北师大版数学 第4章 一次函数（知识清单） 同步练习 含答案

第四章一次函数知识点01函数的概念在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。知识点02一次函数的表达式形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。知识点03一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(-bk,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)知识点04一次函数的实际应用利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。易错点1利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错1.

要明确一次函数y=kx+b中k≠0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m-1)x+2是一次函数，需保证m-1≠0即m≠1。2.

对于正比例函数y=kx，除k≠0外，还需注意b=0的隐含条件。如y=(n+2)x+n是正比例函数，需同时满足n+2≠0且n=0，即n=0。例题：已知函数是一次函数，则．【答案】5【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，是解题关键．【详解】解：根据题意得：且解得：．故答案为：．易错点2对正比例函数的定义理解不透彻致错1.

需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足**y=kx（k≠0）**，即系数k不为0且不含常数项。若忽略k≠0，如y=mx，当m=0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y=3x+1，因含常数项1，也不符合定义。2.

遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k\neq0和常数项为0两个条件。例如y=(a+1)x+a是正比例函数，需满足a+1≠0且a=0，即a=0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。例题：已知：y与成正比例，且时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)点在这个函数的图像上，求m的值．【答案】(1)(2)【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键．（1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式；（2）将代入得，，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，解得，，∴，∴y与x之间的函数关系式为；（2）解：将代入得，，解得，．易错点3实际问题中忽略自变量的取值范围致错1.

实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。2.

解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。例题：综合与实践《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）【结论应用】（2）应用上述发现的规律估算：①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟．【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键．（1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；（2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数；②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解．【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图，②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得：，解得：，∴一次函数表达式为：，故答案为：一次函数，；（2）当时，，∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米；当时，则，解得：，∴供水时间为15小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，，∴当箭尺读数为厘米时是点钟．易错点4一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错1.

一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y=kx+b与两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。2.

解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。例题：如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点．(1)求的面积．(2)若轴上有一点，且，求直线的表达式．【答案】(1)(2)或．【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合：（1）先求出，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可；（2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到，则或，再利用待定系数法求解即可．【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）可得，∴，∴，∴，∴或，设直线的解析式为，当时，则，解得，∴直线的解析式为，同理可得当时，直线的解析式为，综上所述，直线的解析式为或．一、单选题1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵关于的函数是一次函数，∴∴即故选：C2．（2024七年级下·全国·专题练习）某景区有一根长cm的特大蜡烛，若每小时燃烧cm，那么蜡烛剩余长度（cm）与燃烧时间（小时）之间的函数关系式用图象表示为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数的题目，根据题意求得函数关系式是解题的关键．根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的关系式，再由蜡烛长为非负数可求出自变量的取值范围，据此就可以得出函数图象．【详解】解：由题意得，．，，，，是函数值随着的增大而减小的函数且图象是一条线段．故选B．3．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】此题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．首先联立求出，然后求出，，利用的面积是的面积的求出或，然后分别求解即可．【详解】由得，．对于，令，解得，令，解得，，．，．由题意，得，即，，或．当时，在中令，得，，当时，在中令，得，，综上所述，M的坐标为：或．故选：C．4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（

）

A．3或 B．4或 C．3或 D．4或【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，，在中，令，则，令，则，，，由勾股定理得，①当时，如图1，

，，；②当时，如图2，

，，，综上所述：的长为或4．故选：D．二、填空题5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解．【详解】解：∵是关于的一次函数，∴，，解得：，故答案为：．6．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式．【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得，，油可行驶，∴自变量的取值范围为，故答案为：，．7．（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为．【答案】2或5【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可．【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，，，设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E，如图，当直线在的下方时，平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，，平移后的函数关系式为，令，得，解得：，，令，得，，，，（负值舍去），如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N，平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，，平移后的函数关系式为，令，得，解得：，，，令，得，，，，或9（舍去），故答案为：2或5．8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为．【答案】或【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为，∴，∴，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，①当时，如图：∴，∴，∴；当时，如图：∴，，∴，∴，综上：点D的坐标为或，故答案为：或．三、解答题9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是关于的一次函数，求的值．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，是解题关键．根据一次函数的定义条件即可求解．【详解】解：根据题意得：且，∴．10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数的图象上，求的值；(3)若的取值范围为，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．（1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可；（2）将点代入求解即可；（3）根据正比例函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意，设，将代入，得，解得，所以，即．（2）解：将点代入，得，解得．（3）在中，因为，所以随的增大而增大，所以当取最小值时，值最小．当时，，解得，所以的最小值为．11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；

(1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标；(2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积；(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，(2)(3)或【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．（1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案；（2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可；（3）根据（2）列方程解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∵三角形的面积是6∴解得∴，∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，（2）作于点，如图，当时，如图，当时，如图，当时，综上可知，（3）当时，或，解得或，∴点P的坐标为或12．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为．(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过）【答案】(1)(2)见解析(3)1或【分析】（1）根据，为中点，得到，根据题意，得，当时，；当时，；解答即可．（2）根据两点确定一条直线，画图即可，根据图象，写出一条性质即可；（3）根据两种解析式，分类计算即可．【详解】（1）解：∵，为中点，∴，根据题意，得，当时，；当时，；综上所述，．（2）解：根据题意，得，画图如下：当时，S随t的增大而减小；当时，S随t的增大而增大．（3）解：当时，根据题意，得，解得；符合题意；当时，根据题意，得，解得；符合题意；故t的值1或．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，画函数图形，获取函数的性质，分类计算，函数的解析式，熟练掌握性质，解析式是解题的关键．13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．(1)求直线的解析式；(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)当点C运动到或的位置时(3)存在，点的坐标为或或【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为；（2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得；（3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可．【详解】（1）解：在中，令得，，，，，，把代入得：，解得，直线的解析式为；（2）解：，，的面积，当时，如图：

此时，，即，，在中令，得，∴，∴，当时，如图：

此时，，即，，在中令，得，∴，∴，综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分；（3）解：存在点，使与全等，在中，，，，①若，过作交轴于，过作于，如图：

，，，，设，则，，，而，，解得或，当时，，此时，符合题意，当时，，此时，不符合题意，舍去，∴，同理可知，时，，，，，同理可得，②若时，如图：

，，，在中，令得，，此时，，符合题意，，综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．14．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，．(1)求直线与的函数解析式．(2)求的面积．(3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题考查