高考数学一轮复习：基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

1.空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D)'忠CO，

您

图形

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点

侧棱平行且相等延长线交于一点

但不一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

（2）旋转体的结构特征

轴截面矩形等腰三知形等腰梯形

侧面展开图矩形扇形扇环

2.直观图

(1)画法：常用斜二测画法.

⑵规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中3轴、步轴的夹角为45。或135。.

②原因形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴,平行于上轴和z轴的线段在直观图

中保持原长度丕变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的二笠.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

..八、

侧面展开图蠹落

^py

侧面积公式SMIH：何=2TU•/S8U傕则二匹豆S/“兀（口+12）/

4.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何铲表面积体积

柱体S&=S但+2s底V=Sh

锥体S朽S包+S底V举

；」_+S卜+J^Z

台体S&=Sffl+5上+S下工h

球54-2中

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(I)菱形的直观图仍是菱形.(XI

(2)圆台的母线长都相等.(V)

(3)用两平行平面微圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(X)

(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(X)

2.已知正三棱柱A8C-ABG中，AB=AAi=2,则该三棱柱的体积为()

A.4\/3D.3\/3C.2x/3D.x/3

答案C

解析在正三棱柱ABC-A/Ci中，48=44产2,

所以£丽三X2X2Xsin60。=低

所以V三棱^,ABC-A181G=S.ABCA4\=2^3.

3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是

答案A

解析由斜二测画法的规则，与X轴平行的线段长度不变，

注意到正方形的对角线在尸轴上，对角线长为企，

经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，

故原图形的对角线长是2或，只有A符合题意.

4.已知球O的表面积与圆锥S。，的侧面积相等，且球O的直径与圆锥SO,的母线长均为4,见圆锥SO,的底

面半径为.

答案4

解析设圆锥SO,的底面半径为r,其母线长为4,

则圆锥S。，的侧面积为4〃，球。的表面积为4兀x(。=16兀，

由题意可得4兀-16兀，故，=4,

故圆锥S。，的底面半径为4.

国微点提醒

1.掌握三个结论

(I)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)(祖胞原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

(3)直观图与原平面图形面积间的关系：S“现图=乎5炭图形，S僚图形二2夜5”观图.

4

2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点

（I）几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理.

题型一基本立体图形

命题点1结构特征

例1（多选）（2025・南宁模拟）下面关丁空间几何体叙述错误的是（）

A.正四棱柱都是长方体

B.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台

答案BCD

解析对于A,正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱，所以正四棱柱满足

长方体的定义，正四棱柱都是长方体，A正确；

对于B,两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，比如两个底面全等的斜棱柱拼接

在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误；

对于C,直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C缙误；

对于D,根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，D错误.

命题点2直观图

例2用斜一测画法得到一个水平放置的平面图形OA/C的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C\其

中8c104,若原平面图形。48。的面积为3夜，则的长为（）

A.2B.V2C.V3D.-

2

答案D

解析方法一如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形048C,

设。'*=4,可得0火'二血心

则OB=2OB=2内,

BC=B。=,0A=OA=x,

且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形OA8C的面积为S=1（X+0X2V2A-=3V2,

解得广：.

方法二由S直现由二乎5果图彩可得S直班,

4Z

设。'A=Y,贝|」0'8'=岳，BC*,AB=x,

«3

根据直角梯形的面积公式得;（％+;）1;，

解得右李

命题点3展开图

例3（2025・西安模拟）正三棱锥S-A8C的侧棱长为1,E,尸分别是SA,SC上的动点，当△成/周长

的最小值为加时，三棱锥的侧面积为（）

A.-B.lC.-D.2

44

答案A

解析将正三棱锥S-4BC的侧面沿侧棱S8剪开并展开在同一平面内，如图，

连接当E,尸分别为3"与SA,SC的交点时，△8EF的周长最小，

此时时'=&,而SB=SB'=1,SB2+SB,2=2=BB'\

贝/S£T=90°,/4S8=30。，

所以三棱锥的侧面积为3xfAXS8sin30。=*

思维升华（1）辨别空间几何体的两种方法

①定义法：紧扣定义进行判定；

②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.

（2）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于），轴的

线段平行性不变，长度减半.

（3）在解决空间曲线（段）最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.

跟踪训练1（1）（多选）下列命题中，正确的有（）

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形

B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

答案AC

解析对于A,圆柱的侧面展开图是一个矩形，故A正确；

对于B,各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故B错误；

对于C,由平行六面体的概念和性质可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确；

对于D,根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点.有两个面平行且相似，其

他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错

误.

