电路第五版邱关源第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱-第14章线性动态电路的复频率分析

第13章非正弦周期电流电路非正弦周期信号13.1周期函数分解为傅里叶级数13.2有效值、平均值和平均功率13.3非正弦周期电流电路的计算13.4对称三相电路中的高次谐波13.5首页本章重点和信号的频谱2.非正弦周期函数的有效值和平均功率

重点3.非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为傅里叶级数返回13.1非正弦周期信号

生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信号的特点(1)

不是正弦波(2)

按周期规律变化下页上页返回例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下页上页例1半波整流电路的输出信号返回脉冲电路中的脉冲信号Tt例3下页上页返回交直流共存电路例4+V

Es

下页上页返回

13.2周期函数分解为傅里叶级数若周期函数满足狄利赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：可展开成收敛的傅里叶级数注意

一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。下页上页返回直流分量基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）

高次谐波周期函数展开成傅里叶级数：下页上页返回也可表示成：系数之间的关系为：下页上页返回求出A0、ak、bk便可得到原函数

f(t)

的展开式。系数的计算：下页上页返回利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数奇函数奇谐波函数注意

－T/2tT/2f(t)o

－T/2tT/2f(t)otf(t)T/2To下页上页返回周期函数的频谱图：的图形幅度频谱Akmokω1相位频谱的图形下页上页返回周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：

直流分量：谐波分量：K为偶数K为奇数tT/2To下页上页返回（k为奇数）的展开式为：下页上页返回ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解下页上页返回基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波下页上页返回tT/2TIS0下页上页IS0等效电源返回Akmo矩形波的幅度频谱tT/2Tkω1o-π/2矩形波的相位频谱下页上页返回13.3有效值、平均值和平均功率1.三角函数的性质正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数

sin2、cos2

在一个周期内的积分为

。下页上页返回三角函数的正交性下页上页返回2.非正弦周期函数的有效值若则有效值:下页上页返回下页上页返回

周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。结论下页上页返回3.非正弦周期函数的平均值其直流值为：若其平均值为：正弦量的平均值为：下页上页返回4.非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：下页上页返回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率结论下页上页返回13.4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的XL、XC不同，对直流C

相当于开路、L相于短路。）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；将以上计算结果转换为瞬时值迭加。下页上页返回2.计算举例例1方波信号激励的电路。求u,

已知：tT/2T解(1)方波信号的展开式为：代入已知数据：0下页上页RLC返回直流分量：基波最大值：五次谐波最大值：角频率：三次谐波最大值：下页上页返回

电流源各频率的谐波分量为：

（2）对各次谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0

作用电容断路，电感短路下页上页R返回（b)基波作用XL>>R下页上页RLC返回(c)三次谐波作用下页上页RLC返回(d)五次谐波作用下页上页RLC返回

(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：下页上页返回求电路中各表读数(有效值)。例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

bcdA3A2V2V1A1a下页上页返回解(1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

bcdaiC10iL20L1C1C2L2+_30

bcdu0i0下页上页返回(2)u1=120cos1000t

V作用j40

j40

j40

j10

a+_30

bcd并联谐振下页上页返回(3)u2=60cos(2000t+

/4)V作用j80

j20

j20

j20

a+_30

bcd并联谐振下页上页返回i=i0+i1+i2=1A所求电压、电流的瞬时值为：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90

)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t

45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t

Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45

)V表A1的读数：表A2的读数：表A3的读数：表V1的读数：表V2的读数：下页上页返回

例3已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。2410.5u/Vt/ms12解当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：*C+–+–2:18Lu*o下页上页返回-j4j

*+–+–2:18*+–8j4-j4+–下页上页返回振幅相量例4求Uab、i、及功率表的读数。解一次谐波作用：三次谐波作用：测的是u1的功率+–60j20+–Wab**下页上页返回例5L=0.1H，C3＝1

F，C1中只有基波电流，C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。解C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振。即：下页上页100LC3C2C1200返回100LC3C2C1200C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振。即：直流作用：下页上页返回一次谐波作用：三次谐波作用：下页上页100LC3C2C1200100C3200返回13.5对称三相电路中的高次谐波设展开成傅里叶级数(k为奇数)，则有：A相B相C相1.对称三相电路中的高次谐波下页上页返回令k=6n+1，(n=0,1,2…)，即：k=1,7,13

…

讨论各相的初相分别为：A相B相C相正序对称三相电源令k=6n+3，即：k=3,9,15

…

下页上页返回各相的初相分别为：零序对称三相电源令k=6n+5，即：k=5,11,17

…

A相B相C相A相B相C相各相的初相分别为：负序对称三相电源下页上页返回结论三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第12章的方法和有关结论，2.零序组分量的响应对称的三角形电源下页上页返回零序组电压源是等幅同相的电源在三角形电源的回路中将产生零序环流线电压结论整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。在环流的作用下零序线电压为零电源内阻下页上页返回星形对称电源（无中线对称系统）ZZZN’+–AN+–B+–C

结论

除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。下页上页返回三相四线制对称系统

ZZZN’+–AN+–B+–CZn结论

除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。上页返回演讲完毕第14章线性动态电路的复频域分析14.1拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点14.8极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应首页本章重点重点(1)拉普拉斯变换的基本原理和性质

(2)掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤(3)网络函数的概念(4)网络函数的极点和零点返回

