第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第19讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式——2027届高考数学一轮复习（含答案）激活思维1．已知sineq\f(3π,2)3π/2＋α＝eq\f(4,5)4/5，那么cosα＝()A．－eq\f(4,5)4/5B．－eq\f(3,5)3/5C．eq\f(3,5)3/5D．eq\f(4,5)4/52．若α为第三象限角，且sinα＝－eq\f(2,3)2/3，则tanα＝()A．－2√5/5B．2√5/5C．－√5/5D．√5/53．已知coseq\f(π,4)π/4＋x＝eq\f(2,3)2/3，且0＜x＜eq\f(π,4)π/4，则sineq\f(π,4)π/4－x＝________，coseq\f(3π,4)3π/4＋x＝________．4．已知α为第四象限角，化简：√eq\f(1＋sinα,1－sinα)1＋sinα/1－sinα－√eq\f(1－sinα,1＋sinα)1－sinα/1＋sinα＝__________．5．已知sinα－cosα＝eq\f(7,13)7/13，0≤α≤π，则sin2α＝__________，cos2α＝__________．聚焦知识1．同角三角函数的基本关系（表中红色加粗为填空答案）基本关系常用变形平方关系sin²α＋cos²α＝1sin²α＝1－cos²α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos²α＝1－sin²α＝(1＋sinα)(1－sinα)商数关系tanα＝sinα/cosαsinα＝tanαcosα（α≠kπ＋π/2，k∈Z）2．三角函数的诱导公式（表中红色加粗为填空答案）角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ/2－απ/2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanαcotα－cotα【记忆规律】奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指k·eq\f(π,2)π/2＋α中k的奇偶；“变”指函数名改变；“符号看象限”指把α看成锐角时，k·eq\f(π,2)π/2＋α的终边所在象限．3．常见的互余和互补的几组角几组角互余的角π/3－α与π/6＋α；π/3＋α与π/6－α；π/4＋α与π/4－α等互补的角π/3＋θ与2π/3－θ；π/4＋θ与3π/4－θ等4．同角三角函数关系的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα＝1±sin2α．(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2．(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinα·cosα＝2sin2α．5．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化利用tanθ＝sinθ/cosθ化成正弦、余弦，或反化成正切表达式中含sinθ、cosθ与tanθ，知一求二（方程思想）“1”的变换1＝sin²θ＋cos²θ＝cos²θ(1＋tan²θ)＝(sinθ±cosθ)²∓2sinθcosθ＝tan(π/4)表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)²＝1±2sinθcosθ变形、转化表达式中含sinθ±cosθ或sinθcosθ方法导航同角关系与诱导公式的五个核心判断①知一求二时符号怎么定——先由已知三角函数值＋所在象限定位cosα（或sinα）的符号，再开平方．口诀：先定号，再定值．②sinα±cosα与sinαcosα互求——平方搭桥：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα＝1±sin2α．口诀：知和求积用平方，知积求和开方要判号．③齐次式（分子分母同次）——分子分母同除以cosnα，全部化为tanα．