直线与平面的夹角（讲义）原卷版-人教B版高二数学选择性必修第一册

取值范围：0到90度

斜线：斜线与射影形成的锐角

直线平行平面/直线在平面内：央角为0度

直线垂直平面：夹角为90度

直线方向向量、平面法向量

2.向量计算公式

线面角正弦值=向量数量积绝对值+两向量长度乘积

直线与平面的夹角求出直线方向向量

求出平面法向量

3.向量解题步骤

代入公式计算正弦值

4.几何求解方法反求线面夹角

不可直接用余弦计算

5.高频易错点。

分子必须取绝对值

知识点D直线与平面所成的角

直线与平面所成的角直线AB与平面«相交于民设直线AB与平面a所成的角为。,直线AB的

方向向量为〃，平面«的法向量为〃，则sin^=|COS<M,/I>|=|-^-|=Y^7.

.特别提醒.

11）求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决..

II

：⑵线面角的范围为：0,热.：

13）直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角..

II

II

1.（25-26高二下•江苏南京•期中）若向量2=仅,6,0）是直线/的方向向量，向量斤二（2,2,1）是平面。的法

向量，则直线/与平面。所成角的正弦值为（）

A.B.-C.-D.-

3333

2.（25-26高二下・甘肃兰州•期中）设）=（1,2,3）是平面a外的直线/的方向向量，万=（1,-21）是平面a的

法向量，则（）

A.IlaB./la或/在平面。内

C.///aD./〃。或/J.a

知识点IJ斜线与平面所成角的性质

（1）线线角、线面角的关系式

关系式：如图，4T_La,OA,OMua,则图中仇美3之间的等量关系是cos8=cosdcos区.

（2）最小角定理

平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

特别提醒

对公式cos8=cos81cos82的理解

由OWcos/Wl,得cos8Wcos6[,从而〃[W8.

在公式中，令&=9()°,则cos6=cos81cos9()°=0,

.*8=90°,此即三垂线定理.反之，若夕=90°,可知02=90°,即为三垂线定理的逆定理.即三垂

线定理及其逆定理可看成此公式的特例.

已知平行六面体力8CO-48|GOi的底面是边长为a的菱形，0为菱形48C。的中心，NBAD=NBAA尸

NO4小=60°,力小=入，求证：/。_1_平面力BCD

2

题型。线面角的向量求法

[例1(25-26高二下♦河北石家庄•期中)如图，在四棱台/出CO-44G〃中，力4,平面/次?。，四边形

力8c。为正方形，AA,=AB=2AlBi=6,M为力。的中点.

(1)证明：4%//平面0。。。.

(2)求直线4c与平面4。4所成角的正切值.

(25-26高二下•贵州毕节•期中)如图，在四棱锥—8CO中，4_L底面"C。，四边形48C。

为正方形，M,N分别为47,尸。的中点.

(1)求证：MN//平面PBC；

(2)若PA=AD,

①证明：平面力MY1平面PCD；

②求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

题型❷已知线面角求其他量

［例1(25・26高二下•福建厦门•期中)如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，。为。&上一点,

边长为VI的止方形力内接于。(儿设平面21。与平曲P8C的交线为直线/,点。为直线/上一点.

（1）证明:IUBCX

（2）若/＞。_1_平面力88,当直线P8与平面08所成角的正弦值为当时，求尸。的长.

（25-26高二下•云南昆明・期中）如图所示，在三棱锥尸中，底面是边长为4的正三角形,

21=2,PB=PC=2有，点、E为AC的中点.

B

(1)求证：平面P4C；

(2)在线段尸6_L是否存在点G,使得直线与平面尸8C所成住的正弦值为半？若存在，碓定点G的位

置.；若不存在，请说明理由.

