高一数学下学期期末模拟卷02（范围：苏教版必修第二册）原卷版+解析

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷02

【苏教版】

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上；

2.回答第I卷时，选出每小感答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：苏教版必修第二册；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）已知复数2=工（i是虚数单位），则，对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知向量d=（-3,Q）,5=（-4,2）,若--5与5垂直,则同=（）

A.3B.3V2C.5D.5或

3.（5分）一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它们的70百分位数是中位

数的两倍，则x的值为（）

A.10B.11C.12D.14

4.（5分）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为?

p且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则X=2的概率是（）

A.-B.-C.兰D.,

553030

5.(5分)已知sin(a-6)cosa--cos（"a）sina=等，是第四象限角，则cos（3+引的值是（）

A.回B.-叵C.亚D.一那

10101010

6.（5分）四名同学A,B,C,。各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下

统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为2,中位数为1B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,极差为4D.平均数为2,方差为2.4

7.（5分）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗亡“，我国拥

有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,

D,测得CD=120m,乙408=135。，Z-BDC=^DCA=15°,^ACB=120°,则A、8两点的距离为（）

A.60V3mB.120V2mC.120>/3mD.120V5m

8.（5分）在三棱锥A-BCD中，AB=AC=y[2,BC=CD=2,/-BCD=120°,若三棱锥A-BCD的外接

球表面积为20m则二面角/一8。一0的大小为（）

A.60°或120。B.30°或150。C.60°D.45°

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）已知aW@弓），且sina+cosa=号，下列结论正确的有（）

13

A.tana=-B.cos2a=——

25

C.sin（a-：）=噂D.sinacosa=|

10.（6分）已知a,b,c分别为△/BC内角48,。的对边，下面四个结论正确的是（）

A.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形或直角三角形

B.在锐角△4BC中,不等式sin4>cosB恒成立

C.若Q=4V5,且zUBC有两解，则b的取值范围是（6,4b）

D.若COS?/+COS2B<1+cos?。，则△DBC为锐角三角形

11.（6分）正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形.如图，正八面体区48CDF

的棱长为5,M为棱尸C上一点，上CM=1,则（）

A.平面“平面尸从4B.该正八面体外接球的表面积为5。口

C.二面角E-4。一尸的余弦值为一：D.异面直线4E与所成角的余弦值为号

342

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）设48是一个随机试验中的两个事件，且PQ4）=：,尸（月）=：,P（A®）=：,则PQU

346

B）=.

13.（5分）衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，4组25人，B组20人，经过

一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8,B组的平均成绩

为86.5分，方差为2,则在这次测试中全班学生成绩的方差为.

14.（5分）已知△力为直角三角形，乙4c8=90°,AC=1,BC=2,。为48的中点.若点P在射线CO上

运动，则而•丽的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）为弘扬传统文化，其校举办了传统文化知识竞赛现将竞赛得分在75~100分（满分：100分）

的学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图.

（1）求Q的值，并估计统计数据的上四分位数；

⑵据统计，本次竞赛在［90,95）内得分的平均数为93,方差为10；在［95,100］内得分的平均数为97,方差为8,

求在［90,100］内得分的平均数与方差.

16.（15分）已知复数z=（nr?+机一2）+（4-机2»,mGR,i是虚数单位.

（1）若复数z是纯虚数，求〃?的值：

（2）当m=-l时，复数z是关于x的方程M+p%+q=o的一个根，求实数〃，g的值.

17.（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概

率都是|,乙答对每道题目的概率都是与对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响;

⑴求甲、乙两人共答对5道题目£勺概率.

（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，

求甲、乙两人只有一人通过面试的概率.

18.（17分）如图1,在矩形ABC。中，AB=2,AD=遮，将48C。沿3。翻折至△BCQ,且力Q=1,

如图2所示.

图2

⑴求证：平面A8C/_L平面ACQ：

(2)求点。到平面ABD的距离&

(3)求二面角Ci一8。-4的余弦值.

