初三数学阅读与思考：黄金分割数-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期第一学期课题阅读与思考：黄金分割数教科书书名：《数学》九年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.了解黄金分割数的意义.2.了解黄金分割数的应用.教学重点：了解黄金分割数的意义.教学难点：了解黄金分割数的意义.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟活动1问题引入同学们好，下面这些图片中，有建筑物，有植物，有画像也有雕塑，它们都给人一种美和和谐的感受，你知道其中的奥秘吗？原来它们都和一个神秘的数字有关系，这节课老师就和你们一起来探索吧！10分钟活动2概念探索在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题，要使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？首先，我们将条件标注在图上：AACCBB我们将雕像抽象为线段，肚脐的位置标志为点C，这个问题就转化为了纯数学符号的描述形式，我们把实际图形去掉，得到：根据题目条件，C把AB分为AC和BC两段，其中AC是较小的一段，现要使.接下来要引入未知量将这个等式转化为方程来求解，由于我们要计算的是比值，简单起见，我们可以设AB=1,CB=x,则，代入，得到,整理得.解方程，得.根据问题的实际意义，取，这个值就是问题中所求的高度比.有同学也许会问，把线段的长度设为1是不是太特殊了，是不是失去了一般性呢？那我们不妨试试看，如果我们设线段AB=a，CB=x,则AC=a-x，这样代入得到结合实际意义，解得，同样可以得到高度比为我们也可以从中发现，当所求为比值时，设总量为单位1能够将问题简化同时不失一般性，这也是我们处理数学问题的常用方法.人们把这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.这个分割点叫做黄金分割点，称1:0.618为黄金分割比.一些美术家认为，如果人的上、下身长之比接近黄金分割数，那么可以增加美感.据说，一些名画和雕塑中的人体都符合这个比例.比如，著名的女神维纳斯的雕像就符合这个比例.5分钟活动3确定线段黄金分割点的作图同学们，请思考这个问题：每一条线段都存在黄金分割点吗？我们如何通过作图确定这个点的位置？回忆求黄金分割数的过程，如果线段AB的长度为a，我们只需要作出就可以确定点C的位置了，可是CB长是无理数，怎么构造出来呢？首先我们先尝试将表示线段CB的代数式变形，得到：，我们首先想办法构造，一步步来，看到，我们回忆一下在学习勾股定理那一章的时候，我们是如何在数轴上找到无理数对应的点？对了，是利用直角三角形的勾股定理来构造，如果一个直角三角形的两条直角边为1和2，那么根据勾股定理可得斜边长为而我们要作出的是，只需作出两直角边为的直角三角形，就可以得到斜边长为也就是我们先做一条线段AB,再作BD⊥AB且BD=12AB,连接AD，这样就得到了一个两直角边分别为的直角三角形，由勾股定理可得斜边长为.再截取DE=BD，此时AE=最后截取BC=AE，此时，可得线段AB的黄金分割点C.同学们发现了吗？如果最后截取AC=AE，,可以得到线段AB的另一个黄金分割点也就是说，点C和点C’都是线段AB的黄金分割点，即一条线段都存在两个黄金分割点。8分钟活动四黄金分割数的应用长期以来，很多人认为黄金分割数是一个特别的数，它除了能够在雕塑和绘画中增加美感之外，还有什么应用呢？我们来看国旗上的正五角星，就是黄金分割数美的体现，其中，通过这个等式，你能否发现，N点是线段BM、BE、AP、AC的黄金分割点，你还能找出图中其他的黄金分割点吗？当然M、P、Q、R点也是4条线段的黄金分割点，这样我们就给正五角星的庄严雄健之美找到了数学的依据啦！在建筑范畴中，巴台农神庙是具有黄金分割比例代表意义的建筑，它被赞颂为世界艺术史上最完美的古典建筑之一，神庙采用圆柱式结构，侧墙东西宽31米，山墙顶离地19米，即东西立面高与宽之比为19:31，接近黄金分割数，让人觉得神庙非常雄伟和优雅.1919米3131米人们也将短边与长边之比为黄金分割数的矩形称为黄金矩形.如果把这个矩形抽象为矩形ABCD以AB为边在矩形内部作正方形ABFE，你能证明矩形EFCD仍为黄金矩形吗？通过计算我们可以发现继续这样分割下去，我们就可以得到黄金螺旋像不像鹦鹉螺壳，我们不禁感叹