（2）（2025・台州模拟）如图，水平放置的四边形A8C。由斜二测画法得到的直观图为矩形4夕C7K已知

AO=OB'=B'C'=1,则四边形48C。的周长为（）

答案D

解析由题设知，原四边形AOCO中，A3=CD=A0=CD，=2,且

所以原四边形ABC。为平行四边形，

而O'C'二或，则原四边形ABCO中，002或，08=1,ftAD=BC=y/OC2+OB2=3,

所以四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=\O.

（3）（2025・莆田模拟）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛

生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”，其意思为“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木

的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？"，若1丈=10尺，则

葛藤最少长（）

A.21尺B.25尺

C.29尺D.33尺

答案C

解析根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，

矩形的高（即圆木长）为2X10=20（尺）,矩形的底边长为7X3=21（尺）,

因此葛藤最少长，202+2M=29（尺）.

题型二表面积与体积

命题点1表面积

例4（1）（2025・济南模拟）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4兀，则圆分匕、入底面面积之

差的绝对值为（）

A.7TB.2兀C.4TTD.8n

答案B

解析如图，设展开图小圆半径和大圆半径分别为「，R,则圆台侧面积Sq（2-/）=4兀，即巾-r=8,

上底面半径门=产=£,下底面半径R尸臀二3

2TT22n2

圆台上、下底面面积之差的绝对值为何厝-兀母|二|乎一乎卜子心-户|=2兀

（2）如组所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩

余部分，则该几何体的表面积为（）

A.24-3兀B.24-71

C.24+71D.24+5兀

答案B

解析由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的:球后的剩

余部分，

其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的;圆，再加上半径为2的㈱面，

则谈几何体的表面积

5=6X22-3义工X兀X22+-X4X兀义22=24-7r.

48

命题点2体积

例5（1）（2026・聊城模拟）瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质

釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可

近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（）

A.556兀B.90071C.732兀D.588冗

答案D

解析由题图可知，半球和圆柱底面的半径为6,圆柱的高为8,圆台的上底面半径为2,下底面半径为

6,高为9,

所以该瓷器的体积为］苧X63+7tX6?X8+^(62+22+V62X22)X9=588兀

(2)(北师大版必修第二册P257习题6-6B组T3改编)如图，多面体ABCDEF,已知面ABCD是边长

为3的正方形，EF//AB,平面/BC_L平面ABCD,△P4C中4C边上高“〃=2,贝ij该多面体的

体积为.

答案y

解析连接E8,EC(图略).因为平面平面A8CD,平面所CCl平面A8CD=8C,FHLBC,777u平面

FBC,所以尸H_L平面A8CD

XEF//AB,EFC平面ABC。，A8u平面A8CO,所以E尸〃平面ABCQ,FH为四棱锥E-A8CO的高.

因为4B_L8C,平面尸8C_L平面ABCZ),

平面FBCC平面ABCD=BC,AAu平面AAC。，

所以48J_平面FBC,

因为Eb〃A8,所以£凡L平面依C.

所以匕V四检粮EABCD+V三国拨E.FBC

=^504彩ABCD，FH+gs么FBUEF

2

=1X3X24X(1X3X2)X14

思维升华求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则

割补法

的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

跟踪训练2(1)如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S

滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为.

答案64兀

解析设圆锥母线长/,底面半径-4,

由题意得2冗/=3X2nr,即/=12,

则圆锥的侧面积为nrl=nX4X12=48兀,

底面积为nr=7tX42=167r,

故表面积为48兀+16兀=64兀.

（2）（2025♦湘潭模拟）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6,当底面ABC水平放置时，水面恰好过

侧棱A4的中点；当侧面A48由水平放置时，水面恰好与AC交于点。，则AD等于（）

A.2B.4C.3V2D.6-3V2

答案D

解析当底面A8C水平放置时，水面恰好过侧棱AA的中点，

设三棱柱ABC48G的体积为匕则水的体积为［匕

当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为［匕

则无水部分为水平放置的小三棱柱COE-GG”（一侧面为水面），其体积为1匕

由于三棱柱CQE-GG〃和三棱柱4JC-A由iG的高相同，

故SACD语:SACAB,由于DE//AB,

则△C£）£：s/\CA8,

故除"，而AC=6,故DC=3班,

AC2

故AD=AC-DC=6-3y/2.

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下面关于空间几何体叙述不正确的是（）

A.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面

答案C

解析对于A,因为母线长相等，所以圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，A正确；

对于B,在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线

平行于轴时才是母线，B正确；

对于C,有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，c错误；

对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，D正确.

