电路第五版邱关源第7章一阶电路和二阶电路的时域分析-第8章相量法

动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应7.2一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*一阶电路的零状态响应7.3卷积积分7.9*一阶电路的全响应7.4状态方程7.10*二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6动态电路时域分析中的几个问题7.11*首页本章重点第7章一阶电路和二阶电路的时域分析一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；

重点一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；返回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1.动态电路7.1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。下页上页特点返回例0ti过渡期为零电阻电路下页上页+-usR1R2（t=0）i返回i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路下页上页k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下页上页k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期返回下页上页

(t→

)+–uLUsRi+-k未动作前，电路处于稳定状态：uL=0,i=Us/Rk断开瞬间i=0,uL=

工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。注意k

(t→

)+–uLUsRi+-返回过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化下页上页返回应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方程下页上页

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路返回应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页

(t>0)+–uLUsRi+-RL电路返回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论

含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返回二阶电路下页上页

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC电路应用KVL和元件的VCR得：

含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返回一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；下页上页返回复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励下页上页直流时返回

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。下页上页注意0f(t)0－0＋t返回图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例解特征根方程：通解：代入初始条件得：

在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。下页上页明确R－+CiuC(t=0)返回t=0+

时刻iucC+-电容的初始条件0下页上页当i()为有限值时返回q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒下页上页结论返回电感的初始条件t=0+时刻0下页上页当u为有限值时iLuL+-返回

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。下页上页结论返回

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)电容开路下页上页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路下页上页iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页小结返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－电路得：下页上页由0+电路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－电路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解下页上页由0－电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0－值给出0＋等效电路下页上页例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0uR=Ri零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回下页上页或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;下页上页表明返回时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义下页上页返回a.

:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过3

－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回

＝

t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0

t1t2次切距的长度下页上页返回b.

时间常数

的几何意义：能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页uCR+－C返回例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC4

5F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回下页上页例2求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：u

(0+)=u(0－)=20V返回u1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+下页上页uk4F++--i20V250k返回下页上页初始储能最终储能电阻耗能返回2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下页上页表明-RI0uLt0iL+–uLR返回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;下页上页令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：返回能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设

iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解下页上页iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路下页上页小结返回一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下页上页小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路返回动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常微分方程返回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解下页上页返回全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC(0+)=0

定积分常数

A下页上页从以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明+返回响应变化的快慢，由时间常数

＝RC决定；

大，充电慢，

小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回例t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC＝80V时的充电时间t

。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V下页上页500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t>0下页上页返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下页上页iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回全响应=

零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回例1t=0

时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：下页上页稳态分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下页上页全响应：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：下页上页特解返回

分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解下页上页直流激励时：A注意返回例1已知：t=0

时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下页上页1A2

1

3F+-uC返回例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：下页上页iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素为：下页上页0＋等效电路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：下页上页4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素为：返回下页上页+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解下页上页例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下页上页i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下页上页it(s)0.25(A)1.2620返回7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：下页上页RLC+-iuc返回特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下页上页返回2.零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下页上页返回下页上页返回U0tuc设|P2|>|P1|下页上页0电容电压返回t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

时ic

最大tmic下页上页tU0uc0电容和电感电流返回U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大下页上页RLC+-t0电感电压返回iC=i为极值时，即uL=0时的

tm

计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的

t.下页上页返回能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加。t>tmuC减小，i

减小.下页上页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回uc

的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回δωω0

下页上页ω，ω０，δ的关系返回t=0时

uc=U0uC=0：t=-，2-...n-t-2-2

0U0uC下页上页返回t-2-2

0U0uC

iC

uL=0：t=，+，2+...n+ic=0：t=0，

，2...n，为

uc极值点，ic的极值点为uL零点。下页上页返回能量转换关系：0<t<<t<--<t<t-2-2

0U0uc

iC下页上页RLC+-RLC+-RLC+-返回特例：R=0时等幅振荡t下页上页LC+-0返回下页上页相等负实根返回下页上页返回定常数可推广应用于一般二阶电路下页上页小结返回电路如图，t=0时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为：

50P2+2500P+106=0例1（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：下页上页5Ω100

F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC返回(3)

t0uC35625下页上页返回7.6二阶电路的零状态响应和全响应uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：通解特解特解:

特征方程为:下页上页RLC+-uCiLUS

(t)+-例1.二阶电路的零状态响应返回uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回求电流i的零状态响应。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先写微分方程解下页上页2-ii1例二阶非齐次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根为：

P1=－2，P2=－6解答形式为：第三步求特解i'由稳态模型有：i'=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2下页上页第二步求通解返回稳态模型+u1-2

i2A0.5u12

第四步定常数由0+电路模型：下页上页返回+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)2.二阶电路的全响应已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR(1)