口诀：同次就除余弦，一次变正切．④诱导公式「符号看象限」——把α当作锐角，看k·eq\f(π,2)π/2＋α的终边落在第几象限，原函数在该象限的正负即为结果符号．口诀：α当锐角，看终边，正负照搬．⑤给值求角——先求三角函数值，再结合范围定角，最后验证．口诀：先值后范围，范围定死才取值．易错警示本讲六条命①知一求二漏象限讨论：sinα＝eq\f(12,13)12/13不能唯一确定cosα，须分第一、第二象限讨论（除非题设另有约束）．②开方忘判符号：由(sinα－cosα)2开方得sinα－cosα＝±eq\f(7,13)7/13，必须结合α的范围定正负．③诱导公式「符号看象限」用错参照角：α必须当成锐角看终边，不能代入α的实际数值去判断．④齐次式忽略cosα＝0的情形：此时tanα不存在，不能随便同除以cosnα．⑤「1的代换」方向搞反：1＝sin2$α＋cos2$α是恒等变形，而taneq\f(π,4)π/4＝1只在tanα有意义时可用．⑥sinα＋cosα＝1不能直接推出sinnα＋cosnα＝1：须先推出sinαcosα＝0，再分类讨论．题型突破思维拓展举题说法同角关系式的基本应用视角1知一求二例1－1(1)已知sinα＝eq\f(5,13)5/13，求cosα，tanα的值；(2)已知tanα＝－eq\f(5,12)5/12，求sinα，cosα的值．视角2齐次式的计算例1－2已知tanα＝2．(1)求eq\f(sinα－3cosα,2sinα＋cosα)sinα－3cosα/2sinα＋cosα的值；(2)求sin2$α－3sinαcosα＋1的值．视角3和积转换例1－3(1)已知α是三角形内角，若sinα－cosα＝eq\f(1,5)1/5，则sinα＋cosα的值为()A．－eq\f(7,5)7/5B．－eq\f(1,5)1/5C．eq\f(7,5)7/5D．eq\f(1,5)1/5(2)已知α∈(0，π)，若sinα＋cosα＝－√2/2，则cos2α＝()A．－√3/2B．－eq\f(1,2)1/2C．√3/2D．eq\f(1,2)1/2变式1(1)若sinα＋cosα＝√3/2，则tanα＋eq\f(1,tanα)1/tanα＝____．(2)若tanθ＝3，则eq\f(sinθ(1＋sin2θ),sinθ＋cosθ)sinθ(1＋sin2θ)/sinθ＋cosθ＝()A．－eq\f(6,5)6/5B．－eq\f(3,5)3/5C．eq\f(3,5)3/5D．eq\f(6,5)6/5举题说法诱导公式的应用例2(1)求值：sin(－1140°)cos1470°＋cos(－960°)sin(－2010°)＝____．(2)已知tanα＝3，则eq\f(cosπ/2＋α,sin(π－α)－sin(3π/2－α))cosπ/2＋α/sin(π－α)－sin(3π/2－α)＝____．(3)已知cos(50°＋α)＝eq\f(1,3)1/3，则cos(130°－α)＋sin(40°－α)＝____．【诱导公式的两个应用】(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．变式2(1)若sin(α＋3π/2)＋2cos(α－π/2)＝0，则tan2α＝________．(2)已知sineq\f(π,3)π/3－x＝eq\f(1,4)1/4，则coseq\f(2π,3)2π/3＋x＝____．举题说法三角函数的化简与证明例3已知函数f(α)＝eq\f(sin(2π－α)cos(π＋α),sin(9π/2＋α))sin(2π－α)cos(π＋α)/sin(9π/2＋α)．(1)求证：f(α)＝sinα；(2)若f(α)＝eq\f(4,5)4/5，且α为第二象限角，求tanα·√eq\f(1＋cosα,1－cosα)1＋cosα/1－cosα－1的值．高考真题溯源近三年高频考法考法一知一求二＋象限讨论（全国卷每年1题）→对应：例1－1、随堂1考法二齐次式求值（近3年5考）→对应：例1－2、精练1、精练5考法三sinα±cosα与sinαcosα互化（近3年4考）→对应：例1－3、变式1(1)、精练2、精练10考法四诱导公式化简求值（近3年6考）→对应：例2、变式2、精练12、精练13考法五给值求角与范围判定（近3年3考）→对应：例3(2)、精练10随堂内化1．