第20讲 简单的三角恒等变换-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第20讲简单的三角恒等变换-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．计算：coseq\f(5π,12)＝()A．eq\f(\r(6)－\r(2),4) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C．eq\f(\r(3)＋\r(2),4) D．eq\f(\r(2)－\r(6),4)2．若cosθ＝－eq\f(3,5)且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))的值为()A．eq\f(4－3\r(3),10) B．－eq\f(4＋3\r(3),10)C．eq\f(3\r(3)－4,10) D．eq\f(3\r(3)＋4,10)3．(多选)下列等式成立的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))＝cos2B．cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝eq\f(\r(2),2)C．tan15°＝2－eq\r(3)D．eq\f(1,2)sin40°＋eq\f(\r(3),2)cos40°＝sin70°4．若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)＝____．5．已知cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)的值为________．聚焦知识1．两角和、差公式(1)两角和与差的余弦、正弦和正切公式说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)辅助角公式函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值确定．2．二倍角公式S2αsin2α＝__________；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝__________＝__________＝___________；降幂公式：cos2α＝___________，sin2α＝__________T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))*3．半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)．题型突破思维拓展举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1(1)已知sinα＝eq\f(1,3)(角α为第二象限角)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．eq\f(4－\r(2),6) B．eq\f(\r(2)－2,6)C．eq\f(4＋\r(2),6) D．eq\f(\r(2)－4,6)(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝4，则eq\f(1＋cos2α,2＋sin2α)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．3(3)(多选)若cosαcosβ＝eq\f(1,4)，cos(α＋β)＝eq\f(1,3)，则()A．sinαsinβ＝eq\f(1,12) B．cos(α－β)＝eq\f(1,6)C．tanαtanβ＝－eq\f(1,3) D．sin2αsin2β＝eq\f(1,12)(1)利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．(2)利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．和、差、倍角公式的逆用与变形应用视角1公式的逆用例2－1(1)下列函数值为eq\f(1,4)的是()A．sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(5π,12) B．eq\f(1－tan222°30′,tan22°30′)C．sin105°sin15° D．eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)(2)(多选)下列等式正确的是()A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝eq\f(1,2)B．sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,8)C．eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq\r(3)D．cos215°－sin215°＝eq\f(\r(3),2)视角2公式的变形应用例2－2(1)计算tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°·tan50°的值为()A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(5,9) B．eq\f(5,9)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(3)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)倍角公式变形：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)．1．下列式子的运算结果不等于eq\r(3)的是()A．tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C．eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D．eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则4tanα＋tanβ＝()A．13 B．14C．15 D．163．已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A．－3m B．－eq\f(m,3)C．eq\f(m,3) D．3m4．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α＝____．辅助角公式的应用例3(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．－eq\f(4\r(2),9) D．eq\f(4\r(2),9)(2)已知α是锐角，eq\r(3)sinα＋2eq\r(2)cosα＝eq\r(11)，则sinα＝_________．(3)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为____．辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式asinx＋bcosx＝eq\r(,a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征．变式3(1)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))cosx的最小值为_________．(2)函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的单调递减区间为__________．三角恒等式的求值视角1给角求值例4－1(1)计算：tan70°cos10°·(eq\r(3)tan20°－1)＝____．(2)计算：sin10°sin30°sin50°sin70°＝____．视角2给值求值例4－2已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,5)，且0＜α＜eq\f(π,2)，则sin2α＝()A．eq\f(6\r(2)＋1,10) B．eq\f(6\r(2)－1,10)C．eq\f(23\r(3)－4\r(6),50) D．eq\f(23\r(3)＋4\r(6),50)视角3给值求角例4－3(1)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β＝()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β＝____．常见的缩小角的范围的方法一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．变式4(1)已知sin2α＝2sin2β，cos2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝____．(2)计算：eq\f(\r(3),sin20°)－eq\f(1,cos20°)＝()A．2 B．3C．4 D．5积化和差与和差化积公式1．积化和差cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，2．和差化积sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)．