第37讲 空间直角坐标系与空间向量-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第37讲空间直角坐标系与空间向量-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是()A．(0,0,3) B．(0,0,2)C．(0,0，－2) D．(0,0，－3)2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D．a＋eq\f(1,2)b＋c3．若直线l的方向向量为e＝(1,0,3)，平面α的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(2,3)))，则直线l与平面α的位置关系是____________．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝___________．5．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则eq\o(AA′,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝___________，AC′的长为____________．聚焦知识1．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得___________．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：___________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得___________，{a，b，c}叫做空间中的___________．2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b____________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)___________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)___________模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝04．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．题型突破思维拓展空间向量的线性运算及共线、共面定理例1－1下列说法正确的是()①若eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→))，则P，A，B三点共线；②若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，则A，B，C，D四点共面；③若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面．A．①② B．②③C．①③ D．①②③例1－2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))空间向量数量积的运算及应用例2如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．变式2如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为____________．利用空间向量证明平行与垂直问题例3－1已知四面体SABC中，E，F，G，H，M，N分别是对应棱的中点，且EF＝GH＝MN．求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．例3－2如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．(1)求证：AG⊥平面ABCD．(2)线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出eq\f(MC,AC)的值；若不存在，请说明理由．线、面位置关系的证明(1)基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关系，进而得到线面垂直；(2)法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素．随堂内化如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，AA1＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为()A．－eq\f(\r(,3),6) B．eq\f(\r(,3),6)C．－eq\f(\r(,2),4) D．eq\f(\r(,2),4)2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为()A．－8 B．－4C．－2 D．82．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是()A．AD⊥B1C B．A1D⊥BDC．AC1⊥A1C D．AC1⊥CD13．如图，在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cC．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为()A．eq\f(\r(,33),2) B．eq\f(\r(,29),2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(\r(,23),2)二、多项选择题5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则()A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1DC．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC的中点，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，λ∈[0,1]，则()A．当λ＝eq\f(1,2)时，EP∥ABB．当λ＝eq\f(1,2)时，EP⊥A1C1C．存在λ，使得A1E∥C1PD．存在λ，使得EP⊥平面A1ACC17．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是()A．若λ＝μ，则DP∥平面AB1D1B．若λ＝2μ，则点P的轨迹长度为eq\f(\r(5),2)aC．若μ＝1，则存在λ，使DP⊥A1PD．若μ＝eq\f(1,2)，则存在λ，使A1C⊥平面DPB三、填空题8．已知正四面体PABC的底面边长为2，侧棱PB的中点为E，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝___________．9．如图，已知二面角α－AB－β的大小为60°，其棱上有A，B两点，射线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，则CD的长为___________．已知在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝4，PC＝1，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝eq\f(π,3)，M，N，T分别为棱AB，AC，PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为____________．四、解答题11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f(1,2)，侧面BB1C1C是边长为1的正方形，AB＝1，点D，E分别在线段CB1，A1C1上．(1)若D，E分别是CB1，A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；(2)若DE⊥CB1，DE⊥A1C1，求DE的长．12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2．(1)求线段PQ的长度；(2)求证：PQ∥平面CDD1C1；(3)求证：点H在平面AD1C上．B组能力提升练13．(多选)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))(x，y，z∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1)))，则()A．若xyz≠0，则存在点P，使得AP∥BD1B．若x＝z，则AP⊥CD1C．若x2＋y2＋z2＝1，则PC1的最小值为eq\r(3)－1D．若x＋y＋z＝1，则三棱锥P－B1CD1的体积为定值eq\f(1,3)参考答案激活思维1．已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是(D)A．(0,0,3) B．(0,0,2)C．(0,0，－2) D．(0,0，－3)【解析】设点M(0,0，m)．因为点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3,1)的距离相等，所以eq\r(12＋02＋2－m2)＝eq\r(12＋－32＋1－m2)，解得m＝－3，所以点M的坐标为(0,0，－3)．2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D．a＋eq\f(1,2)b＋c【解析】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c．3．若直线l的方向向量为e＝(1,0,3)，平面α的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(2,3)))，则直线l与平面α的位置关系是__l∥α或l⊂α__．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝__eq\f(65,7)__．【解析】存在实数x，y，使得c＝xa＋yb(x，y∈R)，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，))所以λ＝3x－2y＝eq\f(65,7)．5．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则eq\o(AA′,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝__10__，AC′的长为__eq\r(85)__．