19.(17分)如图所示，设Ox,。,、是平面内相交成。(oveVm。W)角的两条数轴，可，可分别是与X

轴，)，轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系X。)，为。仿射坐标系，若在。仿射坐标系下前;%瓦+y瓦,

则把有序数对(x,y)叫做向量。总的仿射坐标，记为。耘=(x,y).

(1)若6=工，丽=可+2瓦，求丽的模；

3

(2)若。=：,漏=必百十月球，OB=x2e；+有同学认为“OX10百”的充要条件是“尢逐2十力力=0”，

你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；

(3)在8仿射坐标系下，设五？=(3,1),0B=(1,1),LAOB=a,若-tOB\>g对VteR恒成立，求。的

范围及sina的最小值.

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷02

参考答案与试题解析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)已知复数2(i是虚数单位),则，对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据复数的除法法则化简z,再结合共挽复数的定义及复数的几何意义即可求出.

【解答过程】z=宾==苫丑二一1一2i,贝眩=-l+2i,

贝以对应的点(一1,2)在第二象限.

故选：B.

2.(5分)已知向量d=(-3,。)，b=(—4,2),若G—B与石垂直，则同=()

A.3B.3&C.5D.5企

【答案】C

【解题思路】由向量垂直，数量积为0求得参数a，然后由模的坐标表示计算.

【解答过程】因为向量4=(-3,Q),b=(-4,2),所以2-另=(-3,Q)-(-4,2)=(1,Q—2),

因为&一3与3垂直，所以伍—i=-4+2(a—2)=0,解得a=4,

所以日=(-3,4),所以0=J(-3)2+42=5.

故选：C.

3.(5分)一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它们的70百分位数是中位

数的两倍，则工的值为()

A.10B.11C.12D.14

【答案】A

【解题思路】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解x的值.

【解答过程】该组数中位数为等=7,70百分位数为等，所以g!=7x2,故x=10.

故选:A.

4.(5分)甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为:

且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则X=2的概率是()

A.yB.gC.D.

553030

【答案】C

【解题思路】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解.

【解答过程】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件48,C,

尸⑷==,P(C)=则X=2为事件483+ABC+ABC,

•5D4

所以P(X=2)=P{ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P^ABC)+P(ABC)

=32X35X人l1-21)\+,23Xl(A1-53\JX^1+.(1-32\)X35X21=^13-

故选：c.

5.(5分)已知sin(a—/?)cosa-cos(/?—a)sina=竽，0是第四象限角,则cos(夕+§的值是()

A.逗B.-逗C.2D.-皿

10101010

【答案】D

【解题思路】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得sin/?,再利用平方关系，求出cos/?,再利

用余弦的和角公式，即可求解.

[解答过程】由sin(a-0)cosa-cos(/?-a)sina=等得sin[(a-P)-a]=等，

即sin(-/?)=等，所以sin。=一等

••/是第四象限角，:.cos/?=-sin2s=J1-(-等)=y.

所以COS(夕+5；)=-COS一停Xg-yX(一豹=一嚼

故选：D.

6.(5分)四名同学A,B,C,。各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下

统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是()

A.平均数为2,中位数为1B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,极差为4D.平均数为2,方差为2.4

【答案】D

【解题思路】利用平均数、中位数、众数、极差、方差的定义逐一分析选项即可.

【解答过程】对于A,平均数为2,中位数为1,说明5次点数总和为5x2=10,且将5次点数从小到大排

序，第三位为1,

则从小到大排序前三位是1,1/，后两位点数之和为10-3=7,不确定是否出现点数6,故A错误；

对于B,中位数为3,众数为2,说明将5次点数从小到大排序，第三位为3,且2至少出现过两次，

则从小到大排序前三位是223,后两位不确定是否出现点数6,故B错误；

对于C,中位数为3,极差为4,说明将5次点数从小到大排序，第三位为3,

极差可能是5-1=4,也可能是6-2=4,不确定是否出现点数6,故C错误；

对于D,平均数为2,方差为2.4,说明5次点数总和为5x2=10,

若出现点数6,则其他四次点数之和为10-6=4,只能是1,11,1,

则方差s?=](6-2/+4x(1-2)4=4>2.4,

所以一定没有出现点数6,故D正确.