例5(1)计算：sin20°＋sin40°－sin80°＝____．(2)计算：(sin20°－sin40°)2＋3sin20°·cos50°＝()A．eq\f(3,2) B．eq\r(3)C．eq\f(3,4) D．－3(3)已知taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(\r(6),2)，tanαtanβ＝eq\f(13,7)，则cos(α－β)＝____．随堂内化1．若(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则tan(α＋β)＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．42．已知sin(α－β)＝－eq\f(\r(2),10)，eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(3,4)，则sin(α＋β)＝___________．3．计算：eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋4cos220°＝____．配套精练简单的三角恒等变换——练习1一、单项选择题1．若cos2α＝sin2α，则sinα＝()A．eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(2\r(5),5)2．已知sin(α－β)＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，则sinαcosβ＝()A．eq\f(1,12) B．－eq\f(1,12)C．－eq\f(5,12) D．eq\f(5,12)3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(cosα,3－sinα)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝()A．eq\f(\r(3)＋2\r(2),6) B．eq\f(\r(3)－2\r(2),6)C．eq\f(1＋2\r(6),6) D．eq\f(1－2\r(6),6)4．已知sinα＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，则tan2α－cos2α＝()A．eq\f(3,8) B．eq\f(7,12)C．eq\f(5,28) D．eq\f(11,36)5．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,7)，则cosα＝()A．eq\f(13,14) B．eq\f(11,14)C．eq\f(5\r(3),14) D．eq\f(3\r(3),14)6．已知sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，tanα＝2tanβ，则sin(α－β)＝()A．eq\f(1,13) B．eq\f(1,5)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(3,4)7．已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(,5)＋1,4)，则sineq\f(α,2)＝()A．eq\f(3－\r(,5),8) B．eq\f(－1＋\r(,5),8)C．eq\f(3－\r(,5),4) D．eq\f(－1＋\r(,5),4)8．若角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则()A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1二、多项选择题9．下列等式能够成立的有()A．sin15°cos15°＝eq\f(1,2)B．sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D．eq\r(3)sin15°＋cos15°＝110．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(2\r(2),3)，则下列选项正确的有()A．sin(α＋β)＝±eq\f(1,3) B．cosβ＝－eq\f(7,9)C．cos2β＝－eq\f(17,81) D．sin(α－β)＝－eq\f(23,27)11．下列等式正确的是()A．eq\f(sin24°cos6°－sin66°sin6°,sin21°cos39°－cos21°sin39°)＝－1B．若cos2α＝eq\f(1,2)，则sin4α－cos4α＝eq\f(1,2)C．若tanα＝3，则sin2α＝eq\f(3,5)D．tan23°＋tan37°＋eq\r(,3)tan23°tan37°＝－eq\r(,3)三、填空题12．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin(α－β)＝eq\f(1,2)，tanα＝3tanβ，则α＋β＝________．13．已知α，β∈[0,2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)．写出满足条件的一组α，β的值α＝_________，β＝__________．14．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,3)))＝________．15．已知α＋β＝eq\f(π,4)，tanα＋tanβ＝3，则cos(α－β)＝_________．16．已知锐角α，β满足2α＋β＝eq\f(2π,3)，且tanαtaneq\f(β,2)＝2－eq\r(3)，则β＝____．简单的三角恒等变换——练习2一、单项选择题1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝0，则α＝()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(5π,12) D．eq\f(π,3)2．若3sin(2α－β)＝sinβ，且α－β≠eq\f(π,2)＋kπ，α≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，则eq\f(tanα－β,tanα)＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－2 D．－eq\f(1,2)3．sin18°cos36°＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(\r(,5),8)C．eq\f(2\r(,5)－3,4) D．eq\f(\r(,5)－1,4)4．已知锐角α，β满足2α＋β＝eq\f(2π,3)，且tanαtaneq\f(β,2)＝2－eq\r(3)，则β＝()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)二、多项选择题5．已知0＜α＜β＜eq\f(π,2)，且3cosα＋eq\r(,10)cosβ＝3,3sinα－eq\r(,10)sinβ＝2，则()A．cos(α＋β)＝eq\f(\r(,3),5) B．sin(α＋β)＝eq\f(3\r(,10),10)C．tan(2α＋2β)＝eq\f(2,3) D．β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈(0，π)，cos2α＝－eq\f(3,5)，cos(β－α)＝－eq\f(\r(,2),10)，则()A．tanα＝－eq\f(1,2) B．sin(β－α)＝－eq\f(7\r(,2),10)C．α＋β＝eq\f(5π,4) D．cosαcosβ＝－eq\f(3\r(,2),10)三、填空题7．已知函数f(x)＝3sinx＋4cosx，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝____．8．若tan(α－β)＝3，eq\f(tan2α－tan2β,1－tan2αtan2β)＝18，则tan2α＝___．9．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(ab≠0)的图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，则eq\f(b,a)＝_______．四、解答题10．证明：(1)eq\f(1＋sin2α,2cos2α＋sin2α)＝eq\f(1,2)tanα＋eq\f(1,2)；(2)eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα)．11．已知函数f(x)＝cosx．(1)若α，β为锐角，f(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(4,3)，求cos2α及tan(β－α)的值；(2)设函数g(x)＝f(2x)－3，若对任意x，g2(x)≤(2＋a)g(x)－2－a恒成立，求实数a的最大值；(3)已知f(α)＋f(β)－f(α＋β)＝eq\f(3,2)，α，β∈(0，π)，求α及β的值．

