15.3.2.2含30- 角的直角三角形的性质-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

#人教版数学八年级上册15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质专项练习（约1500字）##一、知识要点**定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。**几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，$\boldsymbol{BC=\dfrac12AB}$。⚠️注意：是**30°角对着的那条直角边**，不是任意一条直角边。逆用（常用推论）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。✅补充要点1.推导原理：可以用等边三角形证明。把两个全等的含30°的直角三角形拼在一起，得到一个等边三角形，由此推出该性质；2.边角对应关系：Rt△，90°、60°、30°三边比值：短直角边:长直角边:斜边=$1:\sqrt{3}:2$；3.只适用于**直角三角形**，普通三角形不能直接使用这个结论；4.常和等边三角形、等腰三角形、垂直平分线综合出题；5.遇到求线段长度、倍分关系、证明一条线段是另一条一半，优先考虑这个定理。⚠️易错提醒1.找准对边：30°对的是**短直角边**，不要记成长直角边等于斜边一半；2.前提必须是直角三角形，没有90°条件，定理不能用；3.逆定理也只能在直角三角形里面使用；4.书写证明题时，一定要先写清楚“Rt△，有一个锐角30°”，再写边的数量关系。口诀：**直角三十度，对边是斜边一半；看到倍分线，先找直角三十角。**##二、专项练习题###（一）选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=8，则AC的长是（）A.2B.4C.6D.82.在直角三角形中，一条直角边长为5，它所对的角是30°，则斜边长为（）A.5B.10C.15D.$5\sqrt{3}$3.下列说法正确的是（）A.有一个角是30°的三角形，30°对的边是另一边一半B.在Rt△中，60°角对的直角边等于斜边一半C.Rt△中，若短直角边等于斜边一半，则这条边对角为30°D.任意三角形，30°角对边都是斜边一半###（二）填空题4.Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=______。5.在Rt△MNP中，∠N=90°，MN=4，MP=8，则∠P=______°。6.等腰三角形顶角120°，腰长6，则底边上的高为______。7.含30°的直角三角形三边之比（短直角边:长直角边:斜边）=________。###（三）基础解答题8.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°。求证：$AC=\dfrac12AB$。9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10，求BC和AC的长。###（四）辨析说理题10.判断正误，并说明理由（1）在△ABC中，∠A=30°，所以$BC=\dfrac12AB$；（2）直角三角形中，斜边是30°角对边的2倍。11.小宇说：“一个直角三角形，斜边是10，一条直角边是6，那这条6的直角边对的角一定是30°。”他说得对吗？说明理由。###（五）综合提升题12.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，若AB=8，求CE的长。13.已知：∠AOB=30°，点P在OA上，PC⊥OB于C，PD∥OB交OA边上一点D，PD=6，求PC的长度。##三、参考答案与解析1.B解析：∠B=30°，对边是AC，$AC=\dfrac12AB=\dfrac12\times8=4$。2.B解析：30°对直角边=5，斜边=2×5=10。3.C解析：A缺少直角；B错，30°对的直角边才是斜边一半；D必须是直角三角形。4.6解析：BC是30°对边，AB=2BC=6。5.30解析：MN=$\dfrac12MP$，Rt△里直角边等于斜边一半，对角是30°。6.3解析：顶角120°，底角30°，底边上的高把等腰分成两个Rt△，高是腰的一半。7.$1:\sqrt{3}:2$8.证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD。∵∠ACB=90°，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD。∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴△ABD是等边三角形，AB=BD。∵BD=2BC，∴AB=2BC，即$BC=\dfrac12AB$（原题∠B=30°，对边AC，调整：延长CB至D，BD=BC，证△ABD等边，得$AC=\dfrac12AB$）。9.解：∵Rt△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，∴$BC=\dfrac12AB=5$，由勾股定理：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。10.（1）错误。没有说明△ABC是直角三角形，定理前提不成立；（2）正确。Rt△中30°所对直角边$=\dfrac12$斜边，等价于斜边=2×30°对边。11.不对。斜边10，直角边5的时候，这个角才是30°；边长6≠5，所以对角不是30°。12.解：∵△ABC等边，AB=8，∴AC=8，∠C=60°。AD⊥BC，∠ADC=90°；DE⊥AC，∠DEC=90°。在Rt△DEC中，∠CDE=30°，DC=$\dfrac12BC=4$，∴$CE=\dfrac12DC=2$。13.解：过D作DE⊥OB于E。∵PD∥OB，∠AOB=30°，∴∠DPE=30°。在Rt△DEP中，DE=$\dfrac12PD=3$。又∵PC⊥OB，DE⊥OB，PD∥OB，∴PC=DE=3。##四、课堂小结本节核心定理：**直角三角形+30°⇒对边=斜边的一半**。这是线段倍分证明非常重要的工具，经常和等边三角形、等腰三角形、垂直平分线、角平分线一起综合考查。做题三步走：①先找有没有直角；②再找有没有30°角；③找准30°角对应的直角边，写出2倍关系。区分：勾股定理用来算边长，这个性质专门处理**30°带来的二倍关系**。逆定理也很重要，已知直角三角形里面一条直角边是斜边一半，可以直接得到30°角。需要我继续做下一节的专项练习吗？人教版数学（新教材）八年级上册15.3.2.2含30∘角的直角三角形的性质授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/11/1

第十五章轴对称

我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。探索含30°角的直角三角形的性质．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.新知导入【思考】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能有什么发现？ABC30°探究新知ABC30°发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.如何证明呢？探究新知ABC30°已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°

探究新知证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接ADABC30°D

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°

归纳总结含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：∵在Rt△ABC中，∠A

=30°，

ABC30°

B（第1题）

返回（第2题）

BA.

2

B.

3

C.

4

D.

5

DA.

2

B.

3

C.

9

D.

12返回探究新知如图是屋架设计图的一部分，点

D

是斜梁

AB

的中点，立柱BC，DE垂直于横梁

AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱

BC，DE

的长是多少？ABCDE分析：BCRt△ACBDERt△AED探究新知ABCDE解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m

CB（第4题）

返回

4（第5题