【解析】eq\o(AA′,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AA′,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝5×4×eq\f(1,2)＝10．因为eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，所以eq\o(AC′,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA′,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝16＋9＋25＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋4×5×\f(1,2)＋3×5×\f(1,2)))＝85，所以|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(85)，即AC′的长为eq\r(85)．聚焦知识1．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得__a＝λb__．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：__p＝xa＋yb__，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得__p＝xa＋yb＋zc__，{a，b，c}叫做空间中的__一个基底__．2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝04．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．题型突破思维拓展空间向量的线性运算及共线、共面定理例1－1下列说法正确的是(C)①若eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→))，则P，A，B三点共线；②若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，则A，B，C，D四点共面；③若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面．A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】根据共线定理推论，系数2－1＝1，所以P，A，B三点共线，命题①正确；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，则根据平行六面体法则，此时A，B，C，D四点不共面，命题②错误；eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))＋eq\f(5,6)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(5,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，即P，A，B，C四点共面，命题③正确．例1－2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))是否共面；【解答】因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)判断点M是否在平面ABC内．【解答】方法一：由(1)知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．方法二：因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))空间向量数量积的运算及应用例2如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；【解答】记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6)．(2)求证：AC1⊥BD；【解答】因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以AC1⊥BD．(3)求BD1与AC夹角的余弦值．【解答】因为eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)．又eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6)，所以BD1与AC夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6)．空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．变式2如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为__0__．【解析】因为eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，所以eq\o(BC′,\s\up6(→))·eq\o(CA′,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))·(－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))2＝－4－2－3＋9＝0．设BC′与CA′所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(BC′,\s\up6(→))，eq\o(CA′,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(BC′,\s\up6(→))·\o(CA′,\s\up6(→))|,|\o(BC′,\s\up6(→))||\o(CA′,\s\up6(→))|)＝0，所以BC′与CA′所成的角的余弦值为0．利用空间向量证明平行与垂直问题例3－1已知四面体SABC中，E，F，G，H，M，N分别是对应棱的中点，且EF＝GH＝MN．求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．【解答】设eq\o(SA,\s\up6(→))＝a，eq\o(SB,\s\up6(→))＝b，eq\o(SC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(SF,\s\up6(→))－eq\o(SE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(SH,\s\up6(→))－eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)(a＋b－c)，由EF＝GH可得|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(GH,\s\up6(→))|，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋c－a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b－c))，所以(b＋c－a)2＝(a＋b－c)2，由此可得0＝(b＋c－a)2－(a＋b－c)2＝4b·(c－a)，所以b·(c－a)＝0，即eq\o(SB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0．所以eq\o(SB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即SB⊥AC，同理可证SA⊥BC，SC⊥AB．(例3－2))例3－2如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．(1)求证：AG⊥平面ABCD．【解答】因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，可得AG⊥平面ABCD．(2)线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出eq\f(MC,AC)的值；若不存在，请说明理由．【解答】由(1)得AG⊥平面ABCD，因为AD，AB⊂平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB．又四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG，AD，AB两两垂直．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)．假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，设eq\f(AM,AC)＝λ，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4,0)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(4λ，4λ，0)．设AG＝t(t＞0)，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝(0,0，t)，所以eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－4λ，－4λ，t)，F(0，－1，t)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0，－1，t)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,0,0)．设平面ABF的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))·m＝－y＋tz＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·m＝4x＝0，))取z＝1，得m＝(0，t,1)．由于MG∥平面ABF，所以eq\o(MG,\s\up6(→))·m＝0，即－4λt＋t＝0，解得λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(AM,AC)＝eq\f(1,4)，此时eq\f(MC,AC)＝eq\f(3,4)，即当eq\f(MC,AC)＝eq\f(3,4)时，MG∥平面ABF．线、面位置关系的证明(1)基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关系，进而得到线面垂直；(2)法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素．