指数与指数函数（专项练习）学生版-2027届高考数学一轮复习

-I〃次方根

1.〃次方根的定义

如果那么工叫做团的〃次方根，其中心1,且〃WN*.

2.。的〃次方根的表示

n。的〃次方根的表示符号a的取值范围

〃为奇数R

〃为偶数±Va(0,+co)

3.根式

式子VS叫做根式，这里〃叫做根指数,a叫做被开方数.

4.根式的性质(心1,且〃WN*)

(1)负数没有偶次方根.

(2)0的任何次方根都是Q,记作VU=Q.

(3)根据〃次方根的意义，可得(“可”=4

(4)〃为奇数时，1^=a.

〃为偶数时，府=囹=[0'a"'

{—a,a<0.

【注意】(i)V谈是一个恒有意义的式子，不受〃的奇偶限制，但这个式子的值受〃的奇偶限制.

(2乂正)〃已暗含了正有意义，根据〃的奇偶性可知。的范围，其运算结果恒等于

二、分数指数幕的意义

m__

正分数指数累规定：aG=V^(a>0,&N*,〃>1)

负分数指数累规定：>0，m,nGN*,n>1)

a不XQ

0的分数指数累0的正分数指数累等于。，0的负分数指数累没有意义

m…

【注意】分数指数嘉流它是根式的一种写法，不可理解为巴个。相乘.

n

有理数指数鬲的运算性质

⑴〃*=八3>0,丫,s£Q).

(2)«r=贮(60,一，s£Q).

(3)(ahY=arbr(a>0,b>3r^Q).

【注意】有理数指数嘉的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立.如(一3)/4=9,

((一3力4无意义.£X4=(Q；)4在”0时不成立.

三、无理数指数幕的运算

1.无理数指数塞：一般地，无理数指数累。为无理数)是一个确定的实数.

2.实数指数事的运算法则

(1)优炉=/=5>0,r,sWR).

r,s

(2)(ay=a(a>0fr,s£R).

(3)(仍)「=。方S>0,b>0,rER).

四、指数函数的概念

一般地，函数以y7>0,口。W1)叫做指数函数，其中指数工是自变量，函数的定义域是R.

【注意】指数函数和察函数的区别：

指数函数的自变量在指数上，而幕函数的自变量在底数上.

判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数是大于。且不等于1的常数.

(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上.

(3)〃的系数必须为1.

五、指数函数的图象和性质

项目a>\0<a<\

尸炉斗

图象产「产二

O\x

定义域R

值域(0,+8)

最值无一值

定点过定点(0,1),即1=2_时，y=\

性

函数值的变当x<0时，0<v<l；当x>0时，0<v<l；

质

化当x>0时，y>\当XV。时，止1

单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

对称性与、=(£)”的图象关于诩对称

2

®y=a\②@y=c\④y=砂的图象大小关系：b<a<\<d<c

解决指数函数图象问题的注意点

（1）熟记当底数公>1和0<4<1时图象的大体形状.

（2）在歹轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.

考点一指数化简与运算

1.（25-26高三上•新疆和田•月考）计算：

（1）21吗2-1%方32+1喝8-25嗝3

⑵上邛+0.1可2当13m+也；

I9JI27；48

2.（25.26高三上・云南曲靖•开学）已知Q0,则依层的分数指数基形式为（）

2323

A・加B./C.asD.a5

3.（25-26高二下•上海・开学）已知。+2/）=4,则3"+9'的最小值为.

3

4.（25-26高三上•北京•月考）求值：1.5工,北+潸x6*x（6xC）6=__________.

5.（25.26高三上•浙江杭州•月考）化简：V4+V15+74-715=.

।2

6.（25-26高三上•河北衡水•月考）已知x+x-=5,求.的值

x2+X”

考点二指数函数概念以及求解析式

7.（25.26高三上•天津滨海新区•月考）函数y=（2“2-3〃+2K/是指数函数，则。的值为（）

A.vB.1C.-D.1或！

222

8.（25-26高三上•黑龙江哈尔滨•开学）指数函数/⑴的图象经过点（别，八2）=.

9.（25-26高三上•全国•开学）己知指数函数y=（2a-1『，则实数。的取值范围是；

10.（24-25高三上•重庆渝中•开学）已知指数函数/（'）=（"1川的图象经过点|七｝则"=（）

A.yB.乎C.V2D.2

考点三指数型函数定点问题

11.（25-26高三上•上海奉贤•开学）已知实数。>0,。工1,则函数y=〃、-2的图象恒经过定点的坐标为.

12.（25-26高三上•湖南长沙•开学考试）己知函数），=/一2。25+2026（«>0,且。=1）的图象恒过定点P,则点尸

的坐标为.

