理论力学课件-第三章-平面任意力系

第三章平面任意力系§3–1平面任意力系向内平面内一点简化§3–2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

§3–4平面简单桁架的内力计算§3–3物体系的平衡•

静定和超静定问题第三章平面任意力系

作用在物体上的

力的作用线都分布在同一平面内（或近似分布在同一平面内)，并呈任意分布的力系

；当物体所受的力都对称于某一平面时，为平面任意力系问题

。

本章介绍平面任意力系的简化和平衡问题,并介绍平面简单桁架的内力计算§3–1平面任意力系向内平面内一点简化1.力的平移定理

定理:可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须同时附加一个力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。

只要满足:F=F´=－F´´BF´F´´F´MABFdBAFdM=Fd=MB

(F)2.平面任意力系向内平面内一点简化•

主失和主矩oM=F1F2oFno=Fn´MnF1´M1F2´M2O——简化中心

F1´=F1,F2´=F2,…,Fn´=FnMi=Mo(Fi)(i=1,2,…,n)

平面任意力系等效为两个简单力系:平面汇交力系和平面力偶系。

FR´Mo

=

M1+M2+…+Mn=FR´——主矢Mo——主矩

平面任意力系向作用面内任选一点O简化,可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。

平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力FR´FR´

=

F1´+F2´+…+Fn´=

平面力偶系可合成为一个力偶,这个力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代数和,又等于原来各力对点O的矩的代数和。

oMO=F1F2oFno=Fn´MnF1´M1F2´M2FR´(3—1)(3—2)

取坐标系Oxy,i,j为沿x,y轴的单位矢量,力系主矢的解析表达式为主矢FR´的大小和方向余弦为主矩的解析表达式

xyijyxijoM=F1F2oFno=Fn´MnF1´M1F2´M2FR´

一物体的一端完全固定在另一物体上,这种约束称为固定端或插入端支座

FAxFAyMAAAFA

MA

3.平面任意力系的简化结果分析

如前分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况，即：（1)FR´=0，Mo≠0；（2)FR´≠0，Mo=0；（3)FR´≠0，Mo≠0；（4)FR´=0，Mo=0。

FR´=0,Mo≠0平面任意力系简化为合力偶,合力偶矩为（2)平面任意力系简化为一个合力

平面任意力系简化为一个力,FR´就是原力系的合力,合力作用线通过简化中心O。

（1)平面任意力系简化为一个力偶FR´≠0,Mo=0oFR´Moo´odo´FR´FR´´FRdoo´FR

平面任意力系简化为一个力，合力矢等于主矢;合力的作用线在点O的那一侧，根据主矢和主矩的方向确定;合力作用线到点O的距离为d。

平面任意力系平衡。（3)平面任意力系平衡FR´≠0,Mo≠0FR´=0,Mo=0FR´=FR=－FR´´

平面任意力系的合力矩定理oFR´Moo´FR´´doo´FR´FRdoo´FR由图(b),合力FR对点O的矩为由式（3—2)得合力矩定理:平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。

(b)MO(FR

)=FRd=MO

例3-1已知F1=150N,F2=200N,F3=300N,F=F´=200N。求力系向点O的简化结果,并求力系合力的大小及其与原点O的距离。

F31210020011F113F280FF´解xyOjiF31210020011F113F280FF´yxO得力系向点O的简化结果如图(b);MOFR´Oxy(b)(c)OxyFR合力及其与原点O的距离如图(c)。d

例3-2水平梁AB受按三角形分布的载荷作用,如图示。载荷的最大值为q,梁长l,求合力作用线的位置。

ABlq

解

在梁上距A端为x处的载荷集度为q(x)=qx/l。在此处取的一微段dx,梁在微段dx受的力近似为F(x)=qxdx/l。梁由x=0到x=l的分布载荷合力为设合力作用线到A端的距离为xC,根据合力矩定理xdxq(x)dxFxc小结1.力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶,附加力偶的矩等于原来的力

对新作用点的矩。

2.平面任意力系向平面内任选一点O简化定理:可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。

3.平面任意力系的简化结果（1)FR´=0，Mo≠0（4)FR´=0，Mo=0（2)FR´≠0，Mo=0（3)FR´≠0，Mo≠0合力偶,合力偶矩

合力,合力作用线通过简化中心O。

平衡合力,合力作用线到简化中心O的距离为思考题3-1某平面任意力系向A,B两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗?可能是一个力偶吗?可能平衡吗?3-2平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗?可能是一个力偶吗?可能是一个力和一个力偶吗?3-3某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相同，此力系简化的最终结果可能是什么?3-4在刚体上A，B，C三点分别作用三个力F1，F2，F3，各

