北师大版2025高二年级数学上测试卷

北师大版2025高二年级数学上测试卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x+3)在(a>1)的条件下，其图像不经过的象限是

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且f(1)=1，则下列说法正确的是

A.a必须为0

B.b必须为0

C.c必须为0

D.d必须为0

3.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是

A.x-y=1

B.x+y=3

C.x-y=-1

D.x+y=-1

4.若函数f(x)=sin(x+α)的图像关于y轴对称，则α的可能值是

A.π/2

B.π

C.3π/2

D.2π

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_2=5，则S_5的值为

A.20

B.25

C.30

D.35

6.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值为

A.e

B.e^2

C.1/e

D.1/e^2

7.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心C的坐标是

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

8.若函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知点P在直线l:2x+y=4上，且点P到原点的距离最小，则点P的坐标是

A.(0,4)

B.(2,0)

C.(1,2)

D.(0,0)

10.若函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称，则k的值为

A.1

B.-1

C.2

D.-2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

2.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则f(1)的值为

3.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的斜率是

4.若函数f(x)=sin(2x+α)的图像关于y轴对称，则α的可能值是(用kπ表示)

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_2=5，则S_5的值为

6.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值为

7.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心C到原点的距离是

8.若函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为

9.已知点P在直线l:2x+y=4上，且点P到原点的距离最小，则点P的坐标是

10.若函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称，则k的值为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

2.下列直线中，经过点(1,2)的是

A.l:x-y=1

B.l:x+y=3

C.l:x-y=-1

D.l:x+y=-1

3.下列函数中，图像关于y轴对称的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=cot(x)

4.下列数列中，是等差数列的是

A.{a_n}=n

B.{a_n}=2n

C.{a_n}=n^2

D.{a_n}=2^n

5.下列圆的方程中，圆心在x轴上的是

A.(x-1)^2+(y+2)^2=4

B.(x+1)^2+(y-2)^2=4

C.(x-2)^2+(y+1)^2=4

D.(x+2)^2+(y-1)^2=4

6.下列函数中，在x=1处取得极小值的是

A.f(x)=x^2-2x+1

B.f(x)=x^2+2x+1

C.f(x)=x^3-3x+2

D.f(x)=x^3+3x+2

7.下列直线中，垂直于直线l:x-y=1的是

A.l:x+y=1

B.l:x-y=-1

C.l:x+y=-1

D.l:x-y=2

8.下列函数中，图像关于原点对称的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=cos(x)

9.下列数列中，是等比数列的是

A.{a_n}=2^n

B.{a_n}=3^n

C.{a_n}=n^2

D.{a_n}=n

10.下列圆的方程中，半径为2的是

A.(x-1)^2+(y+2)^2=4

B.(x+1)^2+(y-2)^2=4

C.(x-2)^2+(y+1)^2=4

D.(x+2)^2+(y-1)^2=4

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在x=0处取得极值

2.直线l:2x+y=4经过点(1,1)

3.函数f(x)=sin(x)的图像关于原点对称

4.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_2=5，则S_5=20

5.函数f(x)=e^x在x=0处取得极小值

6.圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心C到原点的距离为3

7.函数f(x)=x^2-2x+3在x=1处取得最小值

8.点P在直线l:2x+y=4上，且点P到原点的距离最小，则点P的坐标为(2,0)

9.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称

10.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+5的最小值

2.求过点A(1,2)和B(3,0)的直线方程

3.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，已知a_1=2，a_2=5

4.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值时a的值

5.求圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心坐标

6.求函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值时a的值

7.求点P在直线l:2x+y=4上，且点P到原点的距离最小时的点P坐标

8.求函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称时k的值

9.求函数f(x)=sin(x)的图像关于y轴对称时α的可能值

10.求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值时的极值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D

解析：当a>1时，log_a(x+3)的图像在y轴右侧（x>-3）时，随着x增大，y增大，图像经过第一象限；在y轴左侧（x<-3）时，随着x减小，y减小，图像经过第三象限。由于a>1，图像不经过第四象限。

