2026-2027学年北师大版高一数学必修二 第一章 三角函数（单元测试卷）

2026-2027学年北师大版高一数学必修二单元分层测试卷

第一章三角函数单元测试卷•

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的C

1.sin3000=（）

A.iB.=C.在D.—理

2222

2.已知函数/（%）是定义在R上的奇函数，/（x）=/（x+4）,且/（一1）=一1,则/（2024）+/（2025）=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.函数y=2cos《（x+9］的周期、振幅、初相分别是

J*T

A.3九,一25B.3兀,2卷

C.622,得D.622怖

4.已知角a=2026°,则。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.已知角a的终边过点P（l,-3）,则tana的值是（）

A.-3B.-：C.3

6.已知扇形的弧长是2cm,面积是lcn?,则扇形圆心角（正角）的弧度数为（）

A.-B.1C.2D.4

2

7.若点（a,0）是函数y=2sin（2x+；）的图象的一个对称中心，则|a|的最小值为（）

8.如果一m<®vo,那么下列各式正确的是（）

4

A.cosO<tan0<sin。B.sin。<cos。<tan®

C.tan0<sinO<cos0D.sinO<tanO<cosO

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.关于函数/（幻=cosh%-?，下列选项正确的有（）

A./（%）的图象关于点（詈,0）对称B./（无）的图象关于直线％=-誓对称

C.函数/Xx）在卜，朗上单调递增D.函数/⑺在［0川上有三个零点

10.下列结论正确的是（）

A.一一是第二象限角

O

B.若圆心角为三的扇形的弧长为7T,则该扇形面积为当

C.己知角。的终边经过点尸（羽3）,且cos6=-：,则工=±4

O

D.若角a为锐角，则角2a为饨角

11.已知函数/（x）=cos（2x+;,则下列说法错误的是（）

A.函数/⑶的图象关于点（H，。）对称

B.函数/Xx）的图象关于直线工=-^11对称

C.函数/（%）在（0,5上单调递减

6

D.函数f（%）在［一卜上有最小值-1

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知扇形的中心角为2,周长为4,则该扇形的面积为.

13.设Q,bGR,cG［0,2n）,若对任意实数，都有asin（bx+C）=2sin（3x-则满足条件的一组实数a,b,c

的值依次为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.求下列函数的值域:

⑴厂COS(2"9”[Y，/

(2)y=-sin、+2sinx-l,xGR.

16.己知函数/(%)=4sin(ex+q)+8(4>0,e>0,|@|<》的部分图象如图所示.

⑴求函数y=/(%)的解析式；

⑵求函数y=/'(%)的单调递增区间；

⑶当工£［一弓5］时，求函数丫=八幻的值域.

17.已知函数f(x)=sin(2wx+3)(3>0,0V0VIT),其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为

|V^T16,且直线％=三是图象的一条对称轴.

2o

⑴求3,9的值，并求出f(%)的对称中心;

⑵求/(X)在卜%4］上的单调递增区间.

18.已知/(%)=sin卜％-

⑴求函数y="x)的最小正周期和单调减区间；

⑵若关于.1的方程2/(幻一m-1=0在工€［。厘上有解，求实数机的取值范围.

19.如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数y=Hsin(®x+w)+k(43>0,|?|〈与.

⑴依据图中的信息确定函数的解析式;

⑵甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求•天4时到20时期间允许该船进出港口的时长.

答案解析

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.sin300°=()

A.-B.--C.—D.--

2222

【答案】D

【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案.

【详解】sin300°=sin(360°-60°)=-sin60°=2.

故选：D.

2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，/(x)=/(x+4),且/•(-1)=一1,则/■己024)+/(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据函数周期性和奇函数性质求解.

【详解】因为函数/(x)是定义在/?上的奇函数，

所以/(0)=0,/(I)=-/(-I)=1,

又f(x)=f(x+4),即函数/(%)是周期为4的周期函数，

/(2024)+/(2025)=/(506X4)+/(506X4+1)=/(0)+/(I)=1.