力的方向如图，大小与△ABC的边长成比例。该力系是否平衡?为什么?3-5力系如图所示。且F1=F2=F3=F4。力系向点A和点B简化的结果是什么?二者是否等效?CABF3F2F1F1F2F3F460°60°60°BA§3–2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形:FR´=0Mo=0

主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系;主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。上式为平面任意力系平衡的充分条件。

由上节分析结果可知：主矢和主矩有一个不等于零时，则力系简化为合力或合力偶;若主矢和主矩都不等于零，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的必要条件。

任意力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。

平衡条件的解析式:

任意力系平衡的

解析条件是:所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任一点的矩的代数和也等于零。上式为平面任意力系的平衡方程。

二力矩式三力矩式条件是:AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直条件是:ABC三点不能共线

例3-3图示水平梁AB,A端为固定铰链支座,B端为一滚动支座。梁长为4a,梁重P,作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用,在梁的BC段上受力偶作用,力偶矩M=Pa。求A和B处的支座约束力。

AB4a2aMPq解:选梁AB为研究对象。

AB4a2aMPqFBFAxFAy解方程得

例3-4自重为P=100KN的T字形刚架ABD,置于铅垂面内,载荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN,q=20KN⁄m,l=1m。求固定端A的约束力。

MPADB3lllqF30°解:选T字形刚架ABD为研究对象。

解方程得

MPADB3lllqF30°FAxFAyMA平面平行力系的平衡条件和平衡方程

xF1F2F3FnyO

如图:物体受平面平行力系F1，F2，…，Fn的作用。

则平行力系的独立平衡方程为:

如取x轴与各力垂直,不论力系是否平衡,恒有平行力系平衡方程的二力矩式:

例3-5塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200KN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3，到机中心距离为6m。求:（1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡荷重P3为多少？

（2)当平衡荷重P3=180KN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？P3P1P2FAFBAB6m12m2m2m解:选起重机为研究对象。

（1)要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平衡条件。

满载时,为使起重机不绕点B翻倒,力系满足平衡方程

。在临界情况下,FA=0。求出的P3值是所允许的最小值。

空载时,为使起重机不绕点A翻倒,力系满足平衡方程

。在临界情况下,FB=0。求出的P3值是所允许的最大值。

起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平衡荷重P3应在两者之间，即:75KN<P3<350KN

（2)取P3=180KN，求满载时作用于轮子的反力FA和FB。由平面平行力系的平衡方程

：解方程得

验证:小结平面汇交力系平衡方程

平面平行力系平衡方程

平面力偶系平衡方程

共线力系平衡方程

平面任意力系平衡方程

思考题条件是:A，B两点的连线不能与x轴或y轴垂直。

为什么上式能满足平面任意力系平衡的必要和充分条件?1.平面任意力系平衡方程,二力矩式2.平面任意力系平衡方程,三力矩式条件是:A，B，C三两点线不共线。

为什么必须有附加条件?3.平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或一个投影方程和一个力矩?这时，其矩心和投影轴的选择有什么限制?§3–3物体系的平衡•

静定和超静定问题

由若干个物体组成的系统称为物体系。

物体系中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时,所有未知量都能由平衡方程求出,这样的问题称为静定问题。

物体系中的未知量数目多于独立平衡方程的数目时,未知量不能全部由平衡方程求出,这样的问题称为超静定问题。

下面看几个例子。ABFAFBPABCPFAFBFCABCPFAFBABPFAFBFCAAPFAxFAyMAF1F2BPFAxFAyMAF1F2FBPF1F2FBABABFByFBxFAxFAyMAFAxFAyMAPF2F1物体系

的平衡问题求解:

（1)可以选每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后求解；

（2)也可先取整体为研究对象，列出平衡方程，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体为研究对象，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。

例3-6图示组合梁（不计自重)由AC和CD两部分铰接而成。已知：F=10KN，P=20KN，均布载荷q=5KN/m，梁的BD段受线性分布载荷，q0=6KN/m，求A和B处的约束反力。

q0FBABCDFPqFAxFAyMA解：（1)选梁整体为研究对象。

1m1m1m1m0.5m0.5m（2)选CD为研究对象。

q0FBBCDF1m1m0.5mFCyFCx解得

例3-7齿轮传动机构如图示。齿轮Ⅰ的半径为r，自重为P1。齿轮Ⅱ的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮Ⅲ，轮Ⅱ与轮Ⅲ共重P2=2P1。齿轮压力角θ=20°