参考答案激活思维1．计算：coseq\f(5π,12)＝(A)A．eq\f(\r(6)－\r(2),4) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C．eq\f(\r(3)＋\r(2),4) D．eq\f(\r(2)－\r(6),4)【解析】coseq\f(5π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)．2．若cosθ＝－eq\f(3,5)且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))的值为(A)A．eq\f(4－3\r(3),10) B．－eq\f(4＋3\r(3),10)C．eq\f(3\r(3)－4,10) D．eq\f(3\r(3)＋4,10)【解析】因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinθ＞0．因为cosθ＝－eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝sinθcoseq\f(π,3)＋cosθsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10)．3．(多选)下列等式成立的是(ABC)A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))＝cos2B．cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝eq\f(\r(2),2)C．tan15°＝2－eq\r(3)D．eq\f(1,2)sin40°＋eq\f(\r(3),2)cos40°＝sin70°【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))＝cos2，故A正确；cos73°·cos28°＋sin73°sin28°＝cos(73°－28°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，故B正确；tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq\r(3)，故C正确；eq\f(1,2)sin40°＋eq\f(\r(3),2)cos40°＝sin40°cos60°＋cos40°sin60°＝sin(40°＋60°)＝sin100°＝sin80°，故D错误．4．若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)＝__2__．【解析】由tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝taneq\f(3π,4)＝－1，得tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，故(1－tanα)·(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2．5．已知cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)的值为__－eq\f(59,72)__．【解析】因为cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(1,3)，所以(cosα＋cosβ)2＝eq\f(1,4)，(sinα＋sinβ)2＝eq\f(1,9)，上述两式相加得cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)，即2＋2cos(α－β)＝eq\f(13,36)，解得cos(α－β)＝－eq\f(59,72)．题型突破思维拓展举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1(1)已知sinα＝eq\f(1,3)(角α为第二象限角)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝(D)A．eq\f(4－\r(2),6) B．eq\f(\r(2)－2,6)C．eq\f(4＋\r(2),6) D．eq\f(\r(2)－4,6)【解析】因为角α为第二象限角，且sinα＝eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinα·sineq\f(π,4)＝－eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－4,6)．(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝4，则eq\f(1＋cos2α,2＋sin2α)＝(B)A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．3【解析】因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝4，所以eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)·tanα)－eq\f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)·tanα)＝4，即eq\f(4tanα,1－tan2α)＝4，所以tan2α＋tanα＝1，所以eq\f(1＋cos2α,2＋sin2α)＝eq\f(2cos2α,2sin2α＋2cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(2,2tan2α＋2＋2tanα)＝eq\f(1,2)．(3)(多选)若cosαcosβ＝eq\f(1,4)，cos(α＋β)＝eq\f(1,3)，则(BC)A．sinαsinβ＝eq\f(1,12) B．cos(α－β)＝eq\f(1,6)C．tanαtanβ＝－eq\f(1,3) D．sin2αsin2β＝eq\f(1,12)【解析】由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,3)，且cosαcosβ＝eq\f(1,4)，得sinαsinβ＝－eq\f(1,12)，故A错误；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(1,6)，故B正确；由tanαtanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(－\f(1,12),\f(1,4))＝－eq\f(1,3)，故C正确；sin2αsin2β＝2sinαcosα·2sinβcosβ＝4sinαsinβcosαcosβ＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)))×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,12)，故D错误．(1)利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．(2)利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．和、差、倍角公式的逆用与变形应用视角1公式的逆用例2－1(1)下列函数值为eq\f(1,4)的是(C)A．sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(5π,12) B．eq\f(1－tan222°30′,tan22°30′)C．sin105°sin15° D．eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)【解析】对于A，sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(5π,12)＝cos2eq\f(5π,12)－sin2eq\f(5π,12)＝coseq\f(5π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)．对于B，eq\f(1－tan222°30′,tan22°30′)＝eq\f(2,\f(2tan22°30′,1－tan222°30′))＝eq\f(2,tan45°)＝2．对于C，sin105°sin15°＝sin15°sin(90°＋15°)＝sin15°·cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)．对于D，eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4．(2)(多选)下列等式正确的是(BD)A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝eq\f(1,2)B．sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,8)C．eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq\r(3)D．