故选:D.

7.（5分）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗女”，我国拥

有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,

D,测得CD=120m,^ADB=135°,乙BDC=^DCA=15°,LACB=120°,则4、8两点的电离为()

A.60VsmB.120V2mC.12075mD.120V5m

【答案】D

【解题思路】依题意在aBC。中利用正弦定理得BD,在△4CD中可得4。，从而在△中利用余弦定理即

可得解.

【解答过程】如图，在△8C0中，CO=120m,iLBDC=15°,

乙BCD=Z.ACB+乙DCA=120°+15°=135°,所以上CBD=30°,

由正弦定理得.=剧，解得皿=12。企m,

在A71C0中，CD=120m,Z.DCA=15°,

^ADC=Z-ADB+乙BDC=135°+15°=150°,

所以4C40=15°,故力。=CD=120m,

所以在△中，由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BD^cosz.ADB

=1202+（120V2）2-2x120x120V2xcosl350=1202x5,

则48=120再，即A,B两点间的距离为120vs.

故选：D.

8.（5分）在三棱锥A-BCD中，AB=AC=V2,BC=CD=2,/.BCD=120°,若三棱锥4-5CD的外接

球表面积为20TT,则二面角力一BC-D的大小为（）

A.60°或120。B.30°或150°C.60°D.45°

【答案】A

【解题思路】根据题意，作出球心。，利用外接球半径A,△4ZJCAUC。外接圆半径r1,r2,可求得乙。。心2=30°

即可得到二面角A-BC-。的大小.

【解答过程】设A/IBCABC。外接圆圆心分别为。i，/,外接圆半径为4，二2,三棱锥外接球半径为对

过。1，。2分别作平面4BC,平面的垂线，交点即为三棱锥力-BCD的外接球心。，

•:AB=AC=&,BC=2,：.AB2+AC2=FC2,即4B/C二工，

2

所以01在8c中点处，q=竿=1,

•••BC=CD=2,乙BCD=120°,Z,CBD=30°,

缶=202=就=厂2=2,且。2在8c垂直平分线上,

22

所以0】。2=y/O2B-O1B=yjr^-1=V3,

三棱锥力-BCD的外接球表面积为S=4TTR2=20爪=R=遍，

222222

OOi=y]OB-O1B=V/?-l=2,002=y/OB-02B=V/?-4=1,

又0。2_1_平面BCD,O1O2U平面BCD,所以0。21。1。2，

则sin4000?=要=：,所以乙00。？=30°,

2

又0。1"1平面/IBC,BC,71。1u平面ABC,所以0。1_L8C,。。1J.也，

又4011BC,0A021BC,所以0i1。1。,。1。2共面,

所以乙40］。2就是二面角4-BC一。的平面角，

乙4。［。2=90°4-30°=120。或乙40］。2=90°-30°=60°.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）已知a£（：弓），且sina+cosa=等，下列结论正确的有（）

13

A.tana=-B.cos2a=——

25

c.{n\710c.2

C.sina——l=—D.sinacosa=-

\4/105

【答案】BCD

【解题思路】根据sin2a+cos2a=1结合sina+cosa=乎求得sina=孚，cosa=由tana=空巴计算可

S5Scosct

判断A：由cos2a=2cos2。—1计算可判断B；由sin（a—：）=sinacos；—cosasin：计算可判断C；直接计

算可判断D.

【解题思路】因为aW（H）,且sina+cosa=苧，sin2a4-cos2a=1,

所以sina=衅，cosa=

OD

对于A,tana=*£=2,故A错误；

cosa

对于B,cos2a=2cos2a-1=^—1=—^,故B正确：

对于C,sin（a—：）=sinacos：-cosasin：=Wx?—gx曰二£,故C正确；

对于D,sinacosa=警x故D正确.

故选:BCD.

