万有引力定律及应用（原卷版+解析）

第8讲万有引力定律及应用

1.思考判断

（1）围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。（）

（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（）

（3）只有天体之间才存在万有引力。（）

（4）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由尸=畔2计算物

体间的万有引力。（）

（5）地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。（）

2.火星的质量约为地球质量的看半径约为地球半径的热则同一物体在火星表

面与在地球表面受到的引力的比值约为（）

A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5

8.2考点精析

考点一开普勒三定律的理解和应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

3.开普勒第三定律患=k中，〃值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k

值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。

例1（多选）如图1所示，两质最相等的卫星4、8绕地球做匀速圆周运动，用火、

T、a、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫

过的面积。下列关系式正确的有（）

图1

A.TA>TBB.Eu>EkB

n遛一遛

C.SA=SB

跟踪训练

1.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半

径的16倍；另一地球卫星。的轨道半径约为地球半径的4倍。P与。的周期之

比约为()

A.2：1B.4：1

C.8：1D.16：1

考点二万有引力定律的理解和应用

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力/表现为两个效果：一是物体的重力”g,二是提供物体

随地球自转的向心力/向，如图2所示。(设地球质量为

(1)在赤道上：

rng\+m心R。

(2)在两极上：心患=^g2o

(3)在一般位置：万有引力辇等于重力〃7g与向心力尸向的矢量和。越靠近南北

两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等

于重力，即R2=〃Zg。

(:“

图2

2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）

（I）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：加且=瑞£得8=爷。

（2）在地球上空距离地心〃=/?+〃处的重力加速度9：〃噎=（泮；）2,得g'=

—0^.-所以g__■+〃）2

（R+力）2,助以戈一R2°

3.万有引力的“两个推论”

推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零,

即E尸引=0。

推论2：在匀质球体内部距离球心〃处的质点（〃7）受到的万有引力等于球体内半径

为尸的同心球体（"）对其的万有引力，即尸=G”。

例22022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km

的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过

直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地

漂浮，这表明他们（）

A.所受地球引力的大小近似为零

B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零

C.所受地球引力的大小与其随6船运动所需向心力的大小近似相等

D.在地球表面上所受弓力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小

例3“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图3所示，该卫星围

绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相

同时刻，沿相同方向经过地球表面4点正上方，恰好绕地球运行〃圈。已知地

球半径为R,自转周期为7,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道

距地面高度为()

跟踪训练

2.2022年9月2日神舟十四号航天员乘组完成首次出舱活动。若我国“天和”空

间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。己

知地球半径为R,空间站的轨道半径为，・，则地球表面的重力加速度可以表示为

()

人4S2八rR2-16叔nrR2

A次B.在C.BD.而

考点三天体质量和密度的计算

天体质量和密度的计算方法

类

方法已知量利用公式表达式备注

型

〃中〃74兀24兀2-

质八TG/一〃/尸rm中一G平只能得

量利用运v2rv2到中心

O户一"、

八Vi7i中一G

的行天体天体的

23

加中〃7VVT

计v.T质量

m中一27CG

算，〃中4兀2

=下V

利用天体表面Gm^m一起

g、R〃，中一G—

重力加速度mg—R2

利用近

3兀一

in^ni47?P-GT於地卫星

密G-p-=机产

利用运行天体八T、R当〃=H时，p只需测

度4

m中=，•铲尺3

3兀出其运

的尸

行周期

计

Gm中〃7

算〃?g_R2，

利用天体表面3g

g、R—

重力加速度44兀GR

m中=〃•铲R3

角度。重力加速度法

例4宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二

者儿乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为//处下落，经时间/落到月球表面。

已知引力常量为G,月球的半径为求：(不考虑月球自转的影响)

(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；

(2)月球的质量

(3)月球的密度〃。

角度同环绕法

例52021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行，若

核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算

出地球质量的是()