cos215°－sin215°＝eq\f(\r(3),2)【解析】对于A，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，故A错误；对于B，sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,2)sin15°·cos15°＝eq\f(1,4)sin30°＝eq\f(1,8)，故B正确；对于C，eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－eq\r(3)，故C错误；对于D，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故D正确．视角2公式的变形应用例2－2(1)计算tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°·tan50°的值为(D)A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)【解析】因为tan120°＝eq\f(tan70°＋tan50°,1－tan70°tan50°)＝－eq\r(3)，所以tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°·tan50°＝－eq\r(3)．(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sin2α＝(C)A．－eq\f(5,9) B．eq\f(5,9)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)【解析】方法一：由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))－1＝－eq\f(7,9)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝sin2α＝－eq\f(7,9)．方法二：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(1,3)，所以sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，两边平方得1＋sin2α＝eq\f(2,9)，所以sin2α＝－eq\f(7,9)．(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(3)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)倍角公式变形：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)．1．下列式子的运算结果不等于eq\r(3)的是(D)A．tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C．eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D．eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))【解析】对于A，tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°·tan35°＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan25°tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3)．对于B,2(sin35°·cos25°＋cos35°cos65°)＝2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝eq\r(3)．对于C，eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan60°＝eq\r(3)．对于D，eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则4tanα＋tanβ＝(C)A．13 B．14C．15 D．16【解析】因为tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝3，,\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝5，))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝31－tanαtanβ①，,tanα－tanβ＝51＋tanαtanβ②，))①＋②得tanα＝4＋tanαtanβ，①－②得tanβ＝－1－4tanαtanβ．所以4tanα＋tanβ＝16－1＝15．3．已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(A)A．－3m B．－eq\f(m,3)C．eq\f(m,3) D．3m【解析】由cos(α＋β)＝m，可得cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ＝－3m．4．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α＝__eq\f(π,3)__．【解析】由题意知sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2)．因为γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinγ＝sinβ－sinα＞0．又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以β＞α，所以0＜β－α＜eq\f(π,2)，所以β－α＝eq\f(π,3)．辅助角公式的应用例3(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝(B)A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．－eq\f(4\r(2),9) D．eq\f(4\r(2),9)【解析】由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(1,3)，得eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(1,2)cosα＋cosα＝eq\f(1,3)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(1,3)，因此sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(7,9)．(2)已知α是锐角，eq\r(3)sinα＋2eq\r(2)cosα＝eq\r(11)，则sinα＝__eq\f(\r(33),11)__．【解析】方法一：由eq\r(3)sinα＋2eq\r(2)cosα＝eq\r(11)，得cosα＝eq\f(\r(11),2\r(2))－eq\f(\r(3),2\r(2))sinα，由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2\r(2))－\f(\r(3),2\r(2))sinα))2＝1，化简得(eq\r(11)sinα－eq\r(3))2＝0，得sinα＝eq\f(\r(33),11)．方法二：因为eq\r(3)sinα＋2eq\r(2)cosα＝eq\r(11)sin(α＋φ)＝eq\r(11)，所以sin(α＋φ)＝1，且sinφ＝eq\f(2\r(2),\r(11))，cosφ＝eq\f(\r(3),\r(11))，sinα＝sin[(α＋φ)－φ]＝sin(α＋φ)cosφ－cos(α＋φ)sinφ＝1×eq\f(\r(3),\r(11))－0×eq\f(2\r(2),\r(11))＝eq\f(\r(33),11)．(3)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为__eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(满足φ＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z即可))__．【解析】f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＋cosx＝cosφsinx＋(sinφ＋1)cosx＝eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)·sin(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(sinφ＋1,cosφ)))．因为f(x)的最大值为2，所以eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)＝2，化简可得sinφ＝1，故φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式asinx＋bcosx＝eq\r(,a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征．变式3(1)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))cosx的最小值为__－eq\f(3,4)__．