10.（6分）已知a,b,c分别为△HBC内角A,8,C的对边，下面四个结论正确的是（）

A.若acosA=bcosB,则△4?C为等腰三角形或直角三角形

B.在锐角△A8C中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若8=3a=4V3,且△ABC有两解，则b的取值范围是（6,46）

D.若cos?/!+cos28Vl+cos2。，则△力BC为锐角三角形

【答案】ABC

【解题思路】由余弦定理角化边，因式分解得到a=b或/+匕2=。2,从而判断△力8c的形状，得到A选项;

根据正弦函数在(0j)的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到C为锐

角，无法证明D选项.

【解答过程】对于A,若acosA=bcosB,则由余弦定理得QX=bxa+c~b,

°；2bc2ac

即。2(82+—a2)=b2(a2+c2-b2),b2c2—b4=a2c2—a4,c2(a2—b2)=(a2+b2)(a2—b2),

所以(a?—/?2)(a2+b2—c2)=0,所以a=8或M+b2=c2,

所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确：

对于B,在锐角△48C中，4+8>一故力>5-8且45—8£(0谓)，

故sin/l>sin-B)=cosB,所以小等式sin4>cosB恒成立，故B止确；

对于C,若8=,0=4百，且△ABC有两解，

则asin8VbVa,故x苧vb<35,即6Vbe4V5,故C正确;

对于D,若cos2?!+COS2B<1+cos2C>则1-cos2c<(1—COS2F)+(1—COS2i4)>

即siMcvsiMB+siM/,由正弦定理得c2Vb2+所以角C为锐角，

但角4B未知，无法判断△48C为锐角三角形，故D错误.

故选:ABC.

11.(6分)正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形.如图，正八面体EABCD"

的棱长为5,M为棱尸。上一点，LCM=1,则()

B.该正八面体外接球的表面积为50TT

C.二面角E—力。一尸的余弦值为一;D.异面直线与8M所成角的余弦值为等

42

【答案】ABC

【解题思路】由线面平行结合面面平行判定定理判断A,再根据ZE八面体的性质结合外接球表面积公式计算

判断B,运用二面角定义得到NE/VF即二面角E-力。-尸的平面角，再结合余弦定理求解判断C,根据线线

平行得出异面直线所成角为利用余弦定理计算即可判断D.

【解答过程】对于A,由正八面体的性质，ED//BF,BFu平面FBA,U平面FB力，所以ED〃平面FB4

又因DC7/4B,48u平面/84DC仁平面FB4故。C//平面尸B4

又EDCDC=D,ED,DCu平面EDC,故平面EDC〃平面尸B4,故A正确；

对于B,连接EF,AC,设EFnAC=。，则4。即该正八面体的外接球的半径，

因4。=等更=乎，则该正八面体的外接球的表面积为：41Tx（斗）2=50m故B正确;

对于C,取AD中点N,连接EN,FN,易得EN工AD,FNLAD,则乙ENF即二面角E—力。一F的平面角,

因正八面体E48CDF的棱长为5,则EN=FN=警,EF=5&,

由余弦定理，可得COSNENF一华”号：¥产一一,故C正确；

2X乎x苧3

对于D,因“〃4E,故MMF为界面直线AE与BM所成的角，

又因CM=1,FM=4,乙BFM=

3

由余弦定理，BM=/2+42-2x5x4x叫=&T,

则cosMMF=4”了/2=等,故D错误.

2X4XV2114

故选：ABC.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)设48是一个随机试验中的两个事件，且PQ4)=；,P(月)=；,则P(AU

346

B)=.

【答案】卷

【解题思路】利用对立事件的概率公式求出P(8),再利用互斥事件的加法公式求出P(48),最后结合并事件

的概率公式求解即可.

【解答过程】由对立事件的概率公式得尸(8)=1-p(e)=1-%

由互斥事件的加法公式得PQ4®)=P(A)-P(/8),

而POO=；,P(AR)=：,得到;=；-PG4B),解得PG48)=；,

36636

由并事件的性质得PQ4U8)=PQ4)+0(8)-PG4B)=#:合高

故答案为:4

13.(5分)衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、8两个数学兴趣小组，A组25人，B组2()人，经过

一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8,8组的平均成绩

为86.5分，方差为2,则在这次测试中全班学生成绩的方差为.