列微分方程(2)求特解解下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiC例应用结点法：返回(3)求通解特征根为：

P=-100j100(4)定常数特征方程为：下页上页返回(5)求iR或设解答形式为：定常数下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiCRiR-50V50

+iC2A返回下页上页返回二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。下页上页小结返回求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量上页返回上页7.7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t

(t)01

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001下页上页返回t=0合闸

i(t)=Is在电路中模拟开关的动作t=0合闸

u(t)=E

单位阶跃函数的作用下页上页SUSu(t)u(t)返回Isku(t)起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数下页上页tf(t)0t0返回

用单位阶跃函数表示复杂的信号例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-

(t-t0)例21t1f(t)0243下页上页返回例41t1f(t)0例31t1f(t)0243下页上页返回例5t1

02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1u(t)0－22t1

0－11t1

01

t1021下页上页返回和的区别2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下页上页iC+–uCRuC(0－)=0注意返回t01it0i下页上页tuC10返回tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)-t不要写为：下页上页iC

(t-t0)C+–uCRt0注意返回求图示电路中电流iC(t）例下页上页10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效返回应用叠加定理下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：返回由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F返回下页上页分段表示为：返回分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368下页上页返回2.二阶电路的阶跃响应下页上页对电路应用KCL列结点电流方程有已知图示电路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求单位阶跃响应iL(t）例解返回iS0.25H0.2

2FiRiLiC0.5iC下页上页代入已知参数并整理得： 这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为特解特征方程通解解得特征根返回下页上页代初始条件阶跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。返回7.8*

一阶电路和二阶电路的冲激响应1.单位冲激函数

定义t(t)10单位脉冲函数的极限/21/

tp(t)-/2下页上页返回

单位冲激函数的延迟t

(t-t0)t00（1）

单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数下页上页返回冲激函数的‘筛分性’

同理例t

(t)10f(t)f(0)

f(t)在t0处连续f(0)

(t)注意下页上页返回uc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为(1)

t

在

0－

→

0+间例12.一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。解注意下页上页返回uC(0－)=0iCR

(t)C+-uC电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2)t>0+

为零输入响应（RC放电）iCRC+uC－下页上页返回uCt0iCt10下页上页返回例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应解L+-iLR+-uLiL不是冲激函数,否则KVL不成立。注意0下页上页返回(1)

t

在

0－

→

0+间方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2)t>0+

RL放电LiLR+-uL下页上页返回iLt0uLt10下页上页返回零状态R(t)3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激

(t)单位阶跃

(t)激励响应下页上页返回先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).例解uC(0+)=0uC(

)=R

=RC

iC(0+)=1iC(

)=0再求单位冲激响应,令：下页上页返回令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC0下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页上页返回有限值有限值KVL方程为例4.二阶电路的冲激响应RLC+-+-uCiR

(t)求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。解t在0－至0＋间下页上页返回下页上页t>0+为零输入响应返回下页上页返回7.9*

卷积积分1.卷积积分定义设函数

f1(t),f2(t)

t<0

均为零

性质下页上页返回令

=t

-

d

=-

d

：0t

:t0证明下页上页2.卷积积分的应用激励e(t)响应r(t)线性网络零状态返回

将激励e(t)近似看成一系列具有相同宽度的矩形脉冲的叠加，下页上页激励e(t)响应r(t)线性网络零状态若冲激响应则物理解释返回下页上页

返回下页上页若单位脉冲函数p(t)

的零状态响应为

h

Δ(t)第1个矩形脉冲响应第k个矩形脉冲响应返回

根据叠加定理，t

时刻观察到的响应应为0~t

时间内所有激励产生的响应的和下页上页返回例1已知：R=500k,C=1F,uC(0)=0，求uC(t)下页上页先求电路的冲激响应h(t)解uC(

)=0返回RCiS+–uC再计算

时的响应

uC(t)例2下页上页设例1中的，求uC(t)解返回被积函数积分变量下页上页参变量f1(

)101

f2(-

)10由图解过程确定积分上下限返回

101e-2(-

)t01下页上页te-2(t-

)移t’卷积返回1.网络的状态与状态变量

网络状态

指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。

状态变量

电路的一组独立的动态变量X，

X=[x1,x2……xn]T，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。下页上页7.10*

状态方程返回

状态变量法下页上页

借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激励e(t)，就可以确定t>t0后电路的全部性状(响应)。状态变量X(t0)激励e(t)(t

t0)

Y(t)(t

t0)响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。返回已知:

