4分钟后，小组内交流讨论。各小组呈现不同意见：部分学生认为点E只能在BC边上，故BE=3；部分学生提出点E可能在BC延长线上，此时F点落在矩形外部，同样满足AB=AF=6且DF=2。教师引导学生用圆规模拟：以A为圆心、6为半径画圆弧，该圆弧与过D点且半径为2的圆弧相交于两个点F1和F2，分别对应E在BC边上和E在BC延长线上的两种情况。经过完整计算，第二种情况中BE=11。教师追问：“什么条件下会出现两解？什么条件下只有一解？”学生通过继续探究发现，关键在于圆弧交点个数，这与AF与DF的长度之和、之差有关。教师顺势渗透“三角形三边关系决定解的个数”这一本质规律，并延伸至“折叠后点落在特定位置”的讨论。（五）课堂小结与作业布置（约5分钟）教师组织学生进行“一句话收获”分享，选取三名学生分别从知识、方法、思想三个维度总结。知识维度：折叠的实质是轴对称，对应点连线被折痕垂直平分；方法维度：折痕是天然辅助线，过折痕作垂线构造直角三角形是通法；思想维度：折叠位置不确定时，用分类讨论避免漏解。课后作业分为三层：基础层完成练册第39命题点A组15题，巩固折叠角计算与坐标对称变换；提高层完成B组68题，涉及折叠与勾股综合；挑战层完成C组第9题，要求学生自己设计一道折叠求值题并给出完整解答。五、第二课时教学过程设计（素养提升与综合应用）（一）作业讲评与问题聚焦（约8分钟）教师选取基础层作业中错误率最高的第4题进行讲评。第4题：如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F。已知AB=4，BC=8，求AF的长度。教师先不急于讲解，而是展示三种典型错误：第一种是将折叠后的图形误认为与原图形全等之外的另一种关系；第二种是找不到△ABF与△EDF的全等关系；第三种是设AF后无法列出有效方程。教师在黑板上画出图形，用虚线连接BF，引导学生发现折痕BD两侧对应的顶点为C和E，从而得到△BCD≌△BED。由全等可得∠CBD=∠EBD，又因为AD∥BC，∠CBD=∠BDA，从而∠EBD=∠BDA，推得BF=DF。设AF=x，则DF=BF=8x。在Rt△ABF中由勾股定理得到x²+4²=(8x)²，解得x=3。教师点评：这道题的关键是发现“角平分线+平行线→等腰三角形”这一经典结构，而该结构正是由折叠产生的等角关系与已知平行的边关系共同作用的结果。（二）综合应用——折叠与坐标系的融合（约12分钟）例题2（2025年福建中考第24题改编）：在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=6，OC=4。将矩形沿直线EF折叠，使点A落在OC边上的点D处，点B落在点G处，其中点E在AB边上，F在BC边上。若OD=2，求直线EF的函数表达式。本题综合性较高，教师采用“问题链”方式逐步引导。问题1：折叠后点A与D是一对对应点，那么折痕EF与线段AD有什么关系？学生回答：EF垂直平分AD。教师追问：有了垂直平分关系，你能否确定点E的具体位置？学生发现，点E也在AB上，同时满足EA=ED，故设E(6，y)，由距离公式得(60)²+(y2)²=(y)²，解得y=5，所以E(6，5)。问题2：如何确定点F的坐标？教师提示：“点B和G是另一对对应点，而点G在哪里？”学生通过折叠可知，直线EF同时垂直平分BG。由于点F在折痕上且位于BC边上，只需求出EF与BC的交点。由直线EF经过E(6，5)，且与AD垂直。直线AD的斜率为(20)/(06)=1/3，故EF的斜率为3。直线EF方程为y5=3(x6)，将x=0（BC所在直线）代入得y=13，但不满足OC=4的条件。此时学生陷入矛盾，教师质疑：“是否设E在AB边上且y=5超出了矩形范围？”