数字信号处理-原理与实践（第3版）习题及答案 第一章习题答案

习题

1-1有一个连续信号乙⑺=cos(2m+〃)，式中/=20Hz,w=g

(1)求出与⑺的周期：

(2)用采样间隔7=0.02*对/«)进行采样，写出采样信号的表达式：

(3)画出对应£“(，)的时域离散信号(序列)/(〃)的波形，并求出x(〃)的周期。

解：(1)的周期是

T=—=0.055

f

00

(2)xa(t)=2cos(2磔+-nT)

；l=-00

=Zcos(40mT+nT)

八x(n)

n="oo

(3)x(〃)的数字频率为0.95

0.59

cc2乃5

〃7=0.8"，一=-

co2

周期N=5。-0.59............L—0.95

x(n)=COS(0.8^7?+TT/T),画出其波形如题1-1图所示。题1-1图

1-2设%(/)=sin(M,M〃)=%(〃Z)=sin(乃〃()，其中7；为采样周期。

(1)与⑺信号的模拟频率。为多少？

(2)。和口的关系是什么？

(3)当7；=0.5s时，宜〃)的数字频率。为多少？

解：(1)(Q)的模拟频率。=

(2)。和①的关系是：。=。/。

(3)当，.=0.5s时，co=0.5mad。

1-3判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1)x(n)=ACOS^-TDI--),A为常数；

78

解：(1)0=34，—,这是有理数，因此是周期序列，周期是7二14;

7CD3

127

(2)丝=16乃，这是无理数，因此是非周期序列。

1-4研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列/?(〃)=〃"〃(〃)，0<|^|<1o

对于矩阵揄入序列，

1,()</?<7V-l

0，其他

求出输出序列，并用MATLAB计算，比较其结果。

分析：输入x(〃)=叫\；(〃)，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷

积，用公式表示为.y(〃)=x(〃)*/?(〃)=gx(k),〃(〃-2)

为了计算输出序列的第〃个值，必须计算出乘积直幻・版〃-幻，并将所得到的序列值

相加。

解：输出序列y(〃)=X(〃)*力5)=£x(k)・h(n-k)可以分成三种情况来求解:

(1)当〃v()时，由于〃(〃一k)和x(k)的非零取样互不重叠，因此)(〃)=0。

(2)当—l时，从2=0到2=〃，〃("一女)和工(幻的非零取样值有重登,

y(n)=gx(幻•/，(〃一幻=

1-a~1~1一。

(3)当〃NN—1时，力(〃一口和x(Q重登的非零取样值从2=0到A=N-1,因此

>(〃)=Z](幻・〃(〃-%)=

I--N1n

1一。/1一〃〃-N+1

-----r=h—)〃

n<0

所以)'(〃)=<

(1^),NS

利用MATLAB求其响应，程序如下:

a=l/2;

N=20;

n=O:N-l;

c=[l]；

d=[l-a];

x=ones(l,N);

y=filter(c,d,x);

stem(n.y);

ylabcl('y(n)');

题1-4图输出相应序列y(〃)

1-5设x(〃)=anu(n),=b"u(n)-abn~lu(n-1),求y(n)=](〃)*h(n)。

解：X(Z)=—f|2|>|«|

z-a

zaz—(iIII,I

H(z)=------------=----z>b

z-bz-bz-b1111

所以，y(z)=X(z)〃(z)=一一,|z|>h

z-b

其Z反变换为

y(n)=x(n)♦/?(〃)=Z~l[Y(z)]=bnu{n}

显然，在z=a处，X(z)的极点被"(z)的零点所抵消，如果问＜同，则Y(z)的收敛域

比X(z)与"(z)收敛域的重叠部分要大。

1-6求下列序列的Z变换及其收敛域，并用MATLAB画出零极点示意图。

(1)双边指数序列M〃)=，()<|«|<1：

(2)正弦调制序列x(〃)=Arncos(g〃+。)〃(〃)，0<r<1o

解：(1)双边指数序列可写为

x(n)=\

,/?>()