已知角α的终边上有一点P(－eq\f(5,13)5/13，eq\f(12,13)12/13)，则coseq\f(π,2)π/2＋α＝()A．－eq\f(12,13)12/13B．eq\f(12,13)12/13C．－eq\f(5,13)5/13D．eq\f(5,13)5/132．(多选)下列结论正确的是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)1/3(n∈Z)，则cosα＝eq\f(1,3)1/3C．若α≠eq\f(kπ,2)kπ/2(k∈Z)，则taneq\f(π,2)π/2＋α＝－eq\f(1,tanα)1/tanαD．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝13．已知tanα＝3，则sin2α＋cos2$α＝____．4．已知sinαcosα＝eq\f(1,4)1/4，且eq\f(π,4)π/4＜α＜eq\f(π,2)π/2，则cosα－sinα＝____．配套精练一、单项选择题1．已知eq\f(π,2)π/2＜α＜π，tanα＝－2，则eq\f(cos²$α,1－sinα)cos²$α/1－sinα＝()A．1＋2√5/5B．3－√5C．1＋√5/5D．1－2√5/52．已知α∈(0，π)，sinα－cosα＝eq\f(7,13)7/13，则tan2α＝()A．－eq\f(120,119)120/119B．eq\f(119,120)119/120C．－eq\f(119,120)119/120D．eq\f(120,119)120/1193．若α∈(0，π/2)，tan2α＝eq\f(cosα,3－sinα)cosα/3－sinα，则tanα＝()A．√35/35B．√35/17C．√35/7D．√354．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(cosθ，2sinθ)，且cosα＝eq\f(1,3)1/3，则tan2$θ＝()A．eq\f(1,2)1/2B．2C．3D．eq\f(1,3)1/35．若sin(π－α)－2cosα＝0，则1－cos2α＝()A．eq\f(2,5)2/5B．eq\f(4,5)4/5C．eq\f(6,5)6/5D．eq\f(8,5)8/56．已知θ∈(0，π/2)，tan2θ＝2cosθ/√(1＋sin2θ)，则tanθ＝()A．eq\f(1,2)1/2B．eq\f(1,3)1/3C．2D．37．已知taneq\f(π,4)π/4＋α－taneq\f(π,4)π/4－α＝eq\f(8,3)8/3，则eq\f(1＋cos2α,2＋sin2α)1＋cos2α/2＋sin2α＝()A．2B．eq\f(4,7)4/7C．eq\f(1,3)1/3D．3二、多项选择题8．已知sin(α－π)＋2sin(α＋π/2)＝0，则下列结论正确的有()A．tanα＝2B．sinα－cosα＝√5/5C．sinαcosα＋cos2$α＝eq\f(3,5)3/5D．eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)sinα＋cosα/sinα－cosα＝eq\f(1,3)1/39．在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是()A．sinA＋sinB＋sinC＜cosA＋cosB＋cosCB．tanA＋tanB＋tanC＞0C．若sinA＝√5/5，tanB＝3，则A＜BD．cosA＋cosB＜√210．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)1/5，则下列结论正确的是()A．sinθ－cosθ＝－eq\f(7,5)7/5B．cosθ＝－eq\f(3,5)3/5C．tanθ＝－eq\f(3,4)3/4D．sin4$θ－cos4$θ＝eq\f(7,25)7/25三、填空题11．若θ∈(0，π/2)，tanθ＝eq\f(1,3)1/3，则sinθ－cosθ＝_______．12．若eq\f(π,2)π/2＜α＜π，且cosα＝－eq\f(3,5)3/5，则eq\f(4cos(π－2α)－3sin(π/2＋α),cos(3π/2－α)＋2sin(2π－2α))4cos(π－2α)－3sin(π/2＋α)/cos(3π/2－α)＋2sin(2π－2α)＝_________．