学生重新审视，发现y=5>4，说明点E不可能在AB边上。问题3：既然假设不成立，问题出在哪里？教师引导重新审题：“点A落在OC边上的点D处”是否默认点A折叠后第一次与OC接触？学生此时意识到，折叠后点A落在OC上，但折痕位置会影响落地点的不同，且点B落在点G处，这个信息尚未充分利用。经过小组讨论，学生提出新假设：点E可能在OA边上，F在BC边上。设E(e，0)，则由EA=ED得(6e)²=(e)²+2²，解得e=8/3。再设F(0，f)，由折叠知EF垂直平分BG，但B的对应点G位置未知，需要利用F到B与F到G的距离相等条件，同时G在直线EF的垂直方向且满足OG与BD的相关关系。经过完整推导，最终求得满足条件的F(0，11)，超出范围，继续调整假设。最终通过逐步尝试和排除发现，本题存在两组有效解：一组对应的点E在AB延长线上，另一组对应的点E在OA边上。完整的解析过程涉及对EF作为折痕的垂径分性质与矩形边界的综合讨论。教师带领学生规范书写其中一组解的全过程，强调坐标法在解决折叠问题中的核心地位，即通过设坐标、列距离公式、解方程三个步骤完成几何问题的代数化处理。（三）素养提升——折叠与函数图象（约10分钟）例题3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。将抛物线位于直线AC上方的部分沿直线AC向下翻折，翻折后的图象与原图象在AC下方的部分组成一个新图象G。若直线y=x+n与新图象G有三个交点，求n的取值范围。本题将折叠变换与二次函数图象结合，属于近年福建中考的新趋势题型。教师先带领学生回顾抛物线与坐标轴的交点坐标：A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)。直线AC的表达式为y=3x3。翻折的本质是原图象上的点关于直线AC的对称点构成新图象。教师将问题拆解为三个递进层次。第一层，确定翻折后的抛物线表达式。设原抛物线上任意点P(x，y)关于直线AC的对称点为Q(x'，y')。利用中点坐标公式和垂直条件建立方程组，经消元得到Q点轨迹方程为y'=x'²6x'5，即翻折部分抛物线为y=x²6x5（仅限直线AC上方的部分）。第二层，分析新图象G的结构特征。新图象G由三段组成：左段为原抛物线上从B到C（不含C）的弧线，中段为翻折得到的抛物线弧线（对应原抛物线从A到B的部分），右段为原抛物线上从A到C（不含A）的弧线。三个关键分界点分别为A(1，0)、C(0，3)以及原抛物线顶点(1，4)。第三层，分类讨论直线y=x+n与新图象G的交点个数。直线斜率为1，n为截距。通过动态演示，学生观察到三个临界位置：当直线经过点C时，n=3；当直线与翻折部分抛物线相切时，联立y=x+n与y=x²6x5得x²+7x+5+n=0，相切条件为判别式Δ=494(5+n)=0，解得n=29/4；当直线经过点B(3，0)时，n=3（舍去，B不参与新图象范围）。结合图象的连续性，满足三个交点的n的取值范围为n<3且n≠5（此处5为直线经过原抛物线顶点(1，4)时的n值，此时交点结构发生变化）。本题结束后，教师引导学生总结折叠与函数综合题的通用方法：第一步写出原函数解析式并求关键点坐标；第二步利用对称变换公式求翻折后的解析式并标注定义域；第三步画出组合图象，找到临界位置；第四步分类讨论并写出取值范围。（四）拓展探究——折叠中的动点最值（约10分钟）例题4：在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD边上的一个动点（不与A、D重合），将△ABP沿BP所在直线折叠，点A的对应点为点A'。