块Z变换为

x(z)=1=匚二+复”

n=o〃=YC1-az〃=]

x(〃)二”",o<|4<1是一个双边序列,其收敛域为同<忖v|i/4表示极点，极点为

z=a,\/a,零点为z=0。其极点、零点图如图所示，图中x表示极点，O表示零点。

利用MATLAB画出其零极点，如题1-6图(a)所示：

a=3;

y=l-a*a;

b=[0y01;

a=[-ay-a];

zplane(b,a);

1

0.5

0

-0.5

-2-1.5-1-0.500.51

RealPart

题1-6图（a）零极点图

-j回〃+e）

V丁V

（2）x（〃）=Ar11cos（g〃+。）〃（〃）=Ar"0<r<I

2

我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z变换的求和定义式求得其对应的z

变换、收敛域并画出零极点图。

其Z变换为

»-10〃成"阴+0-/(为”+的

nz

X(z)=ZAr"cos((o()n+(f))z~=AZ------------------~"

n=0/i=-oo2

1

91+从/«]_Acos(/>-Arzcos(co0-(p)

F(1-r^z-1)-2e(1-z-l)~1-2rz-'cos+r2z~2

收敛区域为国>|r|,极点为z=re"4,r""",零点为z=0,rcos(g-0)/cos0。

其对应的零极点图如题1-6图所示。

利用MATLAB画出其零极点，如题1-6图(b)所示：

A=l;

r=l；

w0=4*pi;

w=2*pi;

x=2*r*cos(w0);

y=A*r*cos(wO-w);

b=[A*cos(w)-y1;

a=[l-xr*r];

zplane(b,a);

题1-6图（b）零极点图

讨论通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z变

换定义式求起对应的Z变换和收敛域。对于Z变换表达式可表示为等比级数和的形式

的序列，其Z变换的收敛域是保证等比小于1,如本例中要保证卜|=卜一|忆"％|<1,可

得收敛域为|z|>No

1-7已知x(〃)=Ja,求其Z变换及其收敛域。并用MATLAB求解。

-bn,«<-1

解：这是一个双边序列，其Z变换为

x(z)=£«心-〃=£/z-〃

和Z-"

n=-<x>?1=0

11zz

---r+---r=--+---

]-az~l\-bz~'z-az-b

z(2z-a-b)

azb

(z-a)(z-b)\\<\\<\\

MATLAB求解程序如下:

F=ztrans(sym('aAk+bAk'))

结果为：F=-z/(a-z)-z/(b-z)

5z

1-8求X(z)=------=-----T，2<|z|v3的逆Z变换，并用MATLAB求解。

1+z—6z11

解：由部分分式展开可得X(Z)=-------7--------T

l-2z-ll+3z-'

H>0

因为2<忖<3。所以得x(〃)=•

1(-3)"/?<0

MATLAB求解：

程序如下：

symskz;

Fz=5*z/(zA2+z-6);

fk=iztrans(Fz,k)

运行结果：

fk=2Ak-(-3)Ak

1-9判断系统(1)y(〃)=，(2)y(〃)="双〃)是否为时不变系统，并利用MATLAB

/n=0

脸证。

解：(1)令输入为人(〃一小),输出为y(〃)=r[x("—%)]=Xx("[一时)

m=0

而y(〃一，%)=Zx(M。丫(〃)，所以系统是时变的。

m=0

MATLAB验力E:

令1(〃)=3(〃+1)+23(〃)+6(〃-1),%=]

程序如下：

x=[l2l];nO=l;n=-l:l;

x0=f2l];%xO为x横坐标非负的值

y=cumsum(xO);