13.（25-26高三上•湖南长沙•月考）已知函数/（劝=。q+15>0,。制）恒过定点°,且点。在函数y=〃?x+〃的图象

上，则4m+2"的最小值为（）

A.242B.8C.4D.4VI

14.（25-26高三上•四川成都•开学）已知函数P="i+1S>（）MH1）的图象恒过定点4且4点在直线

mx-y+n=0（w>0,/z>0）Jt,则^+上的最小值为（）

mn

A.tB.1C.2D.4

考点四利用指数型函数图像求参

15.（25-26高三上•江苏连云港•开学）（多选）设。，人为实数，。>0,awl.已知函数y=的图象如图所示，

则（）

4

A.a>1B.0<6/<1C.h>-\D.h<-\

16.（25-26高三上•河北邯郸•阶段检测）己知函数/（力=加-仇〃>（）,且"1）的图象如图所示.则函数

g（x）=（x-a）（x+b）的图象可能是（）

B.0<a<1]<—1

C.a>1,/>>—1D.a>1,/x-l

18.（25-26高三上•陕西咸阳•月考）已知函数/（x）=的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直

线相交则/的值为（）

C.2D.4

19.（25-26高三上•陕西汉中•开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数卜=。/+几+。与函数在同一

5

考点五指数函数单调性问题

20.（2。26・河南开封•模拟预测）已知函数=在0,2）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.B.[0,4]C.[0,1]D.[1,2]

21.（2026,广东深圳•二模）已知函数/（%）=川1）+炉-4，则满足f（m）</（，"+2）的〃?的取值范围是（）

A.（0，+8）B.|~~t+ac>|C.+D.（―<»,0）

22.（25-26高二下•浙江宁波・开学）己知函数/（》）=2'+/.

⑴用定义证明函数/（1）在[0,田）上是增函数；

⑵解不等式/（2工）>/（》+1）.

-x2+a2,x<0

23.（2D26•山西吕梁•三模）己知函数/（》）=v1,在R上单调递增，则〃的取值范围是（）

ae——x,x>0

2

A.（0,1]B.0（C.gl）D.：』

,.ax+3a,x>1

24.（2026・甘肃金昌•三模）已知。>0,。工1,若函数/x、2cy八在R上单调递减，则。的取

（3-5a）x-2x+5,x<1

值范围是（）

（34141「23]23）

25.（25-26高三下•江西赣州・开学）若函数/（x）=0.6〜如在卜川上单调递减,则。的取值范围是（）

A.（-oc,-l]B.1,+8）C.[2,+8）D.（y,一：

考点六指数函数比较大小问题

26.（25・26高三上,贵州毕节•开学）设X=0.8°7,y=log060.5,z=log070.8,J叫％,y,z的大小关系为（）

A.y>x>zB.y>z>xC.x>y>zD.x>z>y

27.（2026・辽宁抚顺・二模）已知\=产,5=3%c=log23,则（）

6

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b

28.（25-26高三上•湖南长沙•开学）已知a=（：j,Z）=《J,c=k）gK，则（）

A.h>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c

29.（2026•湖南湘潭・三模）己知。=ln2,b=e42,c=W,则（）

e

A.h>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>b>c

考点七利用指数函数的单调性解不等式

30.（25-26高三上•陕西榆林•阶段检测）己知函数/（x）=c-+c2r-2026,则关于，〃的不等式/（加+1）＜/（2机-1）

的解集为（）

A.（7,-2）11停

B.

D.U（2,+8）

31.（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知函数/（'六/、一2/+〃,,

。＞0且。工1,€R,

（1）当用=-3时，求关于x的不等式力了）＞0的解集；

（2）当〃＞1时,不等式logj（x）＞x在工式0,1]上恒成立，求阳的取值范围.

x+3%＜07

32.（2026-江苏南京・模拟预测）已知函数/3=2、；-+1x＞（/则满足/（3"2）＜1的实数〃的取值范围为（）

A.（-8,1）B.[8,；c.（1,+8）D.$+8）

33.（2026•北京丰台•二模）不等式的解集是

4

4

34.（25-26高三上•广东广州•开学）已知函数/（工）=1-：^—＞0且。*1）为奇函数.

2a+a

⑴求实数。的值及函数/（x）的值域：

⑵解不等式

7

35.(2026•吉林长春•二模)已知函数/("=2,-2-、，若/(2“)+/(-4)>0,则。的取值范围是

考点八指数函数的值域或最值问题

36.(25-26高三上・甘肃兰州•开学)已知函数/(x)=6J”

(1)求函数/(口的单调区间；

(2)求函数/(x)的值域.

37.(25-26高三上•上海・开学)已知函数歹二1-三，xeR是奇函数，机为实数.

5+1

(1)求助的值;

⑵当xw[T,2)时，求函数y=l-罟•的值域.

J1

38.(25-26高三上•云南•开学考试)已知函数/")=卜:+2：+3/"2'(。>。且"1),若函数/(力的值域是R,

a,x>2

则实数〃的取值范围是.

39.(25-26高三上•湖南长沙•开学)已知函数/("二优7-2,其中。>0且。工1.