【解析】f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx－\f(1,2)cosx))cosx＝eq\f(\r(3),2)sinxcosx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),4)sin2x－eq\f(1,4)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－eq\f(1,4)．当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝－1，即x＝－eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最小值－eq\f(3,4)．(2)函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的单调递减区间为__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))__．【解析】函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z．因为x∈[0，π]，所以所求单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))．三角恒等式的求值视角1给角求值例4－1(1)计算：tan70°cos10°·(eq\r(3)tan20°－1)＝__－1__．【解析】原式＝tan70°cos10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)sin20°,cos20°)－1))＝tan70°cos10°·eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,cos20°)＝tan70°cos10°·eq\f(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos20°－\f(\r(3),2)sin20°)),cos20°)＝tan70°cos10°·eq\f(－2sin30°－20°,cos20°)＝eq\f(sin70°,cos70°)·cos10°·eq\f(－2sin10°,sin70°)＝eq\f(sin70°,sin20°)·eq\f(－2cos10°sin10°,sin70°)＝eq\f(－sin20°,sin20°)＝－1．(2)计算：sin10°sin30°sin50°sin70°＝__eq\f(1,16)__．【解析】原式＝eq\f(1,2)cos20°cos40°cos80°＝eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,2sin20°)＝eq\f(sin160°,16sin20°)＝eq\f(1,16)．视角2给值求值例4－2已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,5)，且0＜α＜eq\f(π,2)，则sin2α＝(D)A．eq\f(6\r(2)＋1,10) B．eq\f(6\r(2)－1,10)C．eq\f(23\r(3)－4\r(6),50) D．eq\f(23\r(3)＋4\r(6),50)【解析】由0＜α＜eq\f(π,2)，得－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－α＜eq\f(π,3)，令t＝eq\f(π,3)－α，则t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，即sint＝eq\f(1,5)，于是cost＝eq\f(2\r(6),5)，sin2t＝2sintcost＝eq\f(4\r(6),25)，cos2t＝1－2sin2t＝eq\f(23,25)，所以sin2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2t))＝sineq\f(2π,3)cos2t－coseq\f(2π,3)sin2t＝eq\f(23\r(3)＋4\r(6),50)．视角3给值求角例4－3(1)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)【解析】由题知cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)．因为tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，cosβ＝－eq\f(\r(10),10)，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)．又0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π，所以eq\f(π,2)＜α＋β＜eq\f(3π,2)，所以α＋β＝eq\f(3π,4)．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β＝__－eq\f(3π,4)__．【解析】因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)＞0，所以0＜α＜eq\f(π,2)．又因为tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)＞0，所以0＜2α＜eq\f(π,2)，所以tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1．又tanβ＝－eq\f(1,7)＜0，所以eq\f(π,2)＜β＜π，则－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－eq\f(3π,4)．常见的缩小角的范围的方法一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．变式4(1)已知sin2α＝2sin2β，cos2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝__0__．【解析】若sinβ＝0，则cos2α＝0，而sin2α＝2sin2β＝4sinβcosβ＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，所以sinβ≠0，cos2α≠0，所以eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sin2β,4sin2β)＝eq\f(cosβ,sinβ)，则cos2αcosβ－sin2αsinβ＝0，即cos(2α＋β)＝0．(2)计算：eq\f(\r(3),sin20°)－eq\f(1,cos20°)＝(C)A．2 B．3C．4 D．5【解析】eq\f(\r(3),sin20°)－eq\f(1,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°－sin20°,sin20°cos20°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos20°－\f(1,2)sin20°)),sin20°cos20°)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos20°－\f(1,2)sin20°)),2sin20°cos20°)＝eq\f(4sin60°－20°,sin40°)＝4．积化和差与和差化积公式1．积化和差cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，2．和差化积sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)．例5(1)计算：sin20°＋sin40°－sin80°＝__0__．【解析】sin20°＋sin40°－sin80°＝2sin30°·cos10°－cos10°＝cos10°－cos10°＝0．(2)计算：(sin20°－sin40°)2＋3sin20°·cos50°＝(C)A．eq\f(3,2) B．eq\r(3)C．eq\f(3,4) D．－3【解析】(sin20°－sin40°)2＋3sin20°cos50°＝(－2cos30°sin10°)2＋eq\f(3,2)(sin70°－sin30°)＝3sin210°＋eq\f(3,2)sin70°－eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)(1－cos20°)＋eq\f(3,2)sin70°－eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)cos20°＋eq\f(3,2)cos20°－eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)．(3)已知taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(\r(6),2)，tanαtanβ＝eq\f(13,7)，则cos(α－β)＝__eq\f(2,3)__．【解析】因为tanαtanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(\f(1,2)[cosα－β－cosα＋β],\f(1,2)[cosα－β＋cosα＋β])＝eq\f(13,7)，所以cos(α－β)＝－eq\f(10,3)cos(α＋β)．