Y=cumsum(x);

subplot(3,2,1);stem(n,x);

xlabel('n');ylabel('x(n)');tiUe('输入');axis([-1,3,0,4]);

subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);

xlabel('n,);ylabel(,y(n)');title('4^出');axis([-1,3,0,4])；

subplot(3,2,3)；n=0:2;stem(n.x);

xlabel('n');ylabel('x(n-nOy);tiUe('输A')；axis([-1,3,0,4]);

subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);

xlabel('n');ylabel('Y(n));tiUe('输出');axis([-l,3,0,4])；

subplot(3,2,4);n=1:2;steni(n,y);

xlabel('n');ylabel('y(n-nO)');title('^出');axis([-1,3,0.4]);

输入输出

题1-9图(a)时变性险证

(2)令输入x{n-w0),输出丫(7?)=T[x(n-n0)J=心(〃一〃())

而=(n-%)x(〃-〃())w丫(〃)，所以系统为时变的。

MATLAB验证：

令x(n)=4(〃—1)+2J(n-2)+3(〃-3),w0=1

程序如下：

x=[l2l];nO=l;

fori=l:length(x)

y(I,i)=i*x(l,i);

end

fori=l+nO:length(x)

X(l,i+nO)=x(l,i);

end

fori=l+nO:lcngth(x)+n()

y_(1,i)=(i-nO)*x(1,i-nO);

end

forj=l:lenglh(x)

Y(lj)=j*X(l,j);

end

subplot(3,2,l);n=l:3;stem(n.x);

xlabel('n);ylabel('x(n)');title('输入');axis([0,4,0,6])；

subplot(3,2,2);stem(n.y);

xlabcl('n');ylabcl('y(n)');tiUc('揄出');axis([0,4,0,6]);

subplot(3,2,3)；n=l:4;s(em(n,x_);

xlabel('n');ylabel('x(n-nO)');title('揄入);axis([0,4,0,6]);

subplot(3,2,5);stem(n,Y);

xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出);axis([0,4Q6]);

subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);

xlabel('n');ylabel('y(n-nO)');title(出');

axis(l(),4,0,6J);

输入输出

n

输出

61-----------------v------------

4-

2-Q

0^-----x-----------e------

01234

n

题1-9图(b)时变性验证

1-10利用MATLAB验证例题1-27(I)中的系统是否为线性时不变系统。

解：令输入为X(〃一〃0),则输出为—%)]二«¥(〃-%)+/?,而

)，(〃一冏)=一徇)+/?,所以y(〃一勺))二丫(〃)，系统为时不变系统。

又因为Y](n)=T[px、(〃)+qx2(n)]=a[px}(〃)+qx2(n)\+b

而，Y2(n)=pyx(n)+qy2(n)=p[ax^n)+b]+q[ax2(n)+b]工匕(〃)

所以系统为非线性系统。

MATLAB脸证：

a：时变性验证：令》5)=35)+2令〃-1)+36(〃—2),a=l,b=2,氏=k=l

程序如下：

a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;

x=[l23];

y=a*x+b;

fori=l:size(x,2)

x_(l,i+nO)=x(l,i);

y_2(l,i+nO)=y(l,i);

end

x_=[zeros(I:nO),x_(nO+l:end)];

y_l=a*x_+b;

y_l=[zeros(1:nO),y_l(nO+1:end)];

subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);

xlabel('n');ylabel('x(n)');tille('输入');axis([0,4,0,6D;

subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);

xlabel('n');ylabel('x(n-nO)');tiUe('输入');axis([0,4,0,6]);

subplot(3,2,3)；n=0:2;stem(n,y);

xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([0,4,0,6]);

subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_l);

xlabel('n');ylabel('Y(n)');tiUe('输出');axis([0,4,0,6]);

subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);

xlabel('n');ylabel('y(n-nO)');tiUe('揄出');axis([0,4,0,6]);

输入输入

输出输出

4

>?