13．计算：√{1－2sin40°cos40°}/cos40°－√{1－sin²50°}＝_________．14．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)1＋tanα/1－tanα＝2，则sin4$α＋cos4$α＝________．参考答案激活思维1．A【解析】sineq\f(3π,2)3π/2＋α＝sin(α－π/2)＝－sineq\f(π,2)π/2－α＝－cosα＝eq\f(4,5)4/5，故cosα＝－eq\f(4,5)4/5．2．B【解析】α为第三象限角，sinα＝－eq\f(2,3)2/3，则cosα＝－√5/3，故tanα＝2/√5＝2√5/5．3．eq\f(2,3)2/3，－√5/3【解析】eq\f(π,4)π/4＋x与eq\f(π,4)π/4－x互余，故sineq\f(π,4)π/4－x＝coseq\f(π,4)π/4＋x＝eq\f(2,3)2/3；由0＜x＜eq\f(π,4)π/4得sineq\f(π,4)π/4＋x＝√5/3，而coseq\f(3π,4)3π/4＋x＝－coseq\f(π,4)π/4－x＝－√5/3．4．2tanα【解析】第四象限cosα＞0，故√eq\f(1＋sinα,1－sinα)1＋sinα/1－sinα＝eq\f(1＋sinα,cosα)1＋sinα/cosα，√eq\f(1－sinα,1＋sinα)1－sinα/1＋sinα＝eq\f(1－sinα,cosα)1－sinα/cosα，相减得eq\f(2sinα,cosα)2sinα/cosα＝2tanα．5．eq\f(120,169)120/169，－eq\f(119,169)119/169【解析】平方得sin2α＝eq\f(120,169)120/169；由0≤α≤π及sinα－cosα＝eq\f(7,13)7/13联立得sinα＝eq\f(12,13)12/13，cosα＝eq\f(5,13)5/13，故cos2α＝－eq\f(119,169)119/169．举题说法例1－1(1)由sinα＝eq\f(5,13)5/13＞0知α为第一或第二象限角．第一象限：cosα＝eq\f(12,13)12/13，tanα＝eq\f(5,12)5/12；第二象限：cosα＝－eq\f(12,13)12/13，tanα＝－eq\f(5,12)5/12．例1－1(2)由tanα＝－eq\f(5,12)5/12＜0知α为第二或第四象限角，结合sin2$α＋cos2$α＝1得：第二象限sinα＝eq\f(5,13)5/13，cosα＝－eq\f(12,13)12/13；第四象限sinα＝－eq\f(5,13)5/13，cosα＝eq\f(12,13)12/13．例1－2(1)分子分母同除以cosα，原式＝eq\f(tanα－3,2tanα＋1)tanα－3/2tanα＋1＝eq\f(2－3,4＋1)2－3/4＋1＝－eq\f(1,5)1/5．例1－2(2)原式＝eq\f(2tan²$α－3tanα＋1,tan²$α＋1)2tan²$α－3tanα＋1/tan²$α＋1＝eq\f(8－6＋1,5)8－6＋1/5＝eq\f(3,5)3/5．例1－3(1)C平方得sin2α＝eq\f(24,25)24/25＞0；α为三角形内角，sinα＞0，故cosα＞0，于是sinα＋cosα＝√{1＋eq\f(24,25)24/25}＝eq\f(7,5)7/5．例1－3(2)C平方得sin2α＝－eq\f(1,2)1/2；由α∈(0，π)且sinαcosα＜0得α∈eq\f(π,2)π/2，π，故2α＝eq\f(11π,6)11π/6，cos2α＝√3/2．变式1(1)－8平方得sinαcosα＝－eq\f(1,8)1/8，故tanα＋eq\f(1,tanα)1/tanα＝eq\f(1,sinαcosα)1/sinαcosα＝－8．变式1(2)D因1＋sin2θ＝(sinθ＋cosθ)2，原式＝eq\f(tan²$θ＋tanθ,tan²$θ＋1)tan²$θ＋tanθ/tan²$θ＋1＝eq\f(9＋3,10)9＋3/10＝eq\f(6,5)6/5．