随堂内化1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，AA1＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为(B)A．－eq\f(\r(,3),6) B．eq\f(\r(,3),6)C．－eq\f(\r(,2),4) D．eq\f(\r(,2),4)【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c．因为a，b，c不共面，所以{a，b，c}可构成空间的一组基底．结合|a|＝2，|b|＝2，|c|＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，可得a·b＝0，a·c＝b·c＝2，则eq\o(BC1,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(CA1,\s\up6(→))＝－a－b＋c，可得eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(CA1,\s\up6(→))＝(b＋c)·(－a－b＋c)＝－a·b－a·c－b2＋c2＝0－2－4＋4＝－2，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(b＋c2)＝eq\r(b2＋2b·c＋c2)＝eq\r(4＋2×2＋4)＝2eq\r(3)，|eq\o(CA1,\s\up6(→))|＝eq\r(－a－b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)＝eq\r(4＋4＋4＋0－4－4)＝2，所以cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(CA1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(CA1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(CA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,2\r(3)×2)＝－eq\f(\r(3),6)．又因为异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以BC1与CA1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6)．2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(1)求证：CM∥平面PAD；【解答】由题意知CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°．因为PC＝2，所以BC＝2eq\r(3)，PB＝4，所以C(0,0,0)，D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))．设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))令y＝2，则n＝(－eq\r(3)，2,1)是平面PAD的一个法向量．因为n·eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，所以n⊥eq\o(CM,\s\up6(→))．又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD．(2)求证：平面PAB⊥平面PAD．【解答】方法一：由(1)知eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，0，－2)，设平面PAB的法向量为m＝(x0，y0，z0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))·m＝0，,\o(PB,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4y0＝0，,2\r(3)x0－2z0＝0，))令x0＝1，则m＝(1,0，eq\r(3))是平面PAB的一个法向量．因为m·n＝1×(－eq\r(3))＋0×2＋eq\r(3)×1＝0，所以平面PAB⊥平面PAD．方法二：如图，取AP的中点E，连接BE，则E(eq\r(3)，2,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，2,1)．因为PB＝AB，所以BE⊥PA．因为eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，2,1)·(2eq\r(3)，3,0)＝0，所以eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(DA,\s\up6(→))，所以BE⊥DA．又PA∩DA＝A，DA，PA⊂平面PAD，所以BE⊥平面PAD．因为BE⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为(A)A．－8 B．－4C．－2 D．8【解析】因为A，B，D三点共线，所以∃λ∈R，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2e1－e2，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2e1＋ke2)＋(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝e1＋(k＋4)e2，则2e1＋ke2＝λ[e1＋(k＋4)e2]，则λ＝2，λ(k＋4)＝k，解得k＝－8．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是(D)A．AD⊥B1C B．A1D⊥BDC．AC1⊥A1C D．AC1⊥CD1【解析】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1，1)．对于A，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝－1×(－1)＝1≠0，故A错误；对于B，eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－1×(－1)＝1≠0，故B错误；对于C，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝－1×(－1)＋1×1＋1×(－1)＝1≠0，故C错误；对于D，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝－1×0＋1×(－1)＋1×1＝0，故D正确．3．如图，在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(C)A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cC．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c【解析】由点M在OA上，且OM＝2MA，知eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a．由N为BC的中点，知eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(A)A．eq\f(\r(,33),2) B．eq\f(\r(,29),2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(\r(,23),2)【解析】由题意得|eq\o(AA,\s\up6(→))1|＝3，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1O,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＝eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)×(32＋22＋22＋2×3＋2×3＋2×2)＝eq\f(33,4)，故|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(,33),2)．二、多项选择题5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(BD)A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1DC．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D【解析】方法一：如图(1)，对于A，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD，则eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，则eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，又eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥B1C1，又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；对于D，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确；对于C，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误．图(1)方法二：如图(2)，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底面边长为2，高为h，则D(0,0,0)，A(eq\r(3)，0,0)，A1(eq\r(3)，0，h)，C(0，－1,0)，C1(0，－1，h)，B(0，1,0)，B1(0,1，h)．