北师大版数学 第5章 二元一次方程组（知识清单） 同步练习 含答案

第五章二元一次方程组【清单01】二元一次方程（组）定义1.二元一次方程组定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程组定义方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．如：把x+y=2和x-y=0合在一起写成，3.二元一次方程（组）的解（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【清单02】解二元一次方程组（1）消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.【清单03】二元一次方程（组）的应用一．解题步骤步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；4．解方程组；5．检验：检验方程的根是否符合题意；6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．二、基本公式单价×数量=总价利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）×折扣利润率=×100易错点1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值易错总结1.

对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未知数。2.

忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易只关注一个方程而忽略另一个。解题技巧总结1.

紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知数系数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式。2.

结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同时检验解是否使整个方程组符合定义例题1：（24-25七年级下·山东临沂·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为．【答案】4【分析】本题考查根据二元一次方程的定义，求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到二元一次方程组，两个方程相减后，即可得出结果．【详解】解：由题意，得：，，得：；故答案为：4．易错点2已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值易错总结1.

代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）计算失误导致结果错误。2.

忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入），若直接代入未变形，会增加计算量且易出错。解题技巧总结1.

精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后及时检查。2.

优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组的整体关系（如x+y、x-y的值）进行整体代入，简化计算。例题2：（24-25七年级下·吉林四平·期末）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论：(1)当时，方程组的解为__________；(2)当时，请求出的值；(3)请说明不论取什么有理数，的值始终不变．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）将代入，通过加减消元法进行计算即可；（2）先求出关于的表达式，再进行计算即可；（3）通过化简即可得到答案．【详解】（1）解：将代入，得：，①②得：，解得，将代入①，得，故；（2）解：，①②得：，解得，将代入①，得，故，，，解得；（3）解：由（2）得，，故的值始终不变．易错点3二元一次方程组之同解问题方法技巧总结：1.

重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。解这个新方程组，得到的

x

和

y

的值，就是两个原方程组的公共解。2.

代入求参，回代验证：将求出的公共解

(x,y)

，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。例题3：（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组与方程组的解相同，则．【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案．【详解】解：解方程组得，∵方程组与方程组的解相同，∴是方程组的解，∴，解得，∴，故答案为：．易错点4二元一次方程组中特殊解法问题方法技巧总结：1.

整体代入法：当方程组中某个代数式（如

x+y

或

x-y

）在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。2.

参数法：对于比例形式的方程组（如

x/2=y/3

），可设它们的比值等于一个新参数

k

。这样

x

和

y

都可用

k

表示，代入另一个方程就能解出

k

，进而求出

x

和

y

。3.

轮换对称方程组：当方程组中

x

和

y

地位对称时，可先将两式相加或相减。得到

x+y

或

x-y

的值，再用加减法求解。例题4：（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，．(1)直接写出a，b的值；(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键．（1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值；（2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值；（3）由题意，将方程组化为，即，根据方程组的解为，得出，求解即可．【详解】（1）解：由题意，，得，解得，（2）由题意，方程组可化为，得，，，；（3）由题意，方程组可化为，方程组可化为，即，由方程组的解为，，解得，则方程组的解为．易错点5二元一次方程组中新定义型探究问题方法技巧总结：1.

彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算，帮助理解。2.

转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法来求解了。例题5：（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________．(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可；（2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为，故答案为：（2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为，∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，∴，解得，∴，．易错点6二元一次方程组与一次函数的综合问题易错总结1.

概念混淆，数形结合失误：易混淆二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的关系，在分析图象交点、截距时，对“数”（方程解）与“形”（函数图象）的对应关系理解不清，导致求交点坐标、判断函数位置时出错。2.

计算失误，忽略取值范围：在联立方程求交点或分析函数增减性时，常因计算错误导致结果偏差；同时易忽略实际问题中自变量的取值范围，使函数图象的应用不符合实际情境。解题技巧总结1.

强化数形结合，明确对应关系：牢记二元一次方程的解是对应一次函数图象上的点，方程组的解是两个函数图象的交点坐标，通过画图辅助分析，建立“数”与“形”的紧密联系。2.