A.核心舱的质量和绕地半径

B.核心舱的质量和绕地周期

C.核心舱的绕地角速度和绕地周期

D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

跟踪训练

3.（多选）己知引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径R,地球上一个

昼夜的时间，（地球自转周期），一年的时间乃（地球公转周期），地球中心到月球

中心的距离£i,地球中心到太阳中心的距离心。你能计算出（）

A.地球的质量m地=野B.太阳的质量m太=号存

C.月球的质量加月=喘D.太阳的平均密度2=券

4.（多选）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据

平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下

列计算火星密度的公式正确的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（）

火星的小档案

直径d=6794km

质量M=6.4219X1023kg

表面重力加速度go=3.7m/s2

近火卫星周期7=3.4h

.3go

A，fGd371d

371

C.pn6M

8.3巩固练习

A级基础针对练习

针对练习1开普勒三定律的理解和应用

1.1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号发射成功，拉开了中

国人探索宇宙奥秘,,和平利用太空、造福人类的序幕，因此4月24口定为“中

国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运行在近地点441千

米，远地点2286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运行周期114分钟。

则（）

图1

A.东方红一号在近地点的运行速率比远地点小

B.东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小

C.地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上

D.东方红一号的运行周期大于同步卫星的运行周期

2.（多选）如图2所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，尸为近日点，0为远日点，

M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为71）,若只考虑海王星和太阳之间的

相互作用，则海王星在从尸经过〃、。到N的运动过程中（）

海王星.

-/01，

N

图2

A.从产到〃所用的时间等于华

B.从。到N阶段，机械能逐渐变大

C.从0到0阶段，速密逐渐变小

D.从/到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

3.2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近

火制动后，进入运行周期约为1.8义105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的

最近距离约为2.8X10,m。已知火星半径约为3.4X106m,火星表面处自由落体

的加速度大小约为3.7m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远苑离

约为（）

A.6X105mB.6X106m

C.6X107mD.6X10xm

针对练习2万有引力定律的理解和应用

4.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际

的跨越。己知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车

的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一

个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作

用力大小之比为（）

图3

A.9：1B.9：2

C.36：1D.72：1

5.假设将来的某一大，宇航员驾驶宇宙K船，登陆某一行星，该行星是质量分布

均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为Go,在该行星

赤道处的重力为0.75G）,则此物体在该行星纬度为30。处随行星自转的向心力为

（）

CGoD.Go

申oo

6.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为力己知质量分

布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之

比为（）

A.1—7B.l+4

KK

JR、2

对点练3天体质量和密度的计算

7.中国空间站可供多名航天员巡访、长期工作和生活。如图4所示，空间站的轨

道可视为近地圆轨道，己知引力常量为G,下列说法正确的是（）

图4

A.在空间站工作的航天员因受力平衡而处于悬浮状态

B.若已知空间站的运行周期，可以求得航天员绕地球做圆周运动的动能

C.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的密度

D.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的质量

8.若空间站天和核心舱和地球同步卫星绕地球的运动均可以看成匀速圆周运动，

分别把它们的周期、轨道半径取常用对数后，在1g7—1g/图像中将这两点用直

线连接，如图5所示。〃、力为已知量，引力常量为G,则地球的质量为（）

°一~7a------*3

-r

图5

A.^X102/,B.若X10〃

C.誓义1。2〃D.誓Xio"