又cos(α＋β)＝eq\f(1－tan2\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝－eq\f(1,5)，所以cos(α－β)＝－eq\f(10,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝eq\f(2,3)．随堂内化1．若(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则tan(α＋β)＝(C)A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．4【解析】由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(1－tanαtanβ,1－tanαtanβ)＝1．2．已知sin(α－β)＝－eq\f(\r(2),10)，eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(3,4)，则sin(α＋β)＝__eq\f(7\r(2),10)__．【解析】由题知sin(α－β)＝sinαcosβ－cosα·sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(sinαcosβ,cosαsinβ)＝eq\f(3,4)，可得sinαcosβ＝eq\f(3,4)cosαsinβ，则sinαcosβ－cosαsinβ＝－eq\f(1,4)cosαsinβ＝－eq\f(\r(2),10)，所以cosαsinβ＝eq\f(2\r(2),5)，sinαcosβ＝eq\f(3,4)cosαsinβ＝eq\f(3\r(2),10)，故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(7\r(2),10)．3．计算：eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋4cos220°＝__4__．【解析】eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋4cos220°＝eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋2(1＋cos40°)＝eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋2cos40°＋2＝eq\f(\r(3)sin10°＋2sin40°cos40°,sin40°)＋2＝eq\f(\r(3)sin10°＋sin80°,sin40°)＋2＝eq\f(\r(3)sin10°＋cos10°,sin40°)＋2＝eq\f(2sin10°＋30°,sin40°)＋2＝4．配套精练简单的三角恒等变换——练习1一、单项选择题1．若cos2α＝sin2α，则sinα＝(B)A．eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(2\r(5),5)【解析】因为cos2α＝sin2α，所以1－2sin2α＝sin2α，解得sinα＝±eq\f(\r(3),3)．2．已知sin(α－β)＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，则sinαcosβ＝(D)A．eq\f(1,12) B．－eq\f(1,12)C．－eq\f(5,12) D．eq\f(5,12)【解析】因为sin(α－β)＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,3)，则sinαcosβ＝eq\f(5,12)．3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(cosα,3－sinα)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝(A)A．eq\f(\r(3)＋2\r(2),6) B．eq\f(\r(3)－2\r(2),6)C．eq\f(1＋2\r(6),6) D．eq\f(1－2\r(6),6)【解析】由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(cosα,3－sinα)，即sinα(3－sinα)＝cos2α＝1－sin2α，整理得sinα＝eq\f(1,3)．因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sinαcoseq\f(π,6)＋cosαsineq\f(π,6)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋2\r(2),6)．4．已知sinα＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，则tan2α－cos2α＝(C)A．eq\f(3,8) B．eq\f(7,12)C．eq\f(5,28) D．eq\f(11,36)【解析】由题知sinα＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))，可得tanα＝eq\f(\r(3),2)，所以tan2α－cos2α＝tan2α－eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝tan2α－eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(5,28)．5．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,7)，则cosα＝(B)A．eq\f(13,14) B．eq\f(11,14)C．eq\f(5\r(3),14) D．eq\f(3\r(3),14)【解析】由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得α－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))．由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,7)及sin2θ＋cos2θ＝1，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))＝eq\f(4\r(3),7)．故cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,7)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,14)．6．已知sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，tanα＝2tanβ，则sin(α－β)＝(B)A．eq\f(1,13) B．eq\f(1,5)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(3,4)【解析】因为tanα＝2tanβ，所以sinαcosβ＝2cosαsinβ．又因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(3,5)，所以sinαcosβ＝eq\f(2,5)，cosαsinβ＝eq\f(1,5)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,5)．7．已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(,5)＋1,4)，则sineq\f(α,2)＝(D)A．eq\f(3－\r(,5),8) B．eq\f(－1＋\r(,5),8)C．eq\f(3－\r(,5),4) D．eq\f(－1＋\r(,5),4)【解析】因为cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝eq\f(\r(,5)＋1,4)，所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(3－\r(,5),8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,5)－1,4)))2，则sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(,5)－1,4)或sineq\f(α,2)＝eq\f(1－\r(,5),4)．因为α为锐角，所以sineq\f(α,2)＞0，则sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(,5)－1,4)．8．若角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则(D)A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1【解析】方法一：令β＝0，则sinα＋cosα＝0，取α＝eq\f(3π,4)，排除A，C．令α＝0，则sinβ＋cosβ＝2sinβ，取β＝eq\f(π,4)，排除B．方法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al