2

0L

01234

题1-10图(a)时变性验证

b：线性验证:令玉(〃)=演〃)+23(〃一1)+36(〃一2)+25(〃一3),x2{n}=38(n)

+25(〃-1)+5(〃-2)+5(〃-3),a=l,b=2,p=2,q=l

程序如下：

xl=fl2321;

x2=[3211];

a=1;b=2;p=2;q=l;n=0:3;

yl=a*xl+b;

y2=a*x2+b;

Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;

Y2=p*yl+q*y2;

subplot(1,2,1);stem(n,Y1);

xlabel('n');ylabel('Y1(n)');axis([0,3,0,14]);

subplot(1,2,2);slem(n,Y2);

xlabel('n');ylabel('Y2(^.)^);

题1-10图(b)线性性验证

111已知系统函数〃(z)=l—Z-N,试用MATLAB后出该系统的幅频特性。

解：利用MATLAB中的freqz()函数可以画出该系统的幅频特性曲线，如题171图所示。N

取10。

MATLAB程序如下：

N=10;

b=[Izeros(LN-l)1|;

a=[lzeros(l,N)];

OMEGA=0:pi/150:2*pi;

H=freqz(b,a,OMEGA);

plot(()MEGA,abs(H));

题1-11图幅频响应特性

1-12一般的滑动平均由下列方程定义

I

y(n)£以〃-幻=

M+M2+1k=-Mi

1

[x(〃+M)++M-1)+•••+

M+M2+\

[x(〃)+x(n-I)+…+x[n-M2)]

该系统计算输出序列的第〃个样本时是将其作为输入序列第〃个样本前后的(Mi+

M1+1)个样本的平均。

求：(1)该系统的冲激响应h(n):

(2)求该系统的频率响应；

(3)对M=0,M2=4,求”(e加)和arg”(〃&),并用MATLAB画出其图

形。

1M?

解：(1)〃(〃)=不^一—72仇…)

M+M+1

\2k=-Mt

]

，一M<n<M

='%+%+12

o，其他

]

，一M]<n<M

(2)因为〃(〃)=<M+%+12

o，其他

因此频率响应就是

“(〃&)=-------!-------ye-J^

%+例2+1.必

M*电+1

利用等比级数求和公式Yak=

可以得到：

U,"八1e。"%_/必“2+1)-j^M-MO/2sin[o(%+%+1)/2]

H(eJ)=---------------------：------=-e------2-------------!-----------

J<o

M।+M2+11-e~;W|+M2+1sin(69/2)

(3)当M|=0,A/2=4时,

H(ja>、=1sin(5@/2)

’-5sin3/2)arg”(〃&)=-2(o

利用MATLAB画tt其频率响应图:

由W)

M+%+1

1ZM'-z-{M2+l)

得H(z)=-----------------：—

必+口+11-z-1

所以MATLAB程序如下：

M1=O;

M2=4;

X=1/(M1+M2+I);

b=[Xzeros(l,M2)-X];

a=[l-1]；

OMEG=-pi:pi/100:pi;

H=frcqz(b,a,OMEG);

subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H));

subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H)));

运行结果如题1-12图所示：

题M2图频率响应曲线图

1-13设某线性时不变离散系统的差分方程为y(/z-l)-y)，(〃)+y(n+1)=x(〃)，试求它的

单位脉冲响应。并讨论其因果性和稳定性，并用MATLAB计算，与理论值进行比较。

解：y(n-0-yy(n)+y(n+1)=x(ri)

对上式两边取Z变涣，得到：

z-lY(z)-^Y(z)+zY(z)=X(z)

Izz

⑷=-iio—=2io—■二-一―-

z----+zz~----z+1(z--)(z-3)

333

/\

311

=—x-----------------

8l-3z-'

I3)

极点：zp]=1,zp2=3

当ROC:|z|＞3时，系统因果不稳定，〃(〃)=3x[3"-3-〃]〃(〃)；

当ROC：!＜忖＜3时，系统非因果稳定，h(n)=-x[3nu(-n-1)+(-3)~nu(n)]；

38

当ROC:|z|＜，时，系统非因果不稳定，/7(/?)=-X[3-/,-3Z，H-7?-1)O

38

1-14给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由，如果是

稳定系统，通过MATLAB画出其零极点图。

1N-]

(1)y(〃)二石2%(〃-A)