9.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多色的持续观测，给出1994年到

2002年间S2的位置如图6所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000

AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞，这

项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大

质量黑洞的引力，设太阳的质量为历，可以推测出该黑洞质量约为（）

图6

A.4X104MB.4X106M

C.4X10WD.4XI01%/

B级综合提升练

10.中国空间站天和核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，测得空间站与地球

中心连线在fo（小于空间站做匀速圆周运动的周期）时间内转过的角度为仇扫过

的面积为S，忽略地球自转的影响，引力常量为G,则地球的质量为（）

人92s也前

A

-GtiB.GIO

sylise2Syl2sd

CGroD-GR

11.2021年12月9日，“太空教师”王亚平在我国天宫空间站进行了太空授课,

神舟十三号乘组航天员翟志刚、叶光富参与，让广大青少年领悟到了太空探索的

趣味。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为八地球半径为心地球表面

重力加速度为g,下列说法正确的是（）

图7

A.王亚平可以像在地面上那样，用天平直接测出待测物体质量m

B.翟志刚在空间站内不能用拉力器锻炼肌肉力量

C.根据题中已知物理量可求得地球质量

D.空间站距离地球表面的距离为;腰

12.2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火

箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。己知地球半径为R,

地球质量为忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。

(1)火箭在竖直方向上以加速度。加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压

力传感器，压力传感器上放置一质量为的跌码，某时刻测得压力传感器读数

为F,引力常量为G,求此时火箭上升的高度；

(2)若测得天舟四号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过〃圆周所用时间为t,飞

船距地面的高度为爪引力常量为G,求飞船运行的向心加速度大小和地球的平

均密度。

第8讲万有引力定律及应用

8.1基础巩固

1.思考判断

（1）围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。（J）

（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（X）

（3）只有天体之间才存在万有引力。（X）

（4）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由”=d詈计算物

体间的万有引力。（X）

（5）地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。（J）

2.火星的质量约为地球质量的上，半径约为地球半径的;，则同一物体在火星表

面与在地球表面受到的引力的比值约为（）

A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5

答案B

8.2考点精析

考点一开普勒三定律的理解和应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

3.开普勒第三定律方=%中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天休k

值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。

例1（多选）如图1所示，两质量相等的卫星4B绕地球做匀速圆周运动，用R、

八反、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫

过的面积。下列关系式正确的有（）

图1

A.TA>TBB.Eu>EkB

n遛一遛

C.SA=SBD-7?=7?

答案AD

解析根据开普勒第三定律知，A、D正确；由曾=嗒和瓜=%〃可得以

=缓，因RA>RB,*=〃必则E^VEkB,B错误；根据开普勒第二定律知，

同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积

相等，对于卫星/、B,Si不等于SB,C错误。

跟踪训练

1.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半

径的16倍；另一地球卫星。的轨道半径约为地球半径的4倍。。与。的周期之

比约为（）

A.2：1B.4：1

C.8：1D.16：1

答案C

解析由开普勒第三定律得金鼠故方c正确。

考点二万有引力定律的理解和应用

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力尸表现为两个效果：一是物体的重力加g,二是提供物体

随地球自转的向心力尸向，如图2所示。（设地球质量为幽

（1）在赤道上：

tng\+R。

(2)在两极上：G^=wg2o

（3）在-一般位置：万有引力装等于重力〃7g与向心力尸向的矢量和。越靠近南北

两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等

于重力，即竿!二〃?？。

图2

2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）

（1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：〃吆=翠，得8=笔。

（2）在地球上空距离地心〃=/?+〃处的重力加速度/：咽=（窜:2,得g-

GM所［、造（—+"）2

（/?+//）2,所以gLR2°

3.万有引力的“两个推论”

推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零,

即E尸引=0。

推论2：在匀质球体内部距离球心厂处的质点（加）受到的万有引力等于球体内半径

为r的同心球体（同）对具的力杓引力，即尸=G华。

例22022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km

的“天宫二号”空间站.上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过

直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地

漂浮，这表明他们（）

A.所受地球引力的大小近似为零

B.所受地球引力与飞解对其作用力两者的合力近似为零

C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等

D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小

答案C

解析航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对

其作用力等于零，所受地球引力大小不为零，故A、B错误，C正确；根据尸=

智可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大

小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D

错误。

例3“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图3所示，该卫星围

绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相

同时刻，沿相同方向经过地球表面力点正上方，恰好绕地球运行〃圈。已知地

球半径为火，自转周期为7,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道

距地面高度为（）

解析地球表面的重力加速度为g,根据牛顿第二定律有节可得GM

=gR?

根据题意可知，卫星的运行周期为r=5

根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有(泮:;『书R

+力)

联立以上式子解得力=褥手一R

故C正确。

跟踪训练

2.2022年9月2日神舟十四号航天员乘组完成首次出舱活动。若我国“天和”空

间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已

知地球半径为R,空间站的轨道半径为小则地球表面的重力加速度可以表示为

()

4S2八rR2「16兀S3-rR2

AA•/B.语C*D.帚

答案A

解析空间站与地心的连线在单位时间内扫过的面积S=%〃，对于空间站上的

物体罩对于地面上的物体加g=*，代入可得故A正确。

考点三天体质量和密度的计算

天体质量和密度的计算方法

类

方法已知量利用公式表达式备注

型

/〃中〃747t2_4JT?