求：解e(0)=10V例下页上页3

LCe(t)+iLiC+-uC-uo返回同理可推广至任一时刻t1由

(1)状态变量和储能元件有关

(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量

(3)状态变量的选择不唯一。求出下页上页表明返回设

uc、iL为状态变量整理得

每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。状态方程下页上页2.状态方程的列写3

LCe(t)+iLiC+-uC-uo返回矩阵形式

联立的一阶微分方程组

左端为状态变量的一阶导数

右端含状态变量和输入量下页上页特点返回一般形式下页上页返回电路的输出方程代数方程用状态变量和输入量表示输出量一般形式[Y]=[C][X]+[D][V]下页上页3

LCe(t)+iLiC+-uC-uC特点电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系返回下页上页例列出电路的状态方程L1CuS+iL1iS+-uC-R1R2iL2L21212解对结点①列出KCL方程返回下页上页对回路1和回路2列出KVL方程把以上方程整理成矩阵形式有返回下页上页若以结点①、②的电压作为输出，则有 整理并写成矩阵形式有 返回1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系

动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。下页上页7.11*

动态电路时域分析中的几个问题当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。例返回下页上页当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由uS决定。网络中与独立电流源串联的电感元件，其iL由iS决定。返回

以上四种请况中非独立的uC和iL不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于C、L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中C、L元件总数，下面着重讨论常态网络。下页上页CuS++-uC-R零阶电路返回iSRL2.动态电路中初始值的计算下页上页对于通常电路，初始值由下面关系确定 在下面情况下

换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各个电容上电压值uC(0-)的代数和不等于该回路中各个电压源初始值的代数和。返回上页换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），且结点上各电感的电流值iL(0-)与电流源电流的初始值的代数和不等于零，

在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即或

或 返回演讲完毕第8章

相量法

复数8.1正弦量8.2相量法的基础8.3电路定律的相量形式8.4首页本章重点2.正弦量的相量表示3.电路定理的相量形式

重点：1.正弦量的表示、相位差返回1.复数的表示形式FbReImao

|F|下页上页代数式指数式极坐标式三角函数式8.1复数返回几种表示法的关系：或2.复数运算加减运算——

采用代数式下页上页FbReImao

|F|返回则

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法下页上页F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返回乘除运算——

采用极坐标式若

F1=|F1|

1，F2=|F2|

2则:下页上页模相乘角相加模相除角相减返回例1

解下页上页例2解返回旋转因子复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠qF•ejqFReIm0F•ejq

下页上页旋转因子返回

+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。特殊旋转因子ReIm0下页上页注意返回8.2正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos(wt+y)ti0T周期T

和频率f频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：赫(兹)Hz单位：秒s正弦量为周期函数

f(t)=f(

t+kT)下页上页波形返回正弦电流电路

激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。下页上页优点返回正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。

对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。下页上页结论返回

幅值

(振幅、最大值)Im(2)角频率ω2.正弦量的三要素(3)

初相位y单位：

rad/s

，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(wt+y)下页上页返回同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：|

|

。

=0

=/2

=－/2下页上页iot

注意返回例已知正弦电流波形如图，

＝103rad/s，1.写出i(t)

表达式；2.求最大值发生的时间t1tio10050t1解由于最大值发生在计时起点右侧下页上页返回3.同频率正弦量的相位差设

u(t)=Umcos(wt+yu),i(t)=Imcos(wt+yi)相位差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi规定：|

|(180°)下页上页等于初相位之差返回j>0，u超前ij

角，或i

滞后

u

角,

(u

比i先到达最大值)；

j<0，

i

超前

uj

角，或u

滞后

ij

角,i比

u

先到达最大值）。下页上页返回

tu,iu

iyuyijoj＝0，同相j=(180o)

，反相特殊相位关系

tu

io

tu

io=p/2：u领先

ip/2

tu

io同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下页上页返回例计算下列两正弦量的相位差。下页上页解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。结论返回4.周期性电流、电压的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R直流IR交流i物理意义下页上页返回下页上页均方根值定义电压有效值：

正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+

)返回下页上页返回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若交流电压有效值为U=220V

，U=380V

其最大值为Um

311VUm

537V下页上页注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。下页上页返回8.3相量法的基础1.问题的提出电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：下页上页RLC+-uCiLu+-返回i1i1+i2

i3i2www角频率

同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量复数下页上页I1I2I3有效值

1

2

3初相位变换的思想

tu,ii1

i2oi3结论返回造一个复函数对F(t)取实部

任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。无物理意义是一个正弦量有物理意义3.正弦量的相量表示下页上页结论返回F(t)包含了三要素：I、

、

，复常数包含了两个要素：I

,

。F(t)还可以写成复常数