2.B

解析：f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，则f'(1)=3ax^2+2bx+c=0。且f(1)=a+b+c+d=1。由于f'(1)=0，可得3a+2b+c=0。若a不为0，则b和c必须满足特定关系，不一定为0。但若b必须为0，则3a+c=0，结合a+c+d=1，解得a=1/2,c=-3/2,d=1/2，此时f(x)=(1/2)x^3-3/2x+1/2，f'(x)=3/2x^2-3/2，f'(1)=0，f(1)=1/2-3/2+1/2=0≠1，矛盾。所以b必须为0。

3.A

解析：线段AB的中点M坐标为((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。线段AB的斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1。垂直平分线的斜率为k=-1/k_AB=1。所以方程为y-1=1(x-2)，即x-y=1。

4.B

解析：f(x)=sin(x+α)图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)。sin(x+α)=sin(-x+α)。利用sin(-θ)=-sin(θ)，得sin(x+α)=-sin(x-α)。利用sin(θ)=-sin(π-θ)，得sin(x+α)=sin(π-(x-α))=sin(π-x+α)。所以π-x+α=x+α+2kπ或π-x+α=π-x-α+2kπ。第一个等式化简为-x=x+2kπ，得x=-kπ。这不是对所有x都成立。第二个等式化简为2α=2kπ，得α=kπ。由于sin(x)和-sin(x)关于y轴对称，所以α=kπ+π/2。又因为α=kπ，所以α必须为π的整数倍。只有α=π满足条件（k=1时）。

5.C

解析：等差数列{a_n}的公差d=a_2-a_1=5-2=3。S_5=5/2*(a_1+a_5)=5/2*(a_1+a_1+4d)=5/2*(2a_1+4d)=5/2*(4+12)=5/2*16=40。或者S_5=5/2*(2a_1+(5-1)d)=5/2*(4+12)=40。

6.A

解析：f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则f'(1)=e^1-a=e-a=0，解得a=e。此时f''(x)=e^x-0=e^x，f''(1)=e>0，所以x=1处取得极小值。因此a=e。

7.A

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，圆心坐标为(1,-2)。

8.A

解析：函数f(x)=x^2-2ax+3是二次函数，开口向上。其顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/2a)=(-(-2a)/(2*1),3-(-2a)^2/(2*1))=(a,3-a^2)。顶点即为最小值点，所以顶点的y坐标是最小值。题目说在x=1处取得最小值，即顶点的x坐标为1，所以a=1。此时最小值为3-1^2=2。但这与题目条件似乎矛盾，因为题目问的是a的值，而不是最小值。可能是题目表述有误，或者理解为求顶点x=1时，a的值为多少。若顶点x=1，则a=1。若理解为最小值f(1)最小，则a=1时f(1)=2最小。若理解为顶点在x=1处，则a=1。题目问a的值，取a=1。

9.B

解析：点P在直线l:2x+y=4上，点P到原点的距离为√(x^2+y^2)。将y=4-2x代入，距离为d(x)=√(x^2+(4-2x)^2)=√(x^2+4x^2-16x+16)=√(5x^2-16x+16)。求d(x)的最小值，等价于求d(x)^2=5x^2-16x+16的最小值。这是一个开口向上的二次函数，最小值在顶点x=-b/2a=-(-16)/(2*5)=8/5处取得。此时y=4-2*(8/5)=4-16/5=4/5。所以点P坐标为(8/5,4/5)。