严谨计算，关注实际限制：联立方程时仔细计算，确保每一步准确；对于实际问题，结合题意确定自变量的取值范围，保证函数图象和方程解的实际意义。例题6：（24-25七年级下·广东·期末）【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．【问题探究】（1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________；（2）已知关于，的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是、，方程②图象与，轴的交点分别是、，计算的度数．【拓展应用】（3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解___________【答案】（1）画图见解析，；（2）画图见解析，；（3）【分析】此题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是掌握以上知识点．（1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可；（2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可；（3）首先得到直线经过点，然后得到直线即为直线，得到是方程的一个解，进而求解即可．【详解】解：（1）如图所示，即为所求；由图象可知，直线与直线交于点，∴同时是方程和方程的解，∴是方程组的解；（2）∵方程组无解，∴直线与直线没有交点，∴直线与直线平行，在方程中，当时，，∴直线经过点，如图所示，直线和直线即为所求；∵，∴，∵，∴；（3）如图所示，在方程中，当时，则，即此时，∴是方程的解，即直线经过点；∴直线为直线或直线中的一条，把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，∴不是方程的解，即直线不经过点，∴直线即为直线∴直线为直线，在方程中，当时，则，解得，∴是方程的一个解，∵直线与直线的交点横坐标为3，∴直线与直线的交点坐标为，∴二元一次方程组的解为，故答案为：．一、单选题1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可．【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，∴，解得：．故选D．2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象经过点，则这个一次函数的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要确定一次函数的表达式，可利用待定系数法，将已知点的坐标代入解析式，求解和的值．【详解】解：已知一次函数经过点和，将两点代入解析式，，解得，，，故选：B．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，熟练掌握将点坐标代入解析式，解方程组求系数是解题的关键．3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）若关于、的方程组和有相同的解，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，算术平方根，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义是解题的关键．由题意可组成新的方程组为：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后把，的值代入方程和方程，求出，的值，最后再把，的值代入进行计算即可．【详解】解：由题意，可得方程组，，得，解得：，把代入，得，解得：，把，代入方程和方程，得，，解得：，，．故选：A．4．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可．【详解】解：由②得，③把③代入①，得，即，当时，；当时，；当时，；则所有满足条件的整数a之和为．故选：A二、填空题5．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如果是二元一次方程，那么．【答案】0【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据二元一次方程的定义即可求出a与b的值即可．【详解】解：由题意可知：，解得，∴．故答案为：0．6．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．【详解】解：∵点为函数与函数的图象的交点，∴方程组的解为，故答案为：．7．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知方程组和有相同的解，则的平方根是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可．【详解】解：由题意，得，解得，把代入方程组，可得，解得，把代入，得，的平方根为，故答案为：．8．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数m的值是．【答案】1或3【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，先解方程组，再根据非负整数解及正整数m求解．【详解】解：解方程组得：，∵方程组有非负整数解，∴的值为：1或2或4，∴m的值为0或1或3，∴正整数m的值为：1或3．故答案为：1或3．三、解答题9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值．【详解】解：由解得，将，代入中，得，即；将，代入中，得，即；所以，．10．（24-25七年级下·福建·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________．(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可；（2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为，故答案为：（2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为，∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，∴，解得，∴，．11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）有A型车和B型车两种客车在甲、乙两城市之间运营（每种车型的运营速度不变），已知每隔1小时有一辆A型车从甲城开往乙城，如图所示，是第一辆A型车离开甲城的路程s（千米）与运行时间t（时）的函数图象，是一辆从乙城开往甲城的B型车距甲城的路程s（千米）与运行时间t（时）的函数图象，B型车的速度为80千米/时，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)A型车的速度为______千米/时（直接填空）；(2)请你在原图中直接画出第二辆A型车离开甲城的路程s（千米）与运行时间t（时）的函数图象；(3)的函数表达式为______，这辆B型车在行驶途中与迎面而来的相邻两辆A型车相遇的间隔时间为______小时（直接填空）【答案】(1)120(2)见解析(3)；0.6【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，从函数图象获取必要的信息是解题的关键．（1）观察函数图象，利用速度路程时间即可求解；（2）过点作交延长线于点，则线段即为所求的函数图象；（3）利用待定系数法求出的函数表达式，再分别联立直线与，直线与，求出B型车分别与第一辆、第二辆A型车相遇的时间，再将结果作差即可得出答案．【详解】（1）解：（千米/时），∴A型车的速度为120千米/时；故答案为：120；（2）解：如图，线段即为所求的函数图象：（3）解：设的函数表达式为，代入和得，解得，∴的函数表达式为；由题意得，线段的函数表达式为，联立，解得，∴B型车与第一辆A型车的相遇时间为小时；设线段的函数表达式为，代入得，，解得，∴线段的函数表达式为，联立，解得，∴B型车与第二辆A型车的相遇时间为小时；（小时），∴这辆B型车在行驶途中与迎面而来的相邻两辆A型车相遇的间隔时间为0.6小时；故答案为：；0.6．12．（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）关于x，y的方程组（n是常数）．(1)当时，直接写出第一个方程的所有非负整数解；(2)当时，该方程组的解也满足，求m；(3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m．【答案】(1)，(2)(3)或0【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键．（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；（2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；（3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．【详解】（1）解：∵，为非负整数，∴方程的所有非负整数解为，；（2）∵根据题意可得，解得，将代入中，解得；（3）当时，原方程组可化为，由，可得，整理可得，∵方程组有整数解，且为整数，∴或，当时，解得，此时方程组的解为；当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；当时，解得，此时方程组的解为；当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．综上所述，整数的值为或0．13．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点，(1)求的值；(2)直接写出二元一次方程组的解；(3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．（1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可；（2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案；（3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标．【详解】（1）解：∵直线与直线交于点，∴，∴，把点P坐标代入中得，∴；（2）解：由（1）可得直线与直线交于点，∴二元一次方程组