高考数学一轮复习：著名的不等式（练习）

§1.6著名的不等式

题型一柯西不等式

I.二维形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)^(ac+bd)2((hb,c,dWR,当且仅当时,等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式

(I)Va2+b2->)c24-d2>\ac+b(l\{a,b,c,当且仅当ad=bc时，等号成立).

(2)，Q2+匕2•、/2+d2b,c,dWR,当且仅当时，等号成立).

(3)(a-^b)(c+d)^(y/ac+4bd)2(a,b,c,120,当且仅当〃d=Z?c时，等号成立).

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

kzMWkzl网(当且仅当/是零向量,或存在实数当使听S时,等号成立).

4.扩展：(山+谖+遂+…+成)(好+好+M+…+屎)23.+a2岳+4血+,・・+0〃6)2,当且仅当0"[=02：

历=…二%：乩时,等号成立.

例1已知x,y£R，3f+2)2W6.求2x+y的最值.

解方法一由柯西不等式得

(Iv+y)2^I(V3x)2+(V2y)2][02+(专升

=(31+2力G+/1L

当且仅当岳.寻企)*,

_4Vli

二京’时等号成立，

11

于是2.x+y的最大值为VH,最小值为・、/!!.

方法二由柯西不等式得

|2x+)，|WJ(信)2+(历)2J偿)2+(犷

=J(3x2+2y2)Q+1)<VTT,

当且仅当属•寻鱼冶，

4VH

X=---,X=-----,

即《=薪或?i_时等号成立，

3V11

/=--

于是2x+y的最大值为x/TT,最小值为-VTT.

思维升华掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等

方法.

跟踪训练1(1)若实数文+2”32=1,则f+V+z2的最小值为()

A.14B.—C.29D.-

1429

答案B

解析根据柯西不等式得

222222

(x+/+z)(l+2+3)^(x+2y+3z)=l;

即丹/+冷］,

当且仅当彳二衿且x+2.y+3z=1,

即信白，话，时等号成立，

14714

故Ar+y2+z2的最小值为三

(2)函数产-2%的最大值为.

答案6V3

解析由题意得x-120且10-2x20,即1WXW5,

故函数的定义域为［1,5］,且)>0,

应」52+(&)2义］(\小辽)

由柯西不等式得产5XV7^T+V2X遥二I2+

当且仅当5XV5^X=V2X,

即.『崇时等号成立，

故函数y=5\!x-1+V10—2〃的最大值为68.

题型二权方和不等式

1.二维权方和不等式：若小b,x,y>0,则贮+匹2妇之，当巨仅当也2时，等号成立.

xyx+yxy

变形I：已知x,y,a,/?>(),则2('«+>),当且仅当x：尸仿：VS时，等号成立.

Jxyx+y”

〃m+lhm+1/C4>h、m+1nh

变形2：己知X,)，，小6>0,且〃?>0,则m+m'2；？vn'，当且仅当吼时，等号成立.

Jxmym(x+y)mxy

2.多维权方和不等式：

公式1：若*0,30,则争俘i卷》华¥二婆，当且仅当。尸油时，等号成立.

如b2bnbi+b2+—+bn

公式2：若*0,30,心0,则需+端+…+需2(：；十『二二)二’当且仅当斫为时，等号成立.

m

Ab2on(b1+b2+--+bn)

权方和不等式的特征是分子的事指数比分母的事指数大1,用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代

数式常数化.

3.权方和不等式中的参数〃［可以小于0,但不等式的方向会根据〃?的取值范围发生变化.具体如下：

当/?/>()或/〃V-1时，有

n户+](建吐

y__>i=l________

乙m-n•

b1

I=1(Ebt)m

i=l

当时，不等号反向:

n

flm+i(屋，严1

y__vi=l_____

L-n•

1

i=1(Ebi)m

i=l

当切-1时，等式成立.

其中3屏＞0对所有i成立.

因此，在使用权方和不等式时，需注意机的取值范围以确定正魂的不等号方向.

例2若Q0,)>0,册+高;=2,则6x+5y的最小值为

答案y+2V3

解析由权方和不等式得二-h

2x+yx+y2x+y4(x+y)

=[+(24)2

2x+y4(x+y)

2

>(14-2V3)_13+4V3

6x4-5y6x+5y'

反

即2213+4\

6x+5y

则6x+5y2畀2百,

当且仅当士二客彳，

2x+y4(x+y)

即广牛，产等时取等号,

故6x+5y的最小值为言+2百.

思维升华(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键.

(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.

(3)关于带根号的式子，将分子变为手欠，分母为手欠.

跟踪训练2(1)已知a,b,。为非负实数，且满足9c=4,则六+念+六的最小值为

答案2

解析由权方和不等式，可知

1I1I1_12]22]3?>(]+2+3)26V

a+1b+1c+l~a+l4b+49c+9^(a+l)+(4ft+4)+(9c+9)-18-**

当且仅当W二岛二品

即a=2,Z?=T，c=0时等号成立,

所以号总的最小值为2.