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。14.1

拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法下页上页返回例一些常用的变换对数变换乘法运算变换为加法运算相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换F(s)(频域象函数)对应f(t)(时域原函数)下页上页返回2.拉氏变换的定义定义[0,∞)区间函数

f(t)的拉普拉斯变换式：正变换反变换s

复频率下页上页返回积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。积分下限从0+

开始，称为0

+

拉氏变换。

积分域注意今后讨论的均为0

拉氏变换。[0

,0＋]区间

f(t)=

(t)时此项

0象函数F(s)

存在的条件：下页上页返回如果存在有限常数M和c

使函数f(t)

满足：

则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s

值使上式积分为有限值。下页上页象函数F(s)

用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f(t)

用小写字母表示，如i(t),

u(t)返回3.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数下页上页返回(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数下页上页返回14.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质下页上页证返回例1解例2解

根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。下页上页结论返回2.微分性质下页上页证若

足够大0返回例解下页上页利用导数性质求下列函数的象函数返回推广：解下页上页返回下页上页3.积分性质证应用微分性质0返回下页上页例解返回4.延迟性质下页上页证返回例1例2求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下页上页TTf(t)o1Ttf(t)o返回求周期函数的拉氏变换设f1(t)为一个周期的函数例3解下页上页...tf(t)1T/2To返回下页上页对于本题脉冲序列5.拉普拉斯的卷积定理返回下页上页证返回14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数下页上页(3)把F(s)分解为简单项的组合部分分式展开法返回利用部分分式可将F(s)分解为：下页上页象函数的一般形式待定常数讨论返回待定常数的确定：方法1下页上页方法2求极限的方法令s=p1返回下页上页例解法1返回解法2下页上页原函数的一般形式返回下页上页K1、K2也是一对共轭复数注意返回下页上页返回例解下页上页返回下页上页返回例解下页上页返回

n=m

时将F(s)化成真分式和多项式之和由F(s)求f(t)

的步骤：

求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式

求各部分分式的系数

对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换下页上页小结返回例解下页上页返回14.4运算电路基尔霍夫定律的时域表示：1.基尔霍夫定律的运算形式下页上页根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路返回u=Ri2.电路元件的运算形式

电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路下页上页uR(t)i(t)R+-时域形式：R+-返回

电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路下页上页i(t)+u(t)

-L+-sLU(s)I(s)+-时域形式：sL+U(s)I(s)-返回

电容C的运算形式C的运算电路下页上页i(t)+u(t)

-C时域形式：取拉氏变换,由积分性质得+-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-返回

耦合电感的运算形式下页上页i1**L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：取拉氏变换,由微分性质得互感运算阻抗返回耦合电感的运算电路下页上页+-+sL2+sM++sL1-----+返回

受控源的运算形式受控源的运算电路下页上页时域形式：取拉氏变换b

i1+_u2i2_u1i1+R+__+R返回3.RLC串联电路的运算形式下页上页u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)时域电路拉氏变换运算电路运算阻抗返回下页上页运算形式的欧姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏变换返回下页上页+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返回

电压、电流用象函数形式；

元件用运算阻抗或运算导纳表示；

电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下页上页电路的运算形式小结例给出图示电路的运算电路模型。1F10

0.5H50V+-uC+-iL5

10

20

解t=0时开关打开uc(0-)=25ViL(0-)=5A时域电路返回注意附加电源下页上页1F10

0.5H50V+-uC+-iL5

10

20

200.5s-++-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t>0

运算电路返回14.5应用拉普拉斯变换法分析线性电路由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)

；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。下页上页1.运算法的计算步骤返回例1(2)

画运算电路解(1)

计算初值下页上页电路原处于稳态，t=0时开关闭合，试用运算法求电流i(t)。1V1H1

1Fi+-1

1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回(3)

应用回路电流法下页上页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回下页上页(4)反变换求原函数返回下页上页例2，求uC(t)、iC(t)。图示电路RC+uc

is解画运算电路1/sC+Uc(s)

R返回下页上页1/sC+Uc(s)

R返回t=0时打开开关,求电感电流和电压。例3下页上页解计算初值+-i10.3H0.1H10V2

3

i2画运算电路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回下页上页10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23注意返回UL1(s)下页上页10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回3.75ti1520下页上页uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返回下页上页注意由于拉氏变换中用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求t=0+时的跃变值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。

满足磁链守恒。返回下页上页返回14.6网络函数的定义1.网络函数H（s）的定义

线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。下页上页返回由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故s域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。下页上页注意若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应h(t)。2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应返回例下页上页1/4F2H2

i(t)u1++--u21

解画运算电路返回下页上页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2++--1返回例下页上页解画运算电路电路激励为，求冲激响应GC+uc

issC+Uc(s)

G返回下页上页3.应用卷积定理求电路响应结论

可以通过求网络函数H(s)与任意激励的象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应。

返回K1=3,K2=-3例解下页上页图示电路

，冲激响应，求uC(t)。线性无源电阻网络+-usCuc+-返回14.7网络函数的极点和零点1.极点和零点下页上页当

s=zi时，H(s)=0，

称

zi为零点，zi

为重根，称为重零点；当

s=pj时，H(s)∞，

称

pj为极点，pj

为重根，称为重极点；返回2.复平面（或s平面）

在复平面上把H(s)的极点用‘

’表示，零点用‘

o

’表示。零、极点分布图下页上页zi，

Pj为复数

j

oo返回例绘出其极零点图。解下页上页返回下页上页24

-1

j

ooo返回14.8极点、零点与冲激响应零状态e(t)r(t)激励响应下页上页