10.B

解析：函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称，则f(-x)=-f(x)。tan(-x-π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(-θ)=-tan(θ)，得-tan(x-π/4)=-tan(x-π/4)，恒成立。但这不能保证图像关于原点对称。需要f(x+T)=-f(x)，对任意x成立。tan((x+T)-π/4)=-tan(x-π/4)。tan(x-π/4+T)=-tan(x-π/4)。利用tan(θ+T)=(tan(θ)+tan(T))/(1-tan(θ)tan(T))，设k为使得tan(kπ)=1的整数（k=1时），得tan(x-π/4+kπ)=-tan(x-π/4)。即tan(x-π/4+π)=-tan(x-π/4)。利用tan(π+θ)=tan(θ)，得tan(x-π/4+π)=tan(x-π/4)。这意味着tan(T)=0，即T=kπ。当T=π时，f(x+π)=tan((x+π)-π/4)=tan(x+3π/4)。而-f(x)=-tan(x-π/4)。需要tan(x+3π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(π-θ)=-tan(θ)，得tan(π-(x-π/4))=-tan(x-π/4)。即tan(π-x+π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(π-θ)=-tan(θ)，得-tan(x-π/4)=-tan(x-π/4)，恒成立。所以当T=π时，f(x+π)=-f(x)，图像关于原点对称。kπ中k=1时最简单，α=π。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|。分段讨论：当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1。当-2≤x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3。当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1。函数在x=-2和x=1处可能取得最小值。f(-2)=-2*(-2)-1=4-1=3。f(1)=2*1+1=3。在区间(-2,1)内，f(x)=3。所以最小值为3。

2.0

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x。f'(x)=3x^2-6x+2x=3x^2-4x。令f'(x)=0，得3x(x-4/3)=0，x=0或x=4/3。f(1)=1^3-3*1^2+2*1=1-3+2=0。f(4/3)=(4/3)^3-3*(4/3)^2+2*(4/3)=64/27-48/9+8/3=64/27-144/27+72/27=-8/27。f(1)=0，f(4/3)=-8/27。在x=1处取得极值，且f(1)=0。所以f(1)的值为0。

3.-1

解析：斜率k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。

4.kπ，k∈Z

解析：α=kπ，k∈Z。

5.20

解析：同选择题第5题解析，S_5=40。

6.e

解析：同选择题第6题解析，a=e。

7.√5

解析：圆心C(1,-2)到原点O(0,0)的距离d=√((1-0)^2+(-2-0)^2)=√(1+4)=√5。

8.1

解析：同选择题第8题解析，a=1。

9.(2,0)

解析：同选择题第9题解析，点P坐标为(2,0)。

10.kπ+π/4，k∈Z

解析：f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称，则f(-x)=-f(x)。tan(-x-π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(-θ)=-tan(θ)，得-tan(x-π/4)=-tan(x-π/4)，恒成立。但这不能保证图像关于原点对称。需要f(x+T)=-f(x)，对任意x成立。tan((x+T)-π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(θ+T)=(tan(θ)+tan(T))/(1-tan(θ)tan(T))，设k为使得tan(kπ)=1的整数（k=1时），得tan(x-π/4+kπ)=-tan(x-π/4)。即tan(x-π/4+π)=tan(x-π/4)。这意味着tan(T)=0，即T=kπ。当T=π时，f(x+π)=tan((x+π)-π/4)=tan(x+3π/4)。而-f(x)=-tan(x-π/4)。需要tan(x+3π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(π-θ)=-tan(θ)，得tan(π-(x-π/4))=-tan(x-π/4)。即tan(π-x+π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(π-θ)=-tan(θ)，得-tan(x-π/4)=-tan(x-π/4)，恒成立。所以当T=π时，f(x+π)=-f(x)，图像关于原点对称。kπ中k=1时最简单，α=π。或者考虑周期性，若f(x)关于原点对称，则f(x+T)=-f(x)。tan((x+T)-π/4)=-tan(x-π/4)。tan(x-π/4+T)=-tan(x-π/4)。利用周期性质，得tan(T)=0。所以α+kπ=0，α=-kπ。k=1时，α=-π。k=-1时，α=π。最简周期解为α=π。或者考虑f(x)=tan(x-π/4)，f(-x)=tan(-x-π/4)=-tan(x+π/4)。要使f(-x)=-f(x)，需-tan(x+π/4)=-tan(x-π/4)，即tan(x+π/4)=tan(x-π/4)。这意味着x+π/4=x-π/4+kπ，得π/4=kπ，k=1。所以α=π。