（2）已知Q1,9，则三三的最小值是

答案8

解析令x+y-2=Q>0）,台+占》翳/等_=什*422「1+4=8,

x+y-2=2,

当且仅当，」_=上即人=2,），=2时，两个等号同时成立，

-y-lx-1,

故与二的最小值是&

y-lx-1

题型三排序不等式和切比雪夫不等式

1.排序不等式

给定两组实数a"G，…，%;1八,方2，…，"如果aiWa?这…W。”；,五岳W…Wb”.那么

a]b„+（i2bn.i+…+。〃仇W0瓦]+。2d2+…+〃/之

（反序和）（乱序和）

<“仇+〃2岳+,•,+anb,i.

（同序和）

其中h，打，…，K是1，2,…，〃的一个排列.

n

该不等式所表达的意义是和式E《%.在同序和反序时分别取得最大值和最小值.

7=1

2.切比雪夫不等式

对于两个实数数列｛%｝,｛儿｝,

若…2。”/?12b2》…2小，

n/n\/n\

则帚Ea,b^\-Eat-£打，

nt=1\nf=1/\ni=1/

类似的，若有力…妾MbfWbiW…4%

切比雪夫不等式证明：

因为有力。〃，biN岳2…26,

所以由排序不等式易知，最大的和为顺序和，即08+心岳+…+0"，

于是有以下一系列共〃个不等式：

aibi+a2b#…+anbn=a\b।+6/2^2+***»

a\b\+〃2〃2+,•,+anbn2〃山2+4263+,,•+a”仇，

a\b\+〃25+,•,+anbn2a।加+④仇+,,,+&岳，

a\b\+〃2。2+**,+anb„Na\bja2bi+…+GMI,

n/n\/n\

将这"个不等式分别相加，同时对右式进行因式分解，整理可得;E她2；£七；2坊）・

反向情况可由最小的和为逆序和推得，得证.

例3（1）在锐角三角形A8C中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，设尸二号匕，Q=acosC+反os

B+ccosA,则P,Q的大小关系为（）

A.P2QB.P=Q

C.PWQD.不能确定

答案C

解析在锐角三角形48c中，不妨设A282C,则〃2/?Nc,cosA<cosB^cosC,

则由排序不等式有Q=acosC+/?cos8+ccos42〃cosB+〃cosC+ccosA

=2/?(sinAcos3+sin8cosC+sinCeosA),①

Q=acosC+bcosB+ccosA2acosC+bcosA+ccosB

=2R(sinAcosC+sin8cosA+sinCeosB),②

①+②得2Q22R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=2R(sinC+sin4+sinB)=a+b+c,

则Q2丝产JP(其中R为△ABC外接圆的半径)，即PWQ.

(2)设小b,c>0,求证：-^+―+-^7^^.

'b+cc+aa+b2

证明不妨设42b2c>0,所以a+b2c+ci2〃+c>0,

i、i、i八

由切比雪夫不等式，得

4m念+"A。.京.（出+士+熹)

43坳+(Hc)+(c+M.(士+士+熹)

33次。+b)(b+c)(c+a).3.念・吉,熹二|,

当且仅当时等号成立.

思维升华在比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小时，对于没有给出大小关系的情况，要根据

各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.

跟踪训练3若A=X介石+…+工BB=XIX2+X2X3+,,,+X/J.iXn+X,^1,其中即，工2，…，X〃都是正数，则A与3

的大小关系为（）

AQBB.A<8C.A28D.AWB

答案C

解析依序列｛x〃)的各项都是正数，不妨设O<X|WX2<X3W…W.%,则X2,X3,…，X”制为序列｛方｝的一

个排列，由排序不等式得XN+X2X2+…十%%力工送2十工2工3+…即行十好+…+煽力用了2一工2工3十…工小

如+为由，故A2及

题型四琴生不等式

1.琴生不等式

(1)关于凹凸性的判定：

若函数次、)在区间上的二阶导数恒为正，即/"(幻>0恒成立，则为凹函数；

若函数yu)在区间上的二阶导数恒为负，即广a)<0恒成立，则为凸函数.

⑵拐点为凹凸性的分界点：已知人r),则当八的)=0时，即,/Uo))为.")的拐点.

(3)琴生不等式：

凸函数(如单调递增的对数函数)：孙)W/广+*2：+力,当且仅当内=必—=为时等号成立:

凹函数(如单调递增的指数函数)：/6])+/？++/(孙)斗广+外；+力,当且仅当所走…及时等号成立.

2.琴生不等式证明

⑴当〃二2时，由凹函数性质知结论成立；

(2)假设当n=k时命题成立，即/”2；+力030+%+…+外加,

那么当〃*1时，设备立笠产，

火4+1)=/•((”+—+£-D4-+1)

+以产/+]+(仁-卜+]\

(3一+*2+~…~L—1)4)

后，(4)+/("+(7)*)]

「八&)

i=l_______.f(Xk+i)+(k'"-l)f(4"k+i)]’

所以2kf(Ak+1)^fix\)+fix2)+…t/M)+凡必0++(/:-1次4*+1),

所以(k+1求4+1)0(内)t/S)+••・D，得证.