求当∠BA'C为直角时AP的长，以及此时BA'与AC的交点到点B的距离。本题融合了折叠、动点、最值和特殊直角三角形多个知识点。教师组织学生进行探究活动，要求学生利用几何画板或手工折纸进行实验操作，观察A'的运动轨迹。学生通过操作发现，点A'的轨迹是以B为圆心、4为半径的圆弧（因为BA'=BA=4保持不变）。当∠BA'C=90°时，点A'在以BC为直径的圆上。两个轨迹圆相交于两点，其中一点满足题意。设AP=x，则A'P=x，DP=6x。过点A'作A'E⊥BC于点E，作A'F⊥AD于点F。由矩形性质可知四边形A'EAF是矩形（此处注意E在BC上，F在AD延长线上），则A'E=AF=DP+PF的转化关系。通过几何关系的逐步梳理，学生最终发现在Rt△BA'E中，BE²+A'E²=BA'²=16，同时BE与A'E之间存在由∠BA'C=90°得到的相似关系。设BE=m，则EC=6m，由∠BA'C=90°可构造Rt△A'BC斜边上的高的关系。经过系列代换，最终求得AP=2或AP=3（注意排除不符合条件的值）。在解答过程中，教师重点引导学生体会“折叠生成圆”这一重要模型，即当折叠的对应点到某定点距离不变时，对应点的轨迹是一个圆。这一模型在后续动态问题中具有广泛迁移价值。进一步追问：“当AP取何值时，线段CA'的长度最小？”学生通过轨迹圆与定点C的距离关系，迅速得到CA'的最小值为BCBA'=2，此时A'位于BC上，即∠A'BC=0°，不符合折叠条件，因此最值在临界位置附近取得，实际最小值为BCBA'=2的极限但不取等。（五）方法体系构建与回扣（约5分钟）本节课结束前，教师带领学生完成“折叠问题方法工具箱”的构建。教师在黑板一侧写出四个核心工具，工具一：对称轴垂直平分对应点连线，由此可推导等腰三角形、角平分线性质；工具二：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，这是列方程的基础；工具三：构造直角三角形，利用勾股定理建立数量关系；工具四：点的轨迹分析，当点到定点距离不变时，轨迹为圆弧，利用与定直线的位置关系确定临界点。教师请学生对照工具箱自行评估本课例题中每题使用的工具组合。例题1使用了工具一和工具三，例题2使用了工具一和坐标法，例题3使用了工具二和坐标系下的对称变换公式，例题4使用了工具一和工具四。学生发现不同题目是工具的不同排列组合，从而深化对方法体系的理解。六、分层作业设计与教学评价（一）课后练习的分层设计基础巩固层（完成时间约20分钟），面向全体学生，覆盖命题点39的全部基础技能。第1题在五个图形中识别轴对称图形个数；第2题给出折纸操作描述，求折叠后角的度数；第3题在方格纸中画出图形的轴对称图形；第4题求点关于给定直线的对称点坐标；第5题将等腰三角形沿底边高线折叠，求重叠部分面积。能力提升层（完成时间约25分钟），面向中等以上学生。第6题在矩形中沿过对角线交点的直线折叠，求折痕长度；第7题将菱形纸片沿对角线折叠后，求两个顶点间的距离；第8题结合平面直角坐标系，给定折叠前后两个对应点坐标，求折痕所在直线方程。综合拓展层（完成时间约15分钟，选做），面向学有余力的学生。第9题以正方形为背景，设计三次连续折叠后求点的坐标；第10题将折叠与一次函数结合，求翻折后图象与坐标轴围成图形的面积；第11题写一篇200字左右的数学小论文，阐述“折叠中的对称美”。（二）课堂教学的过程性评价本设计采用“三色评价卡”机制实施过程性评价。每节课下发红、黄、蓝三色卡片各一张，红色卡片记录“本节课我解决的问题”，黄色卡片记录“我仍然困惑的问题”，蓝色卡片记录“我想推荐给同学的解题技巧”。教师在课后收集整理，针对黄色卡片内容进行个别辅导或下节课的集中答疑。同时，教师在课堂上使用提问观察量表，记录