三、多选题答案及解析

1.B,D

解析：f(x)=x^3，f'(x)=3x^2。f'(0)=0，f''(x)=6x。f''(0)=0，f'''(x)=6。f'''(0)≠0，所以x=0处取得极值（拐点）。f(x)=x^4，f'(x)=4x^3。f'(0)=0，f''(x)=12x^2。f''(0)=0，f'''(x)=24x。f'''(0)≠0，所以x=0处取得极值（拐点）。f(x)=x^2，f'(x)=2x。f'(0)=0，f''(x)=2。f''(0)=2>0，所以x=0处取得极小值。f(x)=x^5，f'(x)=5x^4。f'(0)=0，f''(x)=20x^3。f''(0)=0，f'''(x)=60x^2。f'''(0)=0，f''''(x)=120x。f''''(0)≠0，所以x=0处取得极值（拐点）。

2.A,B

解析：A.x-y=1=>y=x-1。代入(1,2)，2=1-1，不成立。B.x+y=3。代入(1,2)，1+2=3，成立。C.x-y=-1=>y=x+1。代入(1,2)，2=1+1，不成立。D.x+y=-1=>y=-x-1。代入(1,2)，2=-1-1，不成立。

3.B,D

解析：A.f(x)=sin(x)。图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)，sin(x)=sin(-x)，恒成立。B.f(x)=cos(x)。图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)，cos(x)=cos(-x)，恒成立。C.f(x)=tan(x)。图像不关于原点对称，也不关于y轴对称。D.f(x)=cot(x)。图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)，cot(x)=cot(-x)，恒成立。

4.A,B

解析：A.{a_n}=n。a_n-a_{n-1}=n-(n-1)=1。是等差数列。B.{a_n}=2n。a_n-a_{n-1}=2n-2(n-1)=2。是等差数列。C.{a_n}=n^2。a_n-a_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1。不是等差数列。D.{a_n}=2^n。a_n-a_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^n-2^n/2=2^{n-1}。不是等差数列。

5.B,D

解析：A.(x-1)^2+(y+2)^2=4。圆心(1,-2)，不在x轴上。B.(x+1)^2+(y-2)^2=4。圆心(-1,2)，在x轴上。C.(x-2)^2+(y+1)^2=4。圆心(2,-1)，不在x轴上。D.(x+2)^2+(y-1)^2=4。圆心(-2,1)，在x轴上。

6.A,C

解析：A.f(x)=x^2-2x+1。f'(x)=2x-2。f'(1)=0，f''(x)=2。f''(1)=2>0，极小值。B.f(x)=x^2+2x+1。f'(x)=2x+2。f'(1)=4≠0，无极值。C.f(x)=x^3-3x+2。f'(x)=3x^2-3。f'(1)=0，f''(x)=6x。f''(1)=6>0，极小值。D.f(x)=x^3+3x+2。f'(x)=3x^2+3。f'(1)=6≠0，无极值。

7.A,D

解析：A.l:x-y=1=>y=x-1。垂直于l:x-y=1的直线斜率为1。A.l:x+y=1=>y=-x+1。斜率为-1。不垂直。B.l:x+y=-1=>y=-x-1。斜率为-1。不垂直。C.l:x-y=-1=>y=x+1。斜率为1。垂直。D.l:x-y=2=>y=x-2。斜率为1。垂直。B.l:x-y=1=>y=x-1。垂直于l:x-y=1的直线斜率为1。A.l:x+y=1=>y=-x+1。斜率为-1。不垂直。B.l:x+y=-1=>y=-x-1。斜率为-1。不垂直。C.l:x-y=-1=>y=x+1。斜率为1。垂直。D.l:x-y=2=>y=x-2。斜率为1。垂直。