1.（25-26高二下・甘肃兰州•期中）已知“经过点P（Xo，%,Zo）且法向量为0=（4B,C）的平面的方程是

J（x-x0）+5（^-j0）+C（z-z0）=0\现知道平面。的方程为x-y+2z=l,则过M（l,2,3）与N（3,2,4）的直

线与平面a所成角的正弦值是.（

2.（25-26高二下•湖北•期中）在棱长为2的正方体力8CO-44GR中，E为棱力B的中点,广为棱CG的

中点，则异面直线〃后与4厂所成角的余弦值为（）

Ay/5R2石rVlO八3M

551010

3.（25-26高二下•江苏宿迁期中）在正方体488-48C。中，点O为线段力。的中点.点尸在线段4G

上，直线。尸与平面48G所成的角为。，则cos。的最小值是（）

4.（25-26高二下•浙江衢州•期中）在长方体力8CO-48cA中，48=4,8。=3,44=2,点E是4百的

中点，那么异面宜线。石和4C所成的角的余弦值等于（）

A.亚B.姮C.AD.晅

17171717

5.（2026•甘肃张掖•模拟预测）如图，在三棱锥P-48C中，。为6c的中点，尸。_L平面43C,

ABLAC,ZPCA=^AB=AC=PB=PC=2,则直线8尸与平面川。所成角的正弦值为（）

B.在c.B

4

6.（25-26高二下•江苏南京•阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有4民C三点，48为底面圆。的直

径，点。是底面直径所对弧的中点，点。是母线口的中点，若48=PO=2,则直线CQ和平面P8C

所成角的正弦值为（）

A.1B.C.姬D.述

3993

7.（2026・贵州贵阳•模拟预测）如图，已知两个正方形45C。，力8叮的边长都是1,且它们所在的平面互

相垂直.点M,N分别在正方形对角线4C和4厂上移动，且。川=4'=。（0＜。＜&）.当/乂的长最小时，直

线MN和48夹角的余弦值是（）

A.〈B.0C.—D.—

224

8.（25-26高二下•河北邢台•开学考试）在空间直角坐标系中，直线/的一个方向向量为比=（-1,01），平面

。的一个法向量为方=（6,-1,0）,/与a所成的角为夕，贝IJ（）

冗八兀c冗入71

A.-<O<—B.一<0<一

6443

兀C兀

C.—<O<—D.0<0<~

326

9.（25-26高二上•安徽淮北・期末）如图，已知四棱台48CZ）-44G。的底面"CO是直角梯形,

/胡。=90',ADHBC,AD=4B=2BC=2DD=2AR,QDJ平面44。，£是侧棱所在直线上的

动点，则力E与平面力C4所成角的正弦值的最大值为（）

C-T。■普

10.25-26高二下•湖北•期中）如图，在四棱锥尸-48。中，底面48co是边长为4的正方形，ftffiPAD

是正三角形，侧面PWJ■底面48C。，七是的中点.

（1）证明：平面力CEJ.平面PC。.

（2）求直线AD与平面ACE所成角的正切值.

11.（25・26高二下•安徽阜阳•期中）如图，在直三棱柱力8C—44G中，ACLBC,AC=BC=AA],。,

E,G分别为44，CQ,44的中点，尸为力4上的一点，且4斤=3力/，P为线段3。1上不包括端点的

动点.

G

⑴若P为8G的中点，证明：PE，/平面CFG；

（2）若力。=4,设直线。尸与平面CQG所成的角为。，求sina的最大值.

12.（25-26高二下•江苏•期中）已知：空间直角坐标系。-师中，过点P（x0/o，z°）且一个法向量为方=（〃,6,c）

的平面。的方程为“x-/）+〃（y-%）+c（N-Zo）=0.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面a的方

程为2x+2y+z-7=。，直线/是平面〃：x-2y+6=0与平面/:2y+z-4=0的交线，则直线/与平面。所成

角的正弦值为.

13.（25-26高二下•江苏扬州•期中）在正方体力8C。-44GA中，M为侧面OCGA内的一个动点，且

A.C1BM,记8/与平面4G。所成的角为。，则tana的最大值为.

14.（25-26高二下•福建厦门・期中）在如图所示的几何体中，四边形48CQ为矩形，4F工平面，BCD,EF/〃B,

4D=3,AB=AF=2EF=2,点、P为DF的中息.

(1)求1正：RFHAPC：

(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

15.(25-26高二下•广东汕头•期中)如图，在几何体力中，四边形是菱形，/84。=60,且

AB=2,三角形力。石是正三角形，平面4OE1平面力8CQ.点尸在平面48CO上的投影为B力与力C的交点

。，且“'=百.

(1)证明：8。，平面40尸；

(2)求直线EF与平面BDE所成角的正弦值;

16.(25-26高二」二河南郑州•期末)在空间直角坐标系中，平面。的一个法向量的坐标为(4,4,-7