，物体C重为P=20P1。求：(1)保持物体C匀速上升时，作用在轮Ⅰ上力偶的矩M；（2)光滑轴承A,B的约束力。

AⅠrBⅡⅢrRCP1P2PM解

（1)选取轮Ⅱ，Ⅲ及重物C为研究对象。在B

ⅡⅢrRCPP2FByFBxFFtFrθ解得

由平衡方程及压力角定义

AⅠr（2)选取轮Ⅰ为研究对象。

Fr´Ft´P1FAxFAyM解得

例3-8图示钢结构拱架由两个相同的钢架AC和BC铰接，吊车梁支承在钢架的D，E上。设两钢架各重为P=60KN;吊车梁重为P1=20KN，其作用线通过点C;载荷为P2=10KN;风力F=10KN。尺寸如图。D，E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束力。

PPP2P1F5m2m8m2m2mBACDE10m解

（1)选整个拱架为研究对象。

PPP2P1F10m5m2m8m2m2mBACDExyFAxFAyFByFBXPFCxFCyFByFBXFEBCE4m（2)选右边拱架为研究对象。

（3)选吊车梁为研究对象。

DEP2P1FE´FD´解得

例3-9图示构架,由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计,载荷分步及尺寸如图。销钉B穿透AB及BC两构件,在销钉B上作用一铅垂力F。已知q,a,M,且M=qa2。求固定端A的约束力及销钉B对杆BC,杆AB的作用力。

ABCDqFq3aaaaM解

（1)选CD杆为研究对象。

CDqFCxFCyFDyFDx解得（2)选BC杆为研究对象。

MBCFCx

´

FCy

´

FBCxFBCy解得（3)选销钉B为研究对象。

BFFBCx´

FBCy

´

FBAx´

FBAy´

解得即销钉B对杆AB的作用力为:（4)选直角弯杆AB为研究对象。

ABqFAyFAyFBAxFBAyMA

解得

例3-10图示一结构由AB.BC与CE三个构件构成。E处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为1.2kN的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的重量。求支座A和B处的约束反力，以及杆BC的内力FBC。

ABCDE1.5m2m2m1.5m解：（1)选整体为研究对象。

FAyFFBFAxP（2)取ADB杆为研究对象。

ABDFAyFBFAxFDxFDyFBC解得式中r为轮的半径,细绳拉力F=P。

解得思考题

怎样判断静定和超静定问题?图中哪些是静定问题，哪些是超静定问题?PPP(a)(b)(c)FABABFBAF(d)(e)(f)§3–4平面简单桁架的内力计算

桁架在桥梁、起重机、电视塔与屋架等工程对象中得到广泛的应用。

在载荷作用下计算桁架的内力是研究桁架的主要目的之一。

桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成的结构,几何形状不变。

如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内,称此类桁架为平面桁架,否则称为空间桁架。本节的研究对象为平面桁架。

1.平面桁架的静力学模型(1)

桁架的杆件都是直的;构成桁架的杆件均为二力杆（3)桁架所受的

力(载荷)都作用在节点上，且在桁架的平面内；(2)

杆件用光滑的圆柱铰链连接。桁架中杆件的铰链接头称为节点;（4)杆件的自重不计，或平均分配到杆件两端的节点上。

2.简单平面桁架的构成

平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形,以后每增加一个节点增加两个杆件,从而得到几何形状不变的结构——简单平面桁架。

将构件数与节点数分别记为n与m,根据上述的规则,它们有如下的关系

对于简单平面桁架,每个节点受到的是一个平面汇交力系,存在两个平衡方程。因此共有独立的平衡方程2m个。由上式可知,它可以求解n+3个未知数。

如果支承桁架的约束力的个数为3,平面桁架的n个杆件内力可解,故简单平面桁架问题是静定的。显然,如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过3,则使该静力学问题由静定变为静不定。

3.桁架的内力计算

桁架都是二力杆,其内力一定沿杆的轴线方向,因此,内力为拉力或压力。

统一设拉为正、压为负。

#内力计算的节点法:利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。#内力计算的截面法:将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。

FF´(c)(a)FF(b)

例3-11平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。求各杆的内力。ABCDE123456aa30°FF解

（1)选节点E为研究对象，受力图如图(b)。

FECF1F2（2)选节点C为研究对象，受力图如图(c)。

FF4F3F1(b)(c)（3)选节点D为研究对象，受力图如图(d)。

ABCDE123456aa30°FFDF2F3F5F6xy(d)例3-12平面悬臂桁架所受的载荷如图(a)所示。求杆1,2,3的内力。FFFF2m2m2m2m3mAB123解

（1)用I-I截面将桁架截开，取桁架左半部为研究对象。其受力图如图(b)所示。

II2m2m2m2m123FFFFF1F2FNCD(b)(a)（2)选节点E为研究对象，受力图如图(c)所示

。

EF1F12F23F3(c)

例3-13如图所示桁架，F=5kN，b=1.5m。求杆1.2和6的内力。

解

（1)以桁架整体为对象，计算支座的约束反力：

b

b

b

b

b

bAB123456789111210CDbFFFFAyFAxFBy