(1)若“=2,g(x)=/(2x)-2/(x),求g(x)的最小值；

⑵当工2-1时，/(x)W2恒成立，求实数。的取值范围.

40.(25-26高三上•北京•开学)已知函数/(x)=4:a2+4,若恒成立，则实数。的取值范围为()

A.[-4,4]B.(-8,4]

C.D.[-2,2]

41.(25-26高三上・云南文山•开学)已知函数/(幻=4'-h2川+1(AGR).

(1)若/⑴=1,求/(x)的最小值;

8

（2）若存在xwR,使得/（x）40成立，求人的取值范围.

42.（2D26高三上•四川成都•专题练习）已知函数/（x）=Wpg（x）=4'”我R,

（1）判断并用定义证明函数/（x）的单谎性；

（2）当工M1,3］时，g（x）+a—2N0恒成立，求。的取值范围；

（3）若存在演使得不等式/（々）+13|gk）—g卜）|对任意々，.€［0，1］恒成立，求。的取值范围.

考点九指数函数的应用

/

43.（25-26高三下•贵州遵义•阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为

其中/为初始质量，7为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物,贡的半衰期为8

天，则大约经过（）天后，剩余质量变为初始质量的

参考数据：lg2no.3

A.25B.27C.29D.31

44.（2026・广西南宁•三模）酒驾是严重:危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：H）（）mL

血液中酒精含量达到20〜79mg的驾织员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的

酒后，其血液中的酒精含量上升到了：mg/mL.如果在停止喝泗以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减

少，那么他至少经过（）个小时才能驾驶.（参考数据：lg2«0.3010,lg3«0.4771）

A.6B.7C.8D.9

45.（25-26高三上•河南郑州・开学）家气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.假设500g

氨气经过f天后，氨气的剩余量（单位：g）为N）=k，,其中“，k为常数.在此条件下，已知500g氨气经过1天

后，氧气的剩余审为400g,再经过1天后，氧气的剩余审为（）

A.320gB.300gC.250gD.200g

46.（25-26高三上•重庆•开学）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单位：mg/L）

与时间/（单位：h）间的关系为尸=E）e”,其中外，人是正的常数如果前3h消除了20%的污染物，那么前6h消

9

除的污奥物的占比为（）

A.19%B.36%C.64%D.81%

1.（25-26高二下・浙江温州•开学）已知函数〃X）=J,则/（/⑴）=（）

ln.r-x\x>0

11

A.eB.-C.-eD.——

ee

2.（2026•江西赣州一模）若函数/（'=史二1（。>0且。关1）为偶函数，贝小=（）

A.2B.3C.1D.9

3.（25-26高三上•广东深圳•开学）已知函数g（x）=（x-2『+7（,<0）的图像恒过定点尸,点尸在指数函数y=/（x）

的图像上，则1。&/（4）=（）

-34

A.1B.2C.-D.-

23

4.（25・26高三上・甘肃兰州•开学）若函数/。）=优+6（。>0且的图象如图,其中a,6为常数，则函数

g(x)=bga(x+b)的图象大致是()

4/

4/

A.(1,2)B.(1,3)C.(0,2)D.(0,3)

6.(25-26高二下•湖南长沙•开学)已知函数〃x)=F二则不等式的解集为()

-X-+2x4-1,x>-l

A.B.(2,+8)

C.(^»,0)u(2,+oc)D.(-l,0)u(2,+oo)

10

7.（2026-江西九江•二模）已知4=2山=（；）］=噪］,则a,〃，c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

8.（2026・陕西榆林•模拟预测）已知函数/（X）=52'+2/15+6的最小值为-10,则实数4的值是（）

A.-6B.-4C.-1D.4

9.（2026•河北保定•二模）己知函数/（工）=2026一、一2026'+2,若关于z的不等式/（2;+*卜/⑺<4在（0,2）上

有解，则实数〃，的取值范围为（）

（17）17、

A.（-^o,-2）B.（-oo,-2］C.一D.一1，+8

10.（25・26高三上•江苏南通•开学）从盛有1L纯酒精的容器中倒出;L,然后用水填满混合均匀；再倒出;L,又

用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的则至少要重复操作几次？（）（参考数

Jg：lg2«0.3,lg3«0.5）

A.4B.5C.6D.7

11.（2026・广东肇庆•二模）（多选）若存在机<〃，使得函数/（x）=2"=am在区间（_8刈）和（儿+向上单调递减,

则下列说法正确的是（）

A.47>0

B.a<0

C./（x）在上单调递增

D./'（X）在（T1）上单调递减

Ov

12.（25・26高二下•湖南长沙•开学）（多选）已知函数/（耳==q：则下列说法正确的是（）

3

A.若/（x）是偶函数，则。=1

B.若/（"是奇函数，则。=-1

C.若/（丫）>0,则〃的取值范围为（0,+s）

D./（x）的最小值为2G

13.（25-26高三上•山西•月考）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则