2.（2025・达州模拟）如图所示，梯形AECTT是平面图形A8CO用斜二测画法得到的直观图，A7T=2,

A'B'=B'C'=1,则平面图形A8co的面积为（

3

A.lB.-D.3

答案D

,

解析方法一由直观图可得原图形为直角梯形ABC。，ABLBC,ABLAD,BC=BC'=\1AD=A'D'=2f

AB=2A'B'=2,

故平面图形ABC。的面积为gx（l+2）X2=3.

方法二在梯形ABC'。'中，NB'A'Q'=45°,

则该梯形的高为A6kin45。二当，

梯形A'B'CT）'的面积为

EA'D,+B,C,Vz3V2

s=——5=丁，

在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2近倍，

所以平面图形ABCD的面积5=27251=272X延=3.

4

3.（2026・凉山模拟）某圆锥母线长为1,其侧面积与轴截面面积的比值为2兀，则该圆锥的高为（）

A.-B.lC.2Dm

2

答案A

解析设圆锥底面圆半径为广，高为力，母线1=1,

则圆锥的侧面积为兀〃=”，抽截面面积为：X2r><力=〃?，

依题意于2兀，解得/?=1,

TriN

故该圆锥的高为去

4.（2025・大连模拟）空间中有一正方体ABCD-A/iCD，将点A,Bi,C,4依次连接,得到体积为V5的三

棱锥，则正方体的体积为（）

A.12、QB.24C.6V6D.3V3

答案D

解析由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积，

设正方体的边长为小

贝U有、与="-4（1x|xa2xa）=1«3=>6f=V3,

所以正方体体积为3V3.

5.（2025•玉溪模拟）已知圆锥的底面半径为遮，高为2,正方体ABCD-A/iG"的棱长为。，若点A,B,

C,。在该圆锥的底面上，点4，用，Ci,。在该圆锥的侧面上，则。等于（）

A.V3B.V2C.lD.y

答案C

解析过正方体A8CZ>48iG。的一组对棱A4,CG作圆锥50的截面，如图所示，

由题意可得S0=2,0呼=或，00i=atSO尸S0-00\=2-a,

面对角线AC二企〃，

所以0C=01C罟a,

由OiG〃。/V,可得△S0iGs/\S0M

所以需啜，

解得0=1.

6.（2025•成都模拟）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图1）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫

做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，球冠的表面积=2兀血（如图1,这里的表面积

不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如图2所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4

的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.

若其中一个截面圆的周长为2兀，则该工艺品的表面积为（）

图I图2

A.20nB.（24，^-34）7t

C.16nD.12兀

答案B

解析设截面圆半径为r,球的半径为七

则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2,

根据截面圆的周长可得2片2兀厂，得尸1,

故2=22+12=5,得R=遥，

所以球的表面积SI=4TIR2=2（）兀

球冠的高/z=V5-2,

得所截的一个球冠的表面积

S2=2nRh=2TtX而X（V5-2）=10兀-4收加,

且一个截面圆面积为nXl2=7r,

所以工艺品的表面积

S二Si-6s2+6K=20兀-60兀+24遍兀+6兀=（24遥-34）兀.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2023•新课标II卷）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,48为底面直径，NAP8=120。，PA=2,点C在

底面圆周上，且二面角尸-AC-O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=2y/2D./XPAC的面积为百

答案AC

解析依题意，NAP8=120。，幺=2,

所以8=1,OA=OB=V3.

A项，圆锥的体积为:X兀X（旧尸乂1=兀，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为几x/5x2=2V37t,故B错误；

C项，取4c的中点。，连接。。，P。,如图所示，

则AC_LOD,ACA.PD,所以/PQ。是二面角P-AC-。的平面角，

则ZPDO=45a,所以OP=OD=1,

ftAD=CD=y[3^i=y/2f贝[故C正确；

D项，PD=\/12+12=V2,

所以里/WX2&X交二2,故D错误.

8.（2025・肇庆期末）圆台002如图所示，在轴截面43CO中，AB=BC=AD=：CD,CD=4,则（）

A.该圆台的高为1

B.该圆台轴截面面积为3V3

C.该圆台的体积为粤

D.一只小虫从点。沿着该圆台的傀面爬行到AO的中点，所经过的最短路程为5

答案BCD

解析对于A,在梯形AOC。中，0。2即为圆台的高，

利用勾股定理计算可得002=J1D2一（丝押）2二122一（芋）2二百,故A错误；

对于B,轴截面梯形ABCD的面积为5=*48+。£＞）。。2§乂（2+4）义百=3百，故B正确;

对于C,易知下底面圆的面积为兀X22=4TI,上底面圆的面积为RX『=九，

所以该圆台的体积为1/=a4兀+江+师［S）xVJ=雪，故C正确；

对于D,将圆台侧面沿母线BC剪开，其侧面展开图如图所示，

易知BB',CC'的长度分别为2兀，4兀，设扇环的圆心为O,圆心角为&OB=r.