故选:C

3.函数y=28$昼。+》］的周期、振幅、初相分别是

A.3兀,—2,：B.3TT,2*

C.6肛2居D.6哈5

【答案】C

【解析】根据函数y=/lsin(3x+8)的解析式，写出函数的振幅、周期和初相即可.

【详解】解：由已知函数y=2cosG%+J=2sin(gx+与，

振幅是A=2,

周期是T=竽=6;r,

初相是8=方

故选：C.

【点睛】本题考查了函数y=4sin（3%+3）的图象与性质的应用问题，是基础题.

4.已知角a=2026°,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.笫四象限

【答案】C

【分析】由象限角的定义得到结果.

【详解】因为a=2026°=360。X5+226°,而180。<226°<270。，所以a的终边在第三象限.

故选：C.

5.已知角a的终边过点P（L-3）,则tana的值是（）

A.-3B.--C.3D.———

310

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义即可求解.

【详解】因为角a的终边过点P（l,-3）,所以tana=/=-3,

故选：A.

6.已知扇形的弧长是2cm,面积是lcm2,则扇形圆心角（正角）的弧度数为（）

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】根据扇形的面积和弧长公式计算.

【详解】设扇形半径为r,则由题意得：x2r=l,得r=l,

则扇形圆心角（正角）的弧度数为2=2.

r

故选：C

7.若点（Q,0）是函数y=2sin（2x+g）的图象的一个对称中心，则|a|的最小值为（）

A.-B.-C.-D.-

12632

【答案】B

【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合已知条件求解.

【详解】•.•正弦函数y=sin。的对祢中心为e=/nr,kwZ,（a,0）是函数y=2sin（2%+］）的图象的•个对称

中心，

•••2a4--=kn,kEZ,解得a=--+—,/c6Z,

3o2

•••|a|的最小值为I

o

故选：B.

8.如果一:vevo,那么下列各式正确的是（）

4

A.cos0＜tanff＜sin0B.sin。＜cos0＜tan。

C.tan8＜sin。＜cosOD.sin0＜tan。＜cosG

【答案】C

【分析1先判断正负性，再结合三角函数线判断大小即可.

［详解】因为一E＜0＜0,所以cos。＞0,sin。＜0,tan。＜0,

4

如图所示，在单位圆中，tan。=TAT|,sin。=

易知＞|PM|,则tan。Vsin。，故tan。＜sin。Vcos。.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.关于函数f（x）=cos（2.r-：）,下列选项正确的有（）

A./⑺的图象关于点（岸,0）对称B.八幻的图象关于直线％=-詈对称

C.函数人切在卜，裔上单调递增D.函数f（x）在［0河上有三个零点

【答案】AB

【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

［详解】对于A中,由函数f（%）=cos（2x—：）,可得f（詈）=cos（2x寸一；）=0,

所以/（x）的图象关于点（詈,0）对称，所以A正确；

对卜B中，由/'（一g）=cos[2x（-争一今=1,/（幻的图象关于直线“一个对称，所以B正确；

对于C中,由x£[―,U，可得2%—：上|—H],

根据余弦函数的性质，可得函数f（x）在卜，系]上先增后减，所以C不正确；

对于D中，由XE[0,n],可得2%—：£

令/（x）=0,可得2%或=£，解得4=言或4=*

所以函数"x）在[0,可上有两个零点，所以D错误.

故选:AB.

10.下列结论正确的是（）

A.一?是第二象限角

6

B.若圆心角为3的扇形的弧长为11,则该扇形面积为期

C.已知角。的终边经过点P（x,3）,且cos。=一：，则％=±4

D.若角a为锐角，则角2a为钝角

【答案】AB

【分析】根据终边相同的角的定义判断A：根据扇形面枳公式判断B；根据三角函数的定义判断C：求出的

范围即可判断D.