【答案】v

【解题思路】利用分层抽样的方差公式计算即可.

【解答过程】设%=82,sf=8,石=86.5,sj=2,亚=套总=£co2=套标=京

则全班学生成绩的平均数为5=例行+/豆=：x82+3x86.5=84,

全班学生成绩的方差为s2=3Js：+(x-石尸]+u)2[sl+(x-石尸]=|x[8+(84-82尸]+1x

[2+(84-86.5)2]=y,

故答案为：v-

14.(5分)已知△ABC为直角三角形，LACB=90°,AC=1,BC=2,。为48的中点.若点P在射线CD上

运动，则方声•旃的最小值为.

【答案】谒

【解题思路】以点C为原点，建立平面直接坐标系，得直线的方程为丫=：，设点。(%3%)(工之0),利用

数量积的坐标运算得前・价=一+2,最后由二次函数即可求解.

44

【解答过程】由题意：以点C为原点，建立平面直接坐标系，则A(0,l),B(2,0),D(l，m，

所以直线CO的方程为y=设点P(x,1x)(x>0),

所以加=(%-1,：%-m，前=(%-2彳%),

所以而.而=(%-l)(x-2)+、(齐一之)=：/-六+2=7(x-77)一2

2\22/444\10/80

当小总时，而•乔的最小值为：一卷.

故答案为：—之.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛现将竞赛得分在75~100分(满分：100分)

的学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图.

(1)求Q的值，并估计统计数据的上四分位数：

⑵据统计，本次竞赛在［90,95)内得分的平均数为93,方差为10：在［95,100］内得分的平均数为97,方差为8,

求在［90,100］内得分的平均数与方差.

【答案】⑴0.03；89.375

(2)94；12.5

【解题思路】(1)根据频率分布直方图的性质求得，利用上四分位数的定义列式求解；

(2)不同区间的平均数和方差，可根据加权平均数和方差的计算公式进行求解.

【解答过程】(1)由频率分布直方图的性质，知所有矩形的面积和为1,

所以(0.02+0.06+0.08+Q+0.01)x5=1即(0.17+Q)x5=1,解得：a=0.03

因为(0.024-0.06)x5=0,4<0.75,(0.02+0.06+0.08)x5=0.8>0.75

故四分位数区间一定在［85,90)内

设四分位数为X,则0.4+(%—85)x0.08=0.75,解得:x=89.375

(2)［90,95)的频率：0.03X5=0.15

［95,100］的频率：0.01x5=0.05

因此，［90,95)与［95,100］的数量比为0.15:0.05=3:1

设［90,95)有3m个数据，［95,100］有m个数据，m>0

已知［90,95)内得分的平均数为元=93,［95,100］内得分的平均数为9=97

则［90,100］的平均数2为2嘿詈=鬻=94

根据方差的性质得：s：=?［10+(93-947］+/8+(97-94)3］=誓=曰=12.5.

16.(15分)已知复数z=(血2+血一2)+(4-m2)i,meR,i是虚数单位.

(I)若复数z是纯虚数,求〃?的值：

(2)当m=-1时.狂数z是关于工的方程/+px+q=0的一个根，求实数“，g的值.

【答案】(1)1

(2)p=4,q=13

【解题思路】(1)若复数是纯虚数，则其实部为。，月.虚部不为0,据此列出方程组即可求出"?的值;

(2)根据实系数一元二次方程虚根互为共枕求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p,夕的值.

【解答过程】(1)因为复数2=(7科+血一2)+(4-皿2》是纯虚数，所以+

(4-H0

由加2+m-2=(m—l)(?n+2)=0,解得m=1.或m=-2.