八2

TG->—m72厂中一GT

质

只能得

2

J里HL加中用V

八V中一

利用运G2r一〃r？mG到中心

的

行天体v2天体的

计

V3T

T质量

加中一2TCG

算in^n4n2

利用天体表面

Gm^rn—

g、R“中一G

重力加速度mg—R2

利用近

3兀，

中〃z4兀2P~GT2R3地卫星

G-p-=〃r产’

密

利用运行天体八T、R当厂=R时，p只需测

度4

m中=2・］兀/?3

3兀出其运

的~G12

行周期

计

G机中〃7

算利用天体表面mg—R2，

3一

g、R—

重力加速度44兀GR

m中=〃.铲氏3

角麾n重力加速度法

例4宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二

者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为〃处下落，经时间Z落到月球表面。

已知引力常量为G,月球的半径为求：(不考虑月球自转的影响)

(1)月球表面的自由落体加速度大小g小

(2)月球的质量M；

(3)月球的密度外

北安小2力c，hR23h

答案⑴尸⑵H⑶石桥

解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，

有。一祥月*

月球表面的自由落体加速度大小8月=,。

(2)不考虑月球自转的影响，有楚=mg月

得月球的质量加=萼。

2hR2

—M3h

(3)月球的密度〃一7一而一~2nRGt2°

角度园环绕法

例52021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行，若

核心舱绕地球的运行正视为匀速圆周运动，己知引力常量，由下列物理量能计算

出地球质量的是（）

A.核心舱的质量和绕地半径

B.核心舱的质量和绕地周期

C.核心舱的绕地角速度和绕地周期

D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

答案D

解析根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得竿

解得〃7珀=/，D正确；由于核心舱的质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱

的质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由爷”=〃心2厂

得加地=喟，且口=爷，〃约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得

G1

地球质量，C错误。

跟踪训练

3.（多选）已知引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径A,地球上一个

昼夜的时间刀（地球自转周期），一年的时间及（地球公转周期），地球中心到月球

中心的距离地球中心到太阳中心的距离上。你能计算出（）

A.地球的质量m地=察B.太阳的质量m太=覆

C.月球的质量小月=茶#D.太阳的平均密度夕=送

答案AB

解析设地球表面的一个物体的质量为加o,有〃?吆=色詈，所以地球质量加地

=哼，故A正确；地球绕太阳运动，有鸟詈=〃叱噜，则加大=嗡，故

B正确；月球绕地球运动，能求出地球的质量，无法求出月球的质量，故C错误；

由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D错误。

4.（多选）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据

平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下

列计算火星密度的公式正确的是（引力常量G己知，忽略火星自转的影响）（）

火星的小档案

直径d=6794km

质量“=6.4219X1023kg

表面重力加速度go=3.7m/s2

近火卫星周期7=3.4h

A3go

A，=2RGd=3献

n6M

C片券D&F

答案ACD

解析设近火卫星的质量为〃?，火星的质量为例，对近火卫星，火星的万有引力

GMmw4n2d

提供其做匀速圆周运动的向心力，则有,可得M=躲，可得火

「•2

星的密度为〃=优5=翳，将收=霖代入上式可得夕=券；又火星对近火

卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有加go=G黑，解得/=翳，因

（fl

Ro/

M4G3。。

此火星的密度为〃==1-=缶，A、C,D正确，B错误。

1八iTtUCl

8.3巩固练习

A级基础针对练习

针对练习1开普勒三定律的理解和应用

1.1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号发射成功，拉开了中

国人探索宇宙奥秘，和平利用太空、造福人类的序幕，因此4月24日定为“中

国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运行在近地点441千

米，远地点2286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运行周期114分钟。

则（）

图1

A.东方红一号在近地点的运行速率比远地点小

B.东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小

C.地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上

D.东方红一号的运行周期大于同步卫星的运行周期

答案C

解析根据开普勒第二定律知东方红一号与地球的连线在相等时间内扫过的面

积相等，则东方红一号卫星在近地点的运行速率大于在远地点的运行速率，A错

误；根据b=G誓，因为近地点到地心的距离小于远地点到地心的距离，则东

方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点大，B错误；东方红一号绕地球

在椭圆轨道上运动，则地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上，C正确；根

据开普勒第三定律，东方红一号轨道的半长轴小于同步卫星轨道的半径，则东方

红一号的运行周期小于同步卫星的运行周期，D错误。

2.（多选）如图2所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，尸为近日点，0为远日点，

M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为公，若只考虑海王星和太阳之词的

相互作用，则海王星在从产经过M、。到N的运动过程中（）