由弧长公式可知例=2兀,6（r+2）=4兀,

解得打兀，r=2,

所以乙408=90°,

设£为AO的中点，连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到40的中点，所经过的路程最短，

易知0E=3,0C=4,且。E_L0C,

由勾段定理可知ECZ0E?+OC2=5,故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2026.红桥模拟）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为九，则球的表面积为.

答案8兀

解析设截面圆的半径为入球的半径为凡

由题意可知解得［，=；

I/?2=l2+r2,U=V2,

所以球的表面积为S=4TCR2=4XKXIV2）2=8TT.

10.（2025・包头模拟）如图，已知圆柱的轴截面为正方形A8CO,AB=BC=2,E,歹为上底面圆周上的两个动

点,且后产过上底面的圆心G,若则三棱锥48石尸的体积为.

答案

解析如图，设圆柱的下底面的圆心为。，连接4G,BG,0G.

因为Ef_LA8,EFtBC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABCD,

所以E/_L平面A8CO,且EF=2,

S^BG^ABBC=2,

所以V三梭枪三段价E-ABG+V3tt»£A8G=；S&48G.EG+：S&48G尸6二白粉雨（石6+依）4s△地行石尸］乂2X2=*

«3«3«3OO

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图，A8是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且A3=AP=4,点C是圆柱底面圆周上的点.

（1）求圆柱的侧面积和体积；（5分）

⑵若4c=2,。是尸8的中点，点£在线段”上，求CE+QE的最小值.（8分）

解（I）由题知，底面半径为2,母线长为4,

所以圆柱的侧面积5=2兀X2X4=16%

圆柱的体积V=nX22X4=167：.

（2）记底面圆心为O,连接OC,

因为底面半径为2,AC=2,

以A尸所在直线为轴，将△APC旋转到△APC,使得△4PC和轴截面PAB共面，如图,

贝IOC'=2+2=4,OD=2,

当C,E,。三点共线时，CE+QE取得最小值V42+22=2遥.

12.(15分)如图，矩形O'ATTU是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OA8c的直观图，其中

O'/V=3,O'C'=\.

(I)求平面四边形OA8C的面积；(5分)

(2)若四边形OABC以A0为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.(10分)

解(1)因为S原图形=21S直现用,

所以S相四过形OABC=2或S««E=6\/2.

(2)平面四边形OA8C如图所示，在RlZ\O。。中，有0。2=0。2+。。2=(2&)2+］2=9,

所以。C=3,所以48=3.

如图，分别过点从C作A。及其延长线的垂线，垂足为E,F.

矩形灯4c绕4。所在直线旋转一周得到一个底面半径尸0/)=2企，母线/尸BC=3的圆柱；

RtZXBEA绕AO所在直线旋转一周得到一个底面半径片近，母线A=AB=3,高儿=AE=1的圆锥；

RtZ\bO绕40所在直线旋转一周得到一个底面半径母线/3=。。=3,高〃2=OF=CQ=1的圆锥.

所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一人同底的圆锥构成的组合体.

则旋转形成的几何体的体积等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，再加上组合的圆锥的体积，

所以旋转形成的几何体的体积V=nrli--nrli2+^iPh\=nX(2\/2)2X3--n义(2或/X1+，X(2>/2)2X1=24兀

3333

旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积加上两个圆锥的侧面积，

所以S=2nrl\+nrh+nrh=2itX2或义3+兀义2&X3+兀X2企X3=24•泛兀

［每小题5分，共2()分］

13.(2024•天津)一个五面体A8C-OEE己知AD〃8E〃b,且两曲之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3、则

该五面体的体积为()

A.坦

6

V3

C.T

答案C

解析用一个完全相同的五面体HIJ-LMN（顶点、与五面体ABC-DEF一一对应）与该五面体相银,

使得。，N；E,M；F,L重合，

因为AD〃8E〃。用且两两之间距离为1,

AD=\tBE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面QGK（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，

侧棱长/=1+3=2+2=3+1=4,

V£（fifcABC-DEF=^VAliC