当m=l时，4—m?=3w0,符合要求：

当加=一2时，4-m2=0,不符合要求，舍去，

所以〃?的值为1；

(2)当血=-1时，复数z=-2+3i,

由题意知复数z=-2+3i是关于x的方程/+px+q=0的一个根.

因为方程/+px+q=0的系数P，q为实数，

所以方程的另外一个根是z的共枕复数，=一2-3i.

所以由韦达定理可得『甚

解喟二

17.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概

率都是|,乙答对每道题目的概率都是右对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响;

(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率.

(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，

求甲、乙两人只有一人通过面试的概率.

【答案】⑴:

6

喏

【解题思路】(1)利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；

(2)先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然

后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.

【解答过程】(1)设&="甲答对3道题目”，A2=”甲答对2道题目”

4="乙答对3道题目”，82="乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，

r»,,、2228C//、C2214

P(4)=3X3X3=^f"&)=3X5X；X；=9,

3

P(51)=lx|xl=l,P(B2)=3(i)=I，

设力为“甲、乙两人共答对5道题目”，

则4=(4$2)U(42/)，因为A$2与4当互斥，4与/与当分别相互独立,P(A)=P(A/2)+PGMi)

=P(4)P⑸)+P(4)P⑸)+

所以甲、乙两人共答对5道题目的概率g

6

(2)。="甲通过面试”，。="乙通过面试”，。与。相互独立,

P(C)=l-P(C)=l-lxixi=-

-1117

P(D)=l-P(D)=l--x-x-=

乙乙乙8

£="甲、乙两人只有一人通过面试"，则£=(。万)1＞仁0),因为C方与仁。互斥,

C与万，已与。分别相互独立，

P(E)=P(CDUCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)

2611711

X+X=

2-7-8--8-7-2-

27

所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率为

18.(17分)如图1,在矩形A8c。中，AB=2,AD=V3,将△BCQ沿6。翻折至△BC/O,且力弓二L

(1)求证：平面月〃。_!_平面A。。；

(2)求点G到平面ABD的距离出

(3)求二面角G—BQ—4的余弦值.

【答案】(I)证明详见解析

⑵d=f

陇

【解题思路】(1)根据勾股定理可证AG18C1，再结合线面垂直的判定定理可证BC1_L平面AC]。，然后根

据面面垂直的判定定理证明即可；

(2)根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可；

(3)根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可.

【解答过程】(1)由题得，在△4BG中，AC^+BCl=AB2,所以4GlBC「

乂因为矩形A8C0,所以Pg18cl.

因为力QnDC】=Q,ACtu平面AG。，DC】u平面/1QD,

所以BQ_L平面力GD.

又BGu平面力8G，所以平面ABC11平面力G。.

(2)在△4DG中，AD2+AC1=DC1,所以4。_1力的，所以5辞m】=；xAZ)x力加=

在直角△48。中，SAABD=-xADxAB=\[3.

由（1）知18cli平面<G。，所以点8到平面4G。的距离为BG.

设点C,到平面ABD的距离为d,

X=XSX

由金枝锥G-ABD=三枝锥8-4CQ得;*S*ABD1£,ACVDBQ,

所以八'”仍“a

S"BD2

（3）如图,在平面Q8D内作QE-BD于点E,在平面AB—内作Q尸148于点F,连接E尸.

由（2）知40上AG，AD1AB,又ABn力G=4ABu平面力8C1，所以AOJ■平面ABC1，

因为Cifu平面48G，故力。IGF.

因为Ci/IAB,ABdAD=A,AB,4。u平面;48。，所以C/1平面/8D.

又BDu平面48。，所以CiF1BD,

因为GE_LBO,GEnc/=q,的瓦。/<=平面。述/，所以BD_L平面GE凡

又E/u平面GE/7，所以BOJ.E凡又JE1BD,

所以4GE/为二面角G——4的平面角.

因为SMBQ=x8cl=-ABxC]F,所以工xlxV3=ix2xJF,解得QF=—,

22222

因为QFJ■平面ABD,又EFu平面/W。，故6尸1EF,

所以COSNGE/7=鼠.

由题意知直角三角形QB。中，B