18.1.2.2分式的约分和通分-课件（共25张）人教版数学八年级上册

#人教版八年级上册18.1.2.2《分式的约分和通分》专项练习（约1700字）##知识要点速记1.**约分**：根据分式的基本性质\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)把一个分式的分子与分母的公因式约去\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)叫做分式的约分。约分步骤：①对分子、分母因式分解；②找出分子、分母的公因式；③约去公因式。2.**最简分式**：分子与分母没有公因式的分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)叫做最简分式。分式化简结果一般要化为最简分式或整式。3.**通分**：根据分式的基本性质\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)叫做分式的通分。4.**最简公分母**：通分时\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)叫做最简公分母。找最简公分母方法：①系数：各分母系数的最小公倍数；②字母（因式）：凡是各分母中出现的不同因式都要取；③次数：相同因式取最高次幂。5.重要提醒：约分是针对**一个分式**\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)化简；通分是针对**多个异分母分式**\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)统一分母；二者依据都是分式的基本性质。##一、选择题1.下列分式属于最简分式的是（）A.$\dfrac{2x}{4y}$B.$\dfrac{x+1}{x^2+1}$C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$D.$\dfrac{-x+y}{x-y}$2.分式$\dfrac{1}{2x^2y}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{1}{3xy^2}$的最简公分母是（）A.$6xy$B.$6x^2y^2$C.$5x^2y^2$D.$x^2y^2$3.对分式$\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}$约分\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)结果正确的是（）A.$\dfrac{x-3}{x+3}$B.$\dfrac{x-3}{x-3}$C.$\dfrac{x+3}{x-3}$D.$1$4.分式$\dfrac{1}{x^2-4}$与$\dfrac{1}{2x+4}$的最简公分母是（）A.$(x+2)(x-2)$B.$\(2(x+2)\)(x-2)$C.$\(2(x+2)\)$D.$(x-2)$5.下列约分正确的是（）A.$\dfrac{a^6}{a^2}=a^3$B.$\dfrac{a+x}{b+x}=\dfrac{a}{b}$C.$\dfrac{-x-y}{x+y}=-1$D.$\dfrac{x+y}{x+y}=0$##二、填空题6.化简：$\dfrac{12a^2b}{18ab^3}=$________。7.分式$\dfrac{1}{x-1}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{2}{(x-1)^2}$的最简公分母是________。8.约分：$\dfrac{m^2-4m}{16-m^2}=$________。9.将$\dfrac{1}{a-2}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{1}{a+2}$通分\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)公分母为________。10.若分式$\dfrac{x-2}{x^2-4}$约分后为$\dfrac{1}{x+2}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)则字母$x$的取值范围是________。##三、解答题（写出完整步骤）11.约分：（1）$\dfrac{-24x^2y}{18xy^3}$；（2）$\dfrac{a^2-2a}{a^2-4a+4}$；（3）$\dfrac{4-x^2}{x^2+4x+4}$12.判断下列分式是不是最简分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)不是的请化为最简分式：（1）$\dfrac{3x}{6x-3}$；（2）$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$；（3）$\dfrac{x^2-2xy+y^2}{y-x}$13.通分：（1）$\dfrac{1}{2ab^2}$与$\dfrac{2}{3a^2b}$；（2）$\dfrac{1}{x+2}$与$\dfrac{3}{x-2}$；（3）$\dfrac{x}{x^2-1}$与$\dfrac{2}{1-x}$14.先约分\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)再求值：$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)其中$\(x=3\)$。15.已知分式$\dfrac{1}{x^2-2x}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{1}{x^2-4}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)求它们的最简公分母\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)并完成通分。##四、拓展探究16.小明说：分式$\dfrac{2x}{x^2}$约分之后是$\dfrac{2}{x}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)所以$\dfrac{2x}{x^2}$和$\dfrac{2}{x}$完全一样\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$x$可以取任意不为0的数。你同意吗？说明理由。17.有两个分式：$A=\dfrac{x}{x-y}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$B=\dfrac{y}{x+y}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)请对它们通分；若$x=2\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)y=1$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)分别求出两个分式的值。18.化简$\dfrac{(a-b)(a+2b)}{(b-a)(2b+a)}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)思考：化简时哪些字母取值不能取？---##参考答案与解析1.B解析：A可约分为$\dfrac{x}{2y}$；C因式分解后可约分；D化简得$-1$；B分子分母无公因式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)是最简分式。2.B解析：系数2、3最小公倍数6；$x$最高次$x^2$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$y$最高次$y^2$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)最简公分母$6x^2y^2$。3.A解析：原式$=\dfrac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{x-3}{x+3}$。4.B解析：$x^2-4=(x+2)(x-2)$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$2x+4=\(2(x+2)\)$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)最简公分母$\(2(x+2)\)(x-2)$。5.C解析：A结果应为$a^4$；B分子分母是和的形式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)不能约分；D结果是1。6.$\boldsymbol{\dfrac{2a}{3b^2}}$7.$\boldsymbol{(x-1)^2}$8.$\boldsymbol{-\dfrac{m}{m+4}}$解析：原式$=\dfrac{m(m-4)}{(4+m)(4-m)}=-\dfrac{m}{m+4}$9.$\boldsymbol{(a-2)(a+2)}$10.$\boldsymbol{x\neq\pm2}$11.（1）$\dfrac{-24x^2y}{18xy^3}=-\dfrac{4x}{3y^2}$（2）$\dfrac{a^2-2a}{a^2-4a+4}=\dfrac{a(a-2)}{(a-2)^2}=\dfrac{a}{a-2}$（3）$\dfrac{4-x^2}{x^2+4x+4}=\dfrac{(2-x)(2+x)}{(x+2)^2}=\dfrac{2-x}{x+2}$12.（1）不是最简分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{3x}{6x-3}=\dfrac{3x}{3(2x-1)}=\dfrac{x}{2x-1}$；（2）是最简分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$x^2+y^2$不能因式分解；（3）不是最简分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{(x-y)^2}{y-x}=\dfrac{(y-x)^2}{y-x}=y-x$。13.（1）最简公分母$6a^2b^2$$\dfrac{1}{2ab^2}=\dfrac{3a}{6a^2b^2}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{2}{3a^2b}=\dfrac{4b}{6a^2b^2}$（2）最简公分母$(x+2)(x-2)$$\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{3(x+2)}{(x+2)(x-2)}$（3）最简公分母$(x+1)(x-1)$$\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{x}{(x+1)(x-1)}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\dfrac{2}{1-x}=-\dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$14.解：原式$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x+2}{x-2}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$\(x=3\)$代入\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)原式$=\dfrac{3+2}{3-2}=5$。15.解：$x^2-2x=x(x-2)$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$x^2-4=(x+2)(x-2)$最简公分母：$x(x+2)(x-2)$$\dfrac{1}{x^2-2x}=\dfrac{x+2}{x(x+2)(x-2)}$$\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{x}{x(x+2)(x-2)}$16.不同意。虽然化简后形式一样\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)但变形依据是约分\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)原式分母$x^2\neq0$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)即$x\neq0$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)化简后$\dfrac{2}{x}$同样要求$x\neq0$；**很多题目中原式和化简后的式子限制条件相同\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)但要记住：约分变形\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)取值范围以原式为准**。17.最简公分母$(x-y)(x+y)$$A=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$B=\dfrac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$代入$\(x=2,y=1\)$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$A=\dfrac{2}{1}=2$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)$B=\dfrac{1}{3}$。18.原式$=\dfrac{(a-b)(a+2b)}{-(a-b)(a+2b)}=-1$限制条件：$a-b\neq0\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)a+2b\neq0$\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)即$\boldsymbol{a\neqb\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)a\neq-2b}$。##易错总结1.约分只能约分子分母的**公因式**\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)分子分母是加减形式不能拆分约分；2.找最简公分母\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)分母能因式分解一定要先分解\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)注意符号；形如$1-x$与$x-1$是互为相反数\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)公分母统一写成$(x-1)$；3.约分、通分都隐含分母不为0\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)写取值范围要看**原来的分母**\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)不是化简后的式子；4.最终结果必须是最简分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)不要再保留可以约分的形式；5.区分：约分——一个分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)化简；通分——多个分式\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)统一分母\(x=2\(a-b\neq0\(\boldsymbol{a\neqb，a\neq-2b}\)a+2b\neq0\)y=1\)为分式加减做准备。要不要继续给你出下一节**分式的乘除**专项练习？人教版数学（新教材）八年级上册18.1.2.2分式的约分和通分授课教师：.