3.加权平均琴生不等式

nnn

若於)为小例上的凹函数,且£A,=l,A,>0,则人£着)WE初出).

I=1i=1i=1

例4半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是.

答案争2

解析设。。的内接三角形为△ABC,

显然当△A8C是锐角三角形时，面积可以取得最大值，

设/4O3=2a,NB0C=2p,ZCOA=2yt

贝Ia十。+y=7t,

则SAABc=1/?2（sin2a+sin2“+sin2y）.

又0<",£,而产sinx在（0,五）上是凸函数,

则由琴生不等式知

sin2a+sin20+sin2y<3汨2（a+/?+y）&

332

所以SAA8CW^R2X3X4=^^就

224

当且仅当AABC是正三角形时，等号成立,

故半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是苧心.

思维升华豕生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利

用琴生不等式证明或求最值.

跟踪训练4设M…，……且M+we，则的言+言+…言》的最小值

为.

答案2026

2025

解析构造函数人只工事,

易得函数在(0,1)上为凹函数.

由琴生不等式，得/广+号02；不。26

V/（X1）+/（X2）+…+/（乂2026）

2026

即+工+…+”2026）2手卒=」

一七一工，

112026l-T/TUTZTo2025

所以心必+不..]X202622026,当且仅当Xl=X2=…=X2O26=：T3时等号成立，卬的最小值为^

1-X]]—421一“20262025N026Z025

课时精练

[分值：45分]

01知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共25分)

1.实数x,y满足3f+4)2=12,则z=2x+gy的最小值是()

A.-5B.-6C.3D.4

答案A

解析•・•实数Ky满足3『+4)2=12,

22

,x•占v

由柯百不等式得［仔）2+（专升（42+32）2（〃+何，）2,

故-5WZt+何W5,

当且仅当今3=套4,

即户W，产-呼时不等式左端取等号，

.\z=2v+V3y的最小值是-5.

2.已知a>b>0,且满足一；十七二1,则。十力的最小值为（）

a+2a+2b

A.1+V2B.1+V2

C.|+2V2D.2+V2

答案B

解析由权方和不等式，可知富+总2奇访

即年探,

故a+6*+夜，

当且仅当老•二」一，

a+2a+2b

即a=\j2t时取等号，

所以“+人的最小值为>企.

3.设臼，。2,。3,«4是L2,3,4的一个排列,则0+242+3。3+4々4的取值范围是（）

A.(0,30]B.(20,30]

C.[20,30]D.[20,30)

答案C

解析由排序不等式得

ca+2生+3。3+4，层12+22+32+42=30,

苗+2。2+3的+4火21X4+2X3+3X2+4X1=20,

・・・苗+2a2+3什岗田的取值范围是［20,30］.

4.若x£（0,J）,当地+二一取得最小值时，x的值为（）

\2/sinxcosx

A.—B.-C.-DS

126312

答案c

解析由彳£（0,得sinx>0,cosx>0,

由权方和不等式得辿」=、七.会（3+步广是8,

22

sin*cosx（sin2x）3（cos2x）z（Sinx+cosx）z

当且仅当一好二」二，即cosr4时等号成立，

siMxcoszx2

所以

5.在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）

A.-B.3C.—D替

22

答案D

解析因为）=sinx在区间（0,兀）上是凸函数，根据琴生不等式可得,

sinA+sinB+sinCA+B+C

Wsin

33

得sin4+sinB+sinCW—^~,

当且仅当4=B=C=T时等号成立，

即sinA+sinB+sinC的最大值是苧.

二、填空题（每小题5分，共10分）

6•焉+康的最小值为——

答案9

解析由权方和不等式得.】『+:，：：2）29,

sin20cosz0sinz0cos20smz0+cosz0

当且仅当.\=-,

sin20cos20

即sin%=5,cos?0=:时等号成立，

JJ

故的最小值为9.

s\n20cos2©

7.已知正实数1,y,z的和为1,则工+工+工的最小值为

x+yy+zz+x--------------

答案I

解析方法一（柯西不等式）

Vx,y,z>0,x+y+z=1,

.,.8(—+^+—)=

(M+祟+妥)©")+(尹z)+(z+刈

I_____\2

Xyjz+x]=4,

2221

则工Y4yr+J72;,

x+yy+zz+x2

当且仅当下产时取等号,

故二卓二的最小值为去

x+yy+zz+x2

方法二（权方和不等式）

Vx,)，，z>0,x+y+z=1,

(x+y+z)2

..——―h——2

x+yy+zz+x(x+y)+(y+z)+(z+x)2

当且仅当下产时取等号,

故EqU宇的最小值为今

x+yy+zz+x2

」能力拓展।每小题5分，共10分]

8.若正数〃?，，?，〃满足〃?+〃+p