Nk=o

(2))，(〃)=x(〃)+x(〃+1)

(3)y(n)=x(n+/?0)

解：(1)只要N21,该系统就是因果系统，因为输出只与〃时刻的和〃时刻以前的榆入

有关。如果,(〃)|«加，|y(〃)归M,因此系统是稳定系统。

MATLAB画出零极点，如题1-14图(a)所示：

N0=100;

X=N0-l;

b=[lzeros(l,X-l)-X];

a=[l-1];

zplane(b,a);

=

eo2

d

X

J0

ue

UQ

。2

-J

。4

。6

。8

题1-14图(a)零极点示意图

(2)该系统是非因果系统，因为〃时刻的输出还和"时刻以后的输入有关。如果

|x(n)|<M,则|y(n)|<|x(n)|+\x(n+1)|<2M,因此系统是稳定系统。

MATLAB画出零极点图如下：

b=[l1]；

a=[l0];

zplane(b,a);

0.8

U.b

tre

d

jx

ub

6_

ub

_j

-1-0.500.51

RealPart

题1-14图(b)零极点示意图

(3)系统是非因果系统，因为〃时刻输出和〃时刻以后的输入有关。如果k(〃)|,

\y(n)\<Mf因此系统是稳定的。

1-15求下列单位脉冲响点的Z变换及收敛域，用MATLAB画出零极点分布图。

M

(1)、(0.2)w(n)(2)、(3)、COS(6;0M)W(W)

解：(1)由Z变换的公式可得其Z变换为：---------r=—^,|z|>0.2o

l-0.2z-'z-0.211

利用MATLAB画出其零极点，程序及运行结果如题1-15图(a)所示：

b=[l0];

a=[l-0.2];

zplane(b,a);

题1-15图(a)零极点不意图

(2)利用Z变换公式可得：其Z变换为——!~r,|z|>3•加

MATLAB画出零极点如下题1-15图(b)所示：

w0=2*pi;

x=exp(j*\vO);

b=lU；

a=[l-x];

zplane(b,a);

o.

o.

t2

de

4o@.

WJo

B6Q

-E2

.64

8

题1-15图(b)零极点示意图

(2)知/%%(〃)的Z变换为——!-7

(3)因为COS(例)父)=------------,由

的Z变换为——

I-*ez

[一]

所以得出的变换经化简得：------:8s例，,|z|>l

1-2z-cosco()+z~

利用MATLAB画出其零极点如下题1-15图(c)所示:

w0=pi/4;

b=[I-cos(wO)];

a=[l-2*cos(w0)I];

zplane(b,a);

t

e2

do9.

£0

6一

e

E-02

_

4

-06

-1-0.500.51

RealPart

题l-I5图(c)零极点示意图

(z+8)(z-2)

1-16已知系统函数如下：H(z)=用MATLAB编程判断

2Z4-2.9Z3+0.1Z2+2.3Z-1.5

系统是否稳定.

解：MATLAB程序如下:

A=[2-2.90.12.3-1.5]

P=roots(A);

M=max(abs(P));

if(Mvl)disp(，系统稳定)

elsedisp('系统不稳定')

end

运行结果如下：

A=

2.0000-2.90000.10002.3000-1.5000

系统稳定

1-17设一因果LTI系统的差分方程为

y(〃)-2y(n-1)+3y(〃-2)=工(〃)+4x(〃-1)+5x(n-2)-6x(n-3)

并且已知初始条件为)，(—1)=一1,y(-2)=1,揄入必1)=0.2"〃(〃)，利用MATLAB求

系统的输出》(〃)。

解：舟用迭代法求取10点数据

y=zeros(1,IO);

i=l:10;

y(l)=-2-3+l;

y(2尸2*y(1)+3+1+4;

y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;

y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.2A2;

forn=5:10

y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2A(n-2);

end

slem(i-1,y);xlabel(,n');ylabel('y(n)');

结果如题1-17图所示：

1200

<)

WOO

800