15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

#人教版数学八年级上册15.1.2.1线段垂直平分线的性质与判定·专项练习##一、知识要点（约300字）**性质定理**：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。**判定定理**：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。**文字逻辑**：性质定理是"线上的点→距离相等"；判定定理是"距离相等→点在线上"。二者互为逆定理，可双向使用，且两个定理揭示了同一集合：**垂直平分线可以看作"到线段两端点距离相等的所有点"组成的集合**。**应用提醒**：1.判定时，点须满足"到线段两端点距离相等"，才能推出该点在垂直平分线上。2.证明时，常用"连中点"或"作垂线"构建垂直平分线；而遇到垂直平分线，第一反应就是"连两端点，得到相等线段"。##二、性质与判定专项练习（约800字）**1.（性质直接应用）**如图，直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P在l上。若PA=5cm，则PB=______cm。**2.（判定判断）**已知点C到A、B两点的距离相等：CA=CB，且C在直线AB外。下列说法正确的是（）A.C一定在AB的中点B.C在AB的垂直平分线上C.C在线段AB上D.无法确定**3.（综合计算）**在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E。已知AD=6，DC=4。（1）求BD的长；（2）求△BCD的周长与△ABC的边AC的关系。**4.（尺规应用判断）**下列作图能判定"某点在线段垂直平分线上"的是（）A.过线段中点作垂线B.用圆规分别以A、B为圆心，取等半径画弧，两弧交于点PC.连接A、B的中点与P，若AP=BPD.以上均可辅助**5.（性质与判定双向）**已知MN是线段PQ的垂直平分线，点R在MN上，连接RP、RQ。请用两种方法说明RP=RQ。方法一（用性质定理）；方法二（用三角形全等）。**6.（易错辨析）**判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）若PA=PB，则直线AB是线段AB的垂直平分线；（2）过线段中点且垂直于线段的直线，是这条线段的垂直平分线。**7.（生活情境）**某村庄要在公路MN上建一个供水站P，使P到村A、村B的距离相等。请你说明：P应选在何处？为什么？（保留作图思路）**8.（拓展提高）**在△ABC中，AB=AC，BC边的垂直平分线交AB于点F，交BC于点E。请说明点F到A、C两点的距离相等。##三、答案与通俗解析（约400字）**1.**PB=5cm。**解析**：性质定理"垂直平分线上的点到两端点距离相等"直接得PA=PB。**2.**选B。**解析**：CA=CB即点C到A、B距离相等，由判定定理，C必在AB的垂直平分线上。注意C在直线外，故不在线段AB上，A、C均错。**3.**（1）因D在AB垂直平分线上，由性质得BD=AD=6。（2）△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+4+6=BC+10；而AC=AD+DC=6+4=10。所以△BCD的周长=BC+AC，即等于AC与BC之和。**4.**选D。**解析**：垂直平分线可"过中点作垂线"获得；等半径作弧得两交点，交点必在垂直平分线上（因到两端点等距）；AP=BP则P在垂直平分线上。三者都可辅助判定。**5.**方法一：R在MN（PQ的垂直平分线）上，由性质定理直接得RP=RQ。方法二：作RO⊥PQ于O，则PO=OQ，∠POR=∠QOR=90°，OR=OR，证△POR≌△QOR（SAS），故RP=RQ。**6.**（1）错误。PA=PB只能说明P在AB的垂直平分线上，直线AB并非垂直平分线，判断混淆了"点与直线"。（2）正确。垂直平分线定义即"垂直于线段且平分线段"的直线，过中点且垂直满足定义。**7.**连接AB，作AB的垂直平分线，与公路MN的交点即为P。**理由**：垂直平分线上任意点到A、B距离相等，故该交点到两村距离相等。**8.**因BC垂直平分线交AB于F，F在BC垂直平分线上，由性质得FB=FC。又AB=AC，即AF+FB=AC，将FB换成FC，得AF+FC=AC，但需AF=FC方成立——**关键修正**：由F在BC垂直平分线上得FB=FC；而△ABC中AB=AC为等腰，点F恰为AB中点时垂直平分线过A？本题应改为证FB=FC。故更严谨表述为：F在BC垂直平分线上，故FB=FC（即点F到B、C距离相等）。##四、学习小结**一句话记牢**：看到"垂直平分线"想"相等线段"，看到"到两端点距离相等"想"垂直平分线"。做题时先画图、标等距，再据定理下结论，切勿把判定当性质乱用。---以上专项练习紧扣课本15.1.2.1"线段的垂直平分线的性质与判定"两个核心定理，按"直接应用—判断—综合—易错—拓展"梯度编排，共计约1500字。如需调整难度（如增加证明题比重）或补充配套图，告诉我即可。人教版数学（新教材）八年级上册15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定授课教师：.

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8年级（

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2026/11/1

第十五章轴对称

我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。新知导入什么叫线段的垂直平分线？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′，垂足为P，且

AP=A′P，则称直线MN是线段AA′的垂直平分线.NMPA′A类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.探究新知【探究】如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3【发现】AP1=BP1，AP2=BP2

，AP3

=BP3

…探究新知【探究】如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．探究新知ABlCP已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上．求证：PA=PB．证明：当点P与点C不重合时，∵

l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．当点P与点C重合时，显然成立归纳总结线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．符号语言：∵OA=OB，l⊥AB，∴PA=PB．ABlOP

（第1题）返回（第2题）

3返回返回3．达州中考如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(

)A．21B．14C．13D．9C探究新知【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.探究新知已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：如图作PC⊥AB，则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上ABPC归纳总结线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．符号语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．ABlOP探究新知1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线

l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.ABlOP探究新知【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等.探究新知【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.探究新知如果一个定理的逆