北师大版数学 第四章 基本平面图形（暑假单元自测） 新七年级 (1) 试卷 含答案

第四章基本平面图形单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．利用隧道把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是（

）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．直线没有端点 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】本题主要考查两点之间线段最短的性质，弯曲公路改直缩短路程，正是应用了这一性质．【详解】解：∵两点之间，线段最短，∴将弯曲公路改直后，路程缩短，这体现了“两点之间，线段最短”的道理．故选：A．2．将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据求出，再根据求解即可．【详解】解：，，，，．3．如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可．【详解】解：∵，平分，∴．∵，∴．4．如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中点的定义，求出、的长，再根据题意求出，结合图形计算即可．【详解】解：∵，C是中点，∴，又∵，∴，∴．5．下列换算中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案．【详解】解：对A选项：，故A错误；对B选项：，故B正确；对C选项：，故C错误；对D选项：，故D错误．6．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解．【详解】解：，∴．7．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解．【详解】解：∵点C，D把线段三等分，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴∴，∴，故选：C．8．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、的度数，最后根据平角解答即可．【详解】解：六边形是正六边形，正六边形的每个外角，每个内角，，，，，由题意可得：，，．9．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意可得，，再根据角的和差可得，，结合平角，即可求得．【详解】解：∵是直角，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．10．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据，两点的距离为，与点的距离是，到点的距离是，得出规律到点的距离是，即可解答．【详解】由题知，因为数轴上，两点的距离为，因为点为的中点，所以点与点的距离是；因为点为的中点，所以点到点的距离是；依次类推，点到点的距离是是；点到点的距离是；所以点到点的距离是，当时，点与点的距离是，故答案为：．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，从一艘船上测得灯塔方向是北偏西，那么这艘船在这个灯塔的________方向．【答案】南偏东【详解】解：如图，由于船上测得一个灯塔的方向是北偏西，那么这艘船在这个灯塔的南偏东．12．__________________．【答案】【详解】解：，，则．13．如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____．【答案】3【分析】利用线段中点的含义及线段的和差运算即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴点D，E分别为和的中点，∴，，∴．14．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________．【答案】【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴．15．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________．①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变．【答案】②④/④②【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④．【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧，∴点对应的数是，故①错误；由题意得：，∴时，点到达点，故②正确；分两种情况：当点在点的右侧，，，，时，；当点在点的左侧，，，，时，，综上所述，时，或4，故③错误；分两种情况：当点在点的右侧，∵分别为的中点，，，当点在点的左侧，∵分别为的中点，∴，，∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确．所以，上述结论中正确的是②④．16．如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______．【答案】36【分析】由角的和差得，由补角的定义得，即可求解．【详解】解：因为，，所以．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角度的和差计算，度分秒的换算．（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可；（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．18．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形；(1)画射线；(2)画直线；(3)连接，并延长至点R，使．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：如图所示．（2）解：如图所示．（3）解：如图所示．19．如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧．(1)若线段的长为，求线段的长．(2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长．【答案】(1)．(2)或．【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键．（1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出、的长度，再用减去得到的长．（2）先根据判断在延长线上，分在左侧、在右侧两种情况，结合的长度，利用线段和差计算的长．【详解】（1）解：∵是的中点，，∴．∵是的三等分点且在左侧，∴．∴．（2）解：∵，若在上，则，而，∴在线段的延长线上或在线段的延长线上．情况：在的右侧时，∵是的三等分点，∴．设，则，∴，解得，即．∴．∴．情况：在的左侧设，则，∴，解得，即．∴．综上，或．20．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解；（2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解．【详解】（1）解：平分，，，又，；（2）解：设，则，，平分，，，，，，，解得，．21．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起．(1)如图1若，求的度数；若，求的度数；(2)如图2若，求的度数；(3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）利用角的和差进行求解；（2）利用角的和差进行求解；（3）利用角的和差进行证明．【详解】（1）解：，，，；，；（2）解：，；（3）解：，理由如下，，．22．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足．(1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示）(2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由；(3)当时，绿地的面积为______．（取）【答案】(1)，(2)小华的设计方案符合要求，理由见解析(3)【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小；（1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可；（2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论；（3）把代入绿地面积的代数式即可．【详解】（1）解：游泳区：，休息区：；故答案为：，；（2）答：符合，理由如下：休闲场所面积为：，绿地面积：，∵，∴绿地面积大于休闲场所的一半面积，即：符合要求；（3）解：当时，，故答案为：．23．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．(1)如图2，是的三分线，，若，则；(2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数；(3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键．（1）根据三分线的定义求解即可；（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可；（3）根据四分线的定义分四种情况解答即可．【详解】（1）解：∵是的三分线，，若，∴．故答案为：．（2）解：∵，是的四分线，，，∵是三分线，∴①如图：当时，，；②如图：当时，，．综上，的度数为或．（3）解：∵，射线、是的两条三分线∴，①如图，当是的四分线时，，∴，解得：，∴，∴；②如图，当是的四分线且时，∴，∴；③如图，当是的四分线且时，∴，∴；④如图，当是的四分线时，，∴，解得：，∴．∴的值为或或或．24．A、D两地相距，B地位于A、D之间．(1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离．(2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离．(3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键．（1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解；（2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到；（3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围．【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处，∴，∵地恰好位于B