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2026/10/31

第十八章分式

我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。会对分式进行约分.会对异分母的分式通分.体会用类比转化的思想研究数学问题．1.把下列分数化为最简分数或整数：=()，=()，=()；22.因式分解：(1)x2+xy=________；(2)4m2–n2=_______________.3.填空：x(x+y)(2m+n)(2m–n)12a2bc22x新知导入分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫分数的约分.给下列的分数约分.最大公因数最大公因数探究新知÷3x÷3x（2）（1）

公因式公因式根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.探究新知÷3x÷3x（2）（1）

最简分式最简分式经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样，分子与分母没有公因式的式子，叫最简分式．注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.例题练习约分：（1）

；（2）

；

（3）.

【分析】为约分，要先找出分子和分母的公因式.找公因式方法:（1）找系数的最大公因数；（2）找分子、分母相同字母的最低次幂；（3）两者的乘积即为公因式.例题练习解：（1）

（2）（3）分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分（2）

（3）

约分：（1）

；（2）

；

（3）.

探究新知【思考】如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？如果分式的分子或分母是多项式，约分时先分解因式容易看出它们的公因式，使约分彻底，便于把分式化为最简分式或整式.归纳总结约分的一般方法：（1）若分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数和分子、分母相同字母的最低次幂的乘积）（2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．

CA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

B

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D

D

找最简公分母的方法:（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值..

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.返回探究新知分数的通分：把分