海王星

N

图2

A.从。到〃所用的时间等于与

B.从。到N阶段，机械能逐渐变大

C.从。到。阶段，速行逐渐变小

D.从加到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

答案CD

解析由行星运动的充称性可知，从P经M到。点的时间为：7b,根据开普勒第

二定律可知，从产到以运动的速率大于从M到。运动的速率，可知从。到〃

所用的时间小于qTo,选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，

故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从0到0阶段，速率

逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从"到N阶段，万

有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。

3.2021年2月，执行我国火星探测任务的“天间一号”探测器在成功实施三次近

火制动后，进入运行周期约为1.8X105§的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的

最近距离约为2.8X10,m。已知火星半径约为3.4X106m,火星表面处自由落体

的加速度大小约为3.7m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离

约为（）

A.6X105mB.6X106m

C.6X107mD.6XI08m

答案C

解析在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有〃7g火=〃?等火火，

化+2.+昼3

Ajr2nn3Io）

得T仁——,根据开普勒第三定律，有——污~~乙，代入数据解得/

过y6X10‘m,C正确。

针对练习2万有引力定律的理解和应用

4.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际

的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车

的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一

个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作

用力大小之比为（）

图3

A.9：1B.9：2

C.36：1D.72：1

答案B

解析悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的

Gm大加/触

万有引力,则="一."=*■=9X2X(；)=3，故B正确。

居免G〃?E〃二―加用机玉急R&O2

5.假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布

均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为Go,在该行星

赤道处的重力为0.75G),则此物体在该行星纬度为30。处随行星自转的向心力为

()

A业1口-L厂

A.120ro

C坐GoD.|GO

答案C

解析由万有引力定律和重力的定义可知，在两极处有G^=Go,在赤道上有

哪1一〃2H=o.75Go,由向心力的公式可知纬度为30。处物体随行星自转的向心

力为/=加苏火cos30。，联立解得/=^Go,故C正确。

6.假设地球是一半径为火、质量分布均匀的球体。一矿井深度为力已知质量分

布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之

比为()

A.1—B.l+4

KK

c化一力2R¥

C\R)D(R-4

答案A

解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的

物体引力为零。设地面处的重力加速度为g,地球质量为地球表面的物体〃?

受到的重力近似等于万有引力，故〃zg=G鬻，又/=p•融故g=%〃GR；设

矿井底部的重力加速度为g',图中阴影部分所示球体的半径，•=〃一4则/=之4

npG(R-d)，联立解得§=1-

对点练3天体质量和密度的计算

7.中国空间站可供多名航天员巡访、长期工作和生活。如图4所示，空间站的轨

道可视为近地圆轨道，己知引力常量为G,下列说法正确的是()

图4

A.在空间站工作的航天员因受力平衡而处于悬浮状态

B.若已知空间站的运行周期，可以求得航天员绕地球做圆周运动的动能

C.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的密度

D.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的质量

答案C

解析在空间站工作的航天员随空间站一起围绕地球做圆周运动，所受合力提供

向心力，受力不平衡，A错误；由于不知道航天员的质量，故无法求出航天员绕

地球做圆周运动的动能，B错误；设地球半径为R.空间站围绕地球做圆周运动，

由万有引力提供向心力得6符=〃?^则地球质量叠苔，地球密度〃=华

4兀2H3

=产=悬，C正确；根据〃=僚知，要求得地球质量，还需知道地球的

半径，D错误。

8.若空间站天和核心舱和地球同步卫星绕地球的运动均可以看成匀速圆周运动，

分别把它们的周期、轨道半径取常用对数后，在ig7一馆一图像中将这两点用直

线连接，如图5所示。4、〃为己知量，引力常量为G,则地球的质量为（）

-°F一~7a----------*3

图5

A.得X102/,B."X10，

C.誓D.答X10人

答案C

解析设地球质量为"，根据牛顿第二定律得，万有引力提供向心力普=加普

八解得停二普产）两边取对数并整理得炫r=}g，'一夕8^，结合图像有

4兀2

小，解得八万义1（叫故C正确。

9.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到

2002年间S2的位置如图6所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000

AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞，这

项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大

质量黑洞的引力，设太阳的质量为可以推测出该黑洞质量约为（）

图6

A.4X104MB.4Xl(m

C.4X108MD.4X1010M

答案B

解析由万有引力提供向心力有写”=〃笔心整理得条整，可知知与

咫2

中心天体的质量有关，则答=告，已知7地=1年，由题图可知恒星S2绕