例2(1)－1sin(－1140°)＝－√3/2，cos1470°＝√3/2，cos(－960°)＝－eq\f(1,2)1/2，sin(－2010°)＝eq\f(1,2)1/2，故原式＝－eq\f(3,4)3/4－eq\f(1,4)1/4＝－1．例2(2)－eq\f(3,4)3/4原式＝eq\f(－sinα,sinα＋cosα)－sinα/sinα＋cosα＝eq\f(－tanα,tanα＋1)－tanα/tanα＋1＝－eq\f(3,4)3/4．例2(3)0cos(130°－α)＝－cos(50°＋α)＝－eq\f(1,3)1/3，sin(40°－α)＝cos(50°＋α)＝eq\f(1,3)1/3，相加得0．变式2(1)eq\f(4,3)4/3原方程化为－cosα＋2sinα＝0，tanα＝eq\f(1,2)1/2，故tan2α＝eq\f(1,1－1/4)1/1－1/4＝eq\f(4,3)4/3．变式2(2)－√15/4eq\f(π,3)π/3－x与eq\f(2π,3)2π/3＋x互补，故coseq\f(2π,3)2π/3＋x＝－coseq\f(π,3)π/3－x＝－√15/4．例3(1)【证明】sin(2π－α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，sin(9π/2＋α)＝cosα，故f(α)＝eq\f(sinαcosα,cosα)sinαcosα/cosα＝sinα，得证．例3(2)－eq\f(5,3)5/3sinα＝eq\f(4,5)4/5，第二象限得cosα＝－eq\f(3,5)3/5，tanα＝－eq\f(4,3)4/3；√eq\f(1＋cosα,1－cosα)1＋cosα/1－cosα＝eq\f(1,2)1/2；故原式＝－eq\f(4,3)4/3·eq\f(1,2)1/2－1＝－eq\f(5,3)5/3．随堂内化1．A点P(－eq\f(5,13)5/13，eq\f(12,13)12/13)在单位圆上，sinα＝eq\f(12,13)12/13，故coseq\f(π,2)π/2＋α＝－sinα＝－eq\f(12,13)12/13．2．CDA错，该式对任意角成立；B错，n为奇数时cosα＝－eq\f(1,3)1/3；C对；D对，由sinα＋cosα＝1平方得sinαcosα＝0．3．eq\f(7,10)7/10sin2α＋cos2$α＝eq\f(2tanα＋1,tan²$α＋1)2tanα＋1/tan²$α＋1＝eq\f(6＋1,10)6＋1/10＝eq\f(7,10)7/10．4．－√2/2因sinα＞cosα，且(cosα－sinα)2＝1－eq\f(1,2)1/2＝eq\f(1,2)1/2，故cosα－sinα＝－√2/2．配套精练1．Aeq\f(cos²$α,1－sinα)cos²$α/1－sinα＝1＋sinα；由tanα＝－2且α∈eq\f(π,2)π/2，π得sinα＝2√5/5，故原式＝1＋2√5/5．2．Asin2α＝eq\f(120,169)120/169，联立得sinα＝eq\f(12,13)12/13，cosα＝eq\f(5,13)5/13，故cos2α＝－eq\f(119,169)119/169，tan2α＝－eq\f(120,119)120/119．3．A由tan2α＝eq\f(2sinαcosα,cos²$α－sin²$α)2sinαcosα/cos²$α－sin²$α＝eq\f(cosα,3－sinα)cosα/3－sinα，约去cosα得6sinα＝1，故sinα＝eq\f(1,6)1/6，tanα＝√35/35．4．B由定义cosα＝cosθ/√{cos²$θ＋4sin²$θ}＝eq\f(1,3)1/3，得cos2$θ＝eq\f(1,3)1/3，sin2$θ＝eq\f(2,3)2/3，故tan2$θ＝2．5．Dtanα＝2，故1－cos2α＝2sin2$α＝eq\f(2×4,5)2×4/5＝eq\f(8,5)8/5．6．A√{1＋sin2θ}＝sinθ＋cosθ，故tan2θ＝eq\f(2,tanθ＋1)2/tanθ＋1；设t＝tanθ，则eq\f(2t,1－t²)2t/1－t²＝eq\f(2,t＋1)2/t＋1，解得t＝eq\f(1,2)1/2．7．B由eq\f(4tanα,1－tan²$α)4tanα/1－tan²$α＝eq\f(8,3)8/3得2tan2$α＋3tanα－2＝0，解得tanα＝