对于A，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,0)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1，－h)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\r(3))×(－eq\r(3))＋0＋0＝3≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，D，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(0,0，h)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0，h)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,0)，设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))·n＝hz＝0，,\o(AD,\s\up6(→))·n＝－\r(3)x＝0，))得x＝z＝0，令y＝1，则n＝(0,1,0)，所以eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(0，－2,0)＝－2n，eq\o(CC1,\s\up6(→))·n＝0，则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D正确；对于C，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,0)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,0)，则eq\f(－\r(3),－\r(3))≠eq\f(0,1)，显然AD∥A1B1不成立，故C错误．图(2)6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC的中点，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，λ∈[0,1]，则(AD)A．当λ＝eq\f(1,2)时，EP∥ABB．当λ＝eq\f(1,2)时，EP⊥A1C1C．存在λ，使得A1E∥C1PD．存在λ，使得EP⊥平面A1ACC1【解析】取BC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系．设底面边长为2，AA1＝t，则A(eq\r(3)，0,0)，A1(eq\r(3)，0，t)，B1(0,1，t)，C(0，－1,0)，C1(0，－1，t)，B(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λ(0，－2,0)，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))＋(0，－2λ，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)－2λ，0))．对于A，当λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(EP,\s\up6(→))，所以EP∥AB，故A正确；对于B，当λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1,0)，eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＋0＝1，所以EP⊥A1C1不成立，故B错误；对于C，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－t))，eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\o(C1B,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(0,2，－t)＋(0，－2λ，0)＝(0,2－2λ，－t)，eq\o(A1E,\s\up6(→))≠μeq\o(C1P,\s\up6(→))，μ∈R，故C错误；对于D，eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)－2λ，0))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1,0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0，t)，设平面A1ACC1的一个法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))·n＝0，,\o(A1C1,\s\up6(→))·n＝0，)))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tc＝0，,\r(3)a＋b＝0，))令b＝eq\r(3)，则n＝(－1，eq\r(3)，0)，若要使得EP⊥平面A1ACC1，则eq\o(EP,\s\up6(→))∥n，所以eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)－2λ，λ＝0，λ∈[0,1]符合，故D正确．7．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是(ABD)A．若λ＝μ，则DP∥平面AB1D1B．若λ＝2μ，则点P的轨迹长度为eq\f(\r(5),2)aC．若μ＝1，则存在λ，使DP⊥A1PD．若μ＝eq\f(1,2)，则存在λ，使A1C⊥平面DPB【解析】对于A，若λ＝μ，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC1,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，则点P在线段BC1上，如图(1)．因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，且平面ABCD∩平面B1D1DB＝BD，平面A1B1C1D1∩平面B1D1DB＝B1D1，故B1D1∥BD．因B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，所以B1D1∥平面BC1D．同理可证AD1∥平面BC1D．因为AD1，B1D1⊂平面AB1D1，且AD1∩B1D1＝D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．又因为DP⊂平面BC1D，所以DP∥平面AB1D1，故A正确．对于B，若λ＝2μ，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝2μeq\o(BB1,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))＝μ(2eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝2μeq\o(BN,\s\up6(→))(N为B1C1的中点)，如图(2)．又因为λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，λ＝2μ，所以2μ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))．故点P的轨迹长度为BN＝eq\f(\r(5),2)a，故B正确．对于C，若μ＝1，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，所以点P在线段CC1上，如图(3)．假设DP⊥A1P，则DP2＋A1P2＝A1D2，即a2＋(λa)2＋a2＋a2＋(1－λ)2a2＝(eq\r(2)a)2，化简得λ2－λ＋1＝0，方程无解，所以λ不存在，故C错误．对于D，如图(4)，设M为BC的中点，当μ＝eq\f(1,2)时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0))，B1(a，a，a)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，λa))，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－a，a，－a)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(a，a,0)，eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，λa))．假设A1C⊥平面DPB，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(A1C,\s\up6(→))⊥\o(DB,\s\up6(→))，,\o(A1C,\s\up6(→))⊥\o(DP,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(A1C,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→))＝－a2＋a2＝0，,\o(A1C,\s\up6(→))·\o(DP,\s\up6(→))＝－a×\f(a,2)＋a2－λa2＝0，))解得λ＝eq\f(1,2)，故D正确．图(1)图(2)图(3)图(4)三、填空题8．已知正四面体PABC的底面边长为2，侧棱PB的中点为E，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝__－1__．【解析】如图，由题得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\f(1,2)(eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CP,\s\up6(→))))cos120°＋eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))))|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°－eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))cos120°＝eq\f(1,2)×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1．9．如图，已知二面角α－AB－β的大小为60°，其棱上有A，B两点，射线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，则CD的长为__2__．【解析】因为CA⊥AB，BD⊥AB，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0．因为〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝12＋12＋22＋2×1×2×cos120°＝4，所以CD＝2．10．已知在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝4，PC＝1，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝eq\f(π,3)，M，N，T分别为棱AB，AC，PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为__5eq\r(,2)__．【解析】记eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\