【详解】对于A,由一？=一2口+等，即一？与萼终边相同，为第二象限角，故A正确；

6666

对于B,设扇形的半径为r,Mir=^r,解得丁=3,

则该扇形面积为：xnx3=g,故B正确；

对TC,角。的终边经过点PQ,3）：

则cosJ=V0，解得％=-4,故C错误；

VX2+9S

对于D,角a为锐角，则OvaV三所以0v2aVn,

所以角2a为锐角或者直角或者钝角，故D错误.

故选：AB

11.己知函数=cos（2%+?,则下列说法错误的是（）

A.函数f(x)的图象关于点(次,0)对称

B.函数/Xx)的图象关于直线“一会对称

C.函数/(%)在(0吟)上单调递减

O

D.函数/1(%)在［―与,—工］上有最小值-1

J<L4

t答案】AB

【分析】根据给定的函数，结合余弦函数的图象性质，逐项分析判断得解.

【详解】对于A,/(要)=cos(2x署+J=cosn=-1HO,/3)的图象关于点号n,0)不对称，A错误；

对于B,/(一/=cos［2(-+卞=cos(-》=0工±1,「(%)的图象关于直线％=-看n不对称，B错误；

对于C由％W(0,'得2%函数y=cosx在［0,n］上递减，则/(%)在(0*)上递减，C正确；

对于D,由XW［-芸一羽］,得2%+.W［一1,一争,/(%)W［―L-?D正确.

故选：AB

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知扇形的中心角为2,周长为4,则该扇形的面积为.

【答案】1

【分析】根据条件求出半径，再根据面积公式求解.

【洋解】设扇形的中心角为。，半径为r,

则a=2,2r+ar=4,得r=1,故该扇形的面积为/QN=1x2xI2=1.

故答案为：1

13.设Q,bGR,ce［0,2n),若对任意实数无，都有asin伽c+c)=2sin(3x—》则满足条件的一组实数a,瓦c

的值依次为.

【答案】2,3,一(答案不唯一)

4

【分析】利用诱导公式，结合a”,c的取值范围和等式恒成立可得a,b,c的一组值.

【详解】因为2sin(3%-：)=2sin(3x-：+2n)=2sin(3x+今，

且也［a,bGR,cG［0,2n)时，等式asin(bx+c)=2sin(3%—；)对，壬意实数“都成立,

所以Q=2,b=3,c=r满足条件需求.

4

故满足条件的一组实数Q,b,c的值依次为：2,3,=(答案不唯一).

4

14.函数/(%)=4sin(3X+@)(4>0,3>0,|@|<；)的部分图象如图所示，则/'(%)=

【答案】3sin(2x+y)

6

【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法〃作图求出解析式.

【详解】观察图象，得力=3,/(0)=则3sins=j解得sing=彳，而|租|<£,解得j

NLZZ6

函数/'(x)=3sin®%+»的最小正周期为称且？即

621241263

则占V2V解第V3Vm由/铠)=0,得3W+m=E,k£N"，

63355IN12o

解得3=等次£旷，因此k=lM=2,此时“骂在/(X)的递减区间内，符合题意，

所以/(X)=3sin(2x+

6

故答案为：3sin(2x+5

五、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.求下列函数的值域：

⑴"cos(2x-)x6卜沃卜

(2)y=­sin2x+2binx-l,xER.

【答案】⑴［0,1］

(2)［-4,0］

【分析】(1)由“W卜屋］可得2］一占卜晨］,再根据余弦函数的单调性求解即可.

(2)先配方，利用二次函数的性质，结合正弦函数的有界性求解即可.

