2026-2027学年河北省邢台市四校高二（上）学情检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省邢台市四校高二（上）学情检测数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线2x+ay+1=0与直线x+2y−2=0互相垂直，则实数a的值是(

)A.1 B.−1 C.4 D.−42.已知数列{an}满足a1=1，a2=3，对于∀n∈N∗，an+2−A.5100 B.4999 C.5202 D.50003.设函数f(x)在R上可导，且f′(1)=2026，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)2026Δx等于A.1 B.12026 C.2026 D.4.已知函数f(x)=x3+3x2+ax+1A.(−∞,3) B.(−∞,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)5.定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，f(0)=1，则不等式f(x)<ex的解集为(

)A.(−∞,6) B.(6,+∞) C.(0,+∞) D.(−∞,0)6.已知函数f(x)=−x2−2ex,x<0ex,x≥0，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程A.1 B.2 C.3 D.47.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l：bx+ay=0的垂线交l于点A，并与CA.34 B.104 C.8.已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，A.S2025>S2026 B.a2024⋅a2026−1<0

C.T2026是数列二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数x，y满足方程x2+y2A.x+2y的最大值为4+5 B.(x+2)2+(y+2)2的最小值为4

C.|3x+4y+5|10.已知双曲线C：x24−y212=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A.|AB|的取值范围为[12,+∞)

B.若满足|AB|=m的直线l恰有3条，则m=12

C.|AF|⋅|BF|=3|AB|恒成立

D.111.数列{an}前n项的和为SnA.若2Sn+1=3Sn+an+1，且a1=1则数列{an}的通项公式为an=2n−1

B.设Sn是等差数列{an}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列2，6，10，…，190，…，和等差数列2，8，14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式a13.若x∈(0,+∞)，ex−1+xlnx≥x2+ax恒成立，则a的取值范围是14.如图，在圆锥PO中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.已知平面CDE与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为F.若PA=AB=2，则|EF|=

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的三个顶点分别是A(4,0)、B(0,2)、C(3,1)．

(1)求边BC上的中线所在直线l的方程；

(2)求过点A、B，且圆心在直线2x−3y−9=0上的圆G的标准方程；

(3)求△ABC的外接圆方程．16.(本小题15分)

党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划(2021−2030年)》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路，工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第1年该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，30%是绿洲.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，而原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第n年的绿洲面积为an万平方千米，其中1≤n≤10，n∈N．

(1)证明：{an−45}17.(本小题15分)

数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an−2，等差数列{bn}中，b2+b3=a3，b4+18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22，点A(2,2)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的右焦点为F，过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线FM和FN的斜率分别为19.(本小题17分)

设函数f(x)=ex+sinx，g(x)=ax，F(x)=f(x)−g(x)．

(1)当a=2时，求函数F(x)在点(0,F(0))处的切线方程；

(2)当a=1时，设P(x1,f(x1))，Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2≥0)1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】12n−10

13.【答案】(−∞,0]

14.【答案】1415.【答案】解：△ABC的三个顶点分别是A(4,0)、B(0,2)、C(3,1)．

(1)边BC的中点M(32,32).中线l过A(4,0)与M，斜率k=32−032−4=−35，

故l：y=−35(x−4)，即3x+5y−12=0．

(2)AB的中点为(2,1)，AB的斜率为2−00−4=−12，故AB的垂直平分线方程为2x−y−3=0．

圆心G在直线2x−3y−9=0上，联立2x−y−3=0,2x−3y−9=0,

解得G(0,−3).半径r=|GA|=(4−0)2+(0+3)2=5，故圆G的标准方程为x2+(y+3)216.【答案】证明过程见解析；

约为1.27亿元．

17.【答案】解：(1)由数列an满足Sn=2an−2，

当n=1时，a1=S1=2a1−2，即有a1=2，

当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，

两式相减得an=2an−2an−1，

an=2an−1(n≥2)，

则an是首项和公比为2的等比数列，

可得an=2n；

等差数列{bn}中，18.【答案】(1)解：由离心率e=ca=22，得c2=12a2，

所以b2=a2−c2=12a2，即a2=2b2，

将点A(2,2)代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得4a2+2b2=1，

将a2=2b2代入上式，得42b2+2b2=2b2+2b2=4b2=1⟹b2=4，

从而a2=2b2=8，

所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1．

(2)(i)证明：由(1)知c=2，所以右焦点F(2,0)，

设过点G(4,0)的直线方程为x=my+4(m≠0)，交椭圆于M(x1,y1)，N(x2,y2)，

19.【答案】解：(1)因为f(x)=ex+sinx，g(x)=ax，F(x)=f(x)−g(x)，

所以当a=2时，F(x)=f(x)−g(x)=ex+sinx−2x，

所以F′(x)=ex+cosx−2，

所以F(0)=1，F′(0)=0，

所以切线方程为y=1；

(2)当a=1时，f(x)=ex+sinx，g(x)=x，

由PQ/​/x轴，可知P，Q两点的纵坐标相等，即yP=yQ，

所以f(x1)=g(x2)，即ex1+sinx1=x2，

因为x1≥0，P，Q两点间的距离d=|x2−x1|，

由于x2=ex1+sinx1，x1≥0，

令φ(x)=ex+sinx−x

(x≥0)，则d=|φ(x1)|，求导得φ′(x)=ex+cosx−1，

令ϕ(x)=φ′(x)=ex+cosx−1，则ϕ′(x)=ex−sinx，

因为x≥0时ex≥1≥sinx，所以ϕ′(x)≥0(仅在x=0时等号成立)，即ϕ(x)在[0,+∞)上单调递增，

因此φ′(x)=ϕ(x)≥ϕ(0)=e0+cos0−1=1>0，即φ(x)在[0,+∞)上单调递增，