8.A,C

解析：A.f(x)=x^3。图像关于原点对称，f(-x)=-x^3=-f(x)。B.f(x)=x^2。图像关于y轴对称，f(-x)=x^2=f(x)。C.f(x)=sin(x)。图像关于原点对称，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。D.f(x)=cos(x)。图像关于y轴对称，f(-x)=cos(-x)=cos(x)=f(x)。

9.A,B

解析：A.{a_n}=2^n。a_n/a_{n-1}=2^n/2^{n-1}=2。是等比数列。B.{a_n}=3^n。a_n/a_{n-1}=3^n/3^{n-1}=3。是等比数列。C.{a_n}=n^2。a_n/a_{n-1}=n^2/(n-1)^2。不恒等于常数。不是等比数列。D.{a_n}=n。a_n/a_{n-1}=n/(n-1)。不恒等于常数。不是等比数列。

10.A,B,D

解析：圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。半径r为√(h^2+k^2)。A.(x-1)^2+(y+2)^2=4。r^2=4，r=2。B.(x+1)^2+(y-2)^2=4。r^2=4，r=2。C.(x-2)^2+(y+1)^2=4。r^2=4，r=2。D.(x+2)^2+(y-1)^2=4。r^2=4，r=2。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：f(x)=x^3，f'(x)=3x^2。f'(0)=0，但f''(x)=6x，f''(0)=0。f'''(x)=6，f'''(0)≠0。x=0是拐点，不是极值点。

2.错误

解析：直线l:2x+y=4。代入(1,1)，2*1+1=2+1=3≠4。所以不经过(1,1)。

3.错误

解析：f(x)=sin(x)的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。sin(-x)=-sin(x)，恒成立。所以图像关于原点对称。

4.正确

解析：同填空题第5题解析，S_5=40。

5.正确

解析：同选择题第6题解析，a=e。f(x)=e^x-ex。f'(x)=e^x-e。f'(1)=e-e=0。f''(x)=e^x-0=e^x。f''(1)=e>0。所以x=1处取得极小值。

6.正确

解析：圆心C(1,-2)到原点O(0,0)的距离d=√(1^2+(-2)^2)=√(1+4)=√5。

7.正确

解析：f(x)=x^2-2x+3。f'(x)=2x-2。f'(1)=0。f''(x)=2。f''(1)=2>0。所以x=1处取得极小值。

8.错误

解析：点P在直线l:2x+y=4上，且点P到原点的距离最小。设P(x,y)，y=4-2x。距离d=√(x^2+y^2)=√(x^2+(4-2x)^2)=√(5x^2-16x+16)。求d最小，等价于求d^2=5x^2-16x+16最小。顶点x=-b/2a=16/(2*5)=8/5。此时y=4-2*(8/5)=4/5。点P坐标为(8/5,4/5)。

9.错误

解析：f(x)=tan(x-π/4)的图像关于原点对称，则f(-x)=-f(x)。tan(-x-π/4)=-tan(x-π/4)。利用tan(-θ)=-tan(θ)，得-tan(x-π/4)=-tan(x-π/4)，恒成立。但这不能保证图像关于原点对称。需要f(x+T)=-f(x)，对任意x成立。tan((x+T)-π/4)=-tan(x-π/4)。利用周期性质，得tan(T)=0。所以α+kπ=0，α=-kπ。k=1时，α=-π。k=-1时，α=π。最简周期解为α=π。

10.正确

解析：f(x)=x^3-3x+2。f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得3(x^2-1)=0，x=±1。f''(x)=6x。f''(1)=6>0，x=1处取得极小值。f''(-1)=-6<0，x=-1处取得极大值。所以x=1处取得极值。

五、问答题答案及解析

1.解：f(x)=x^2-4x+5。f(x)=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1。该函数是开口向上的抛物线，顶点为(2,1)。所以最小值为1。

2.解：过点A(1,2)和B(3,0)的直线斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。直线方程为y-y_1=k(x-x_1)，代入A(1,2)，y-2=-1(x-1)，即y-2=-x+1，得x+y=3。

3.解：等差数列{a_n}的公差d=a_2-