【详解】(1)因为工£巳］，用以2%—^6［一；，］，

L66J6Lz6J

又函数y=COS%在区间［4,0］上单调递增，在（（）*］上单调递减，

且COS（-3=0,COSO=1,cos-=7，

\2/62

所以函数最小值为0,最大值为L所以函数的值域为［0,1］；

（2）y=-sin2x+2sinx-1=-（sinx-l）2,

因为—IWsinxWl,所以当sinx=1时,，函数取最大值0；

当sinx=-l时，函数取得最小值4

所以函数y=-sin2x+2sinx-1的值域为

16.已知函数/（无）=4sin（3X+0）+8（4>0,a>0,|卬|<》的部分图象如图所示.

⑴求函数y=/Xx）的解析式；

（2）求函数y=/（久）的单调递增区间：

（3）当%w卜盟啊，求函数y=「㈤的值域.

【答案】（l）f（x）=2sin（2x+§-1

⑵卜工+"*+GZ

（3）［-1,1］

【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得利用代入最高点可得从而可得解析式;

（2）利用正弦函数单调递增区间即可解得；

（3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域.

【详解】（1）

根据图象可得：力=|匕刍|=2,B=

由7=2得一总=停因为3>0,所以解得侬=2,

此时f(x)=2sin(2x+w)-1,代入最高点(己,1)可得;

1=2sin(2-—1,可得：+9=1+2kirn9=：+2/CTC,I€Z,

又因为1*1V与所以3=g

即f(x)=2sin(2x+-)-1：

»5

(2)由一]+2/CTTW2%+彳W：+2kir,/c6Z>解得一高+knW%W出+kir,kWZ,

所以f(x)=2sin(2x+；)—1的递增区间为[—三+攵兀/+kn,kEZ；

(3)当工€[一(,；]时'+-G[O,TC],此时有sin(2%+；)W[0,1],

即/(%)=2sin(2x+；)-1的值域为[-1,1].

17.已知函数/(%)=sin(2wx+”)(3>0,0<租<IT),其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为

。，且直线％=三是图象的一条对称轴.

28

⑴求3,8的值，并求出f(x)的对称中心；

(2)求外兄在卜：羽上的单调递增区间.

【答案】⑴3=LW=%(一^一k'Z.

⑵卜羽和降势

【分析】(1)根据正弦函数的性质求出函数的解析式，令2%+：=kn,即可得出答案.

4

⑵先求出/'(幻的单调递增区间，再令k=0和k=l与卜%力取交集，即可得出答案.

【详解】(1)f(x)的周期/=北=：

・.♦最高点与最低点距离为尼)2+22=22+16.

解得3=1或3=—1(舍).

又是图象的一条对称轴，

O

f©=sin(2x?+(p)=±1,解得0=；+kTT,kWZ,

v0<//)<IT.⑴=*

/(%)=sin(2x+)

令2%+；=kn,k€Z得％=—£+—,kE7.,

•'f(x)的对称中心为点(—(+?,0),kEZ.

(2)令一三+2/cnW2%+EW?+2kir,kEZ.得一三+ZnrW%W〈+kmfc6Z

24288

/G)的单调递增区间为卜詈+而W+%],/c€Z.

当A=O时，递增区间为卜荒用

当A=1时，递增区间为[曰,蔡]

二/⑴在卜:，耳上的单调递增区间为卜篇]和售"

18.已知/'(%)=sin(2%一

⑴求函数y=/(%)的最小正周期和单调减区间；

(2)若关于x的方程2/(x)-m-1=0在xe[O图上有解，求实数m的取值范围.

【答案】⑴函数y=f(x)的最小正周期为兀，单调减区间为植+后样+对(k£Z)

(2)[-2,1]

【分析】(1)利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果；

(2)先由关于x的方程2/(划一机一1=0在工£[0弓]上有解，可得方程m=2/•(0一1在XE[0,3上有解,

求出函数2/(公一1在工£[(),,上的值域，即得结果.

【详解】⑴T=g=n,所以3数丫=f(x)的最小正周期为几，

由？+2/nrW2%—W任+2km得：-+kn<x<—+kir>

2