抽样分布课件

抽樣分布

§6－1.簡單隨機抽樣總體與樣本(一)總體

(二)樣本

簡單隨機抽樣

作為n元隨機變數的樣本總體與樣本總體

(母體):在數理統計中，所研究對象的全體.個體:組成母體的每一個成員。例:研究某工廠生產某種規格的10萬只燈泡的品質，這10萬只燈泡就是一個總體，每個燈泡是一個個體。例:某水文站，所有年平均流量的全體是一個總體，而每一年的平均流量則是一個個體。總體可以按其所含個體的多少分為有限總體和無限總體。總體我們所研究的往往是對象的某一特性值。將特性值看成一個隨機變數。總體正好體現一個隨機變數的分佈。以後，凡是提到總體就是指一個隨機變數，提到隨機變數就是指一個總體。所謂總體已知，就是指隨機變數的概率分佈已知。

常用表示隨機變數的大寫字母X，Y，Z等表示總體。

樣本

抽樣:在數理統計中，為了研究總體的性質，需要進行的觀測或試驗。樣本（觀測資料或實測資料）：通過試驗或觀測得到的總體中一部分個體構成的集合。水文中習慣稱之為實測系列。樣本容量：樣本中所含個體的數目，水文中常稱之為系列長度，記為n。例如:我們在一條河流的某一斷面處觀測年最大洪峰流量，觀測50年，就得到一個長度為50的年最大洪峰流量的實測系列。簡單隨機抽樣

隨機樣本:因為在概率論和數理統計中所說的試驗都是指隨機試驗，所以，所得樣本就叫做隨機樣本.簡單隨機抽樣:n次試驗是相互獨立的(前面的試驗結果並不影響後面的試驗出現什麼結果)的抽樣方法.簡單隨機樣本(樣本或子樣):簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本.作為n元隨機變數的樣本

袋中裝有2個白球和3個紅球，現有放回地從中隨機抽球，每次抽一球。觀察球的顏色，設X=0表示抽得白球，X=1表示抽得紅球。則P(X=0)=2/5，P(X=1)=3/5，抽球n次以後即得容量為n的樣本(x1,x2,…xn)。x1為第一次抽球結果，可能值為0和1，

x1是0的概率為2/5，

x1是1的概率為3/5，因此，

x1可以看作是隨機變數X1的取值，而且X1的分佈與X的分佈相同。同理，xi

(i=1,2,…,n)都可以看作是Xi

(i=1,2,…,n)的取值，而且Xi是相互獨立，都具有與總體X相同的分佈。獲得的實際樣本（x1,x2,…,xn

)（或稱實現或觀察值）可以看作是隨機變數X的n次試驗的結果，也可看作n元隨機變數（X1,X2,…,Xn

)一次試驗的結果。通常將樣本看作n元隨機變數。

必須注意（x1,x2,…,xn

)與（X1,X2,…,Xn)的區別

。如前所述，由於(X1,X2,…Xn)是獨立同分佈的隨機變數，若總體X的分佈函數為F(x)，則(X1,X2,…，Xn)的聯合分佈函數應為若總體X為連續型隨機變數，其密度函數為f(x),則(X1,X2,…，Xn)的聯合密度函數為§6－2樣本分佈頻率直方圖樣本分佈函數

樣本數字特徵

頻率直方圖設

為連續型隨機變數X的樣本，在X值域[a,b]內插入許多分點

統計樣本

中落入區間

內觀測值的個數（稱為頻數），記為

，則在樣本容量n很大時，頻率

可近似表示隨機變數X在區間

中取值的概率

，若

以表示區間內頻率的平均密度，則可作出以

為高,為底寬的許多相鄰矩形。如圖6-1：每個矩形的面積為稱圖6-1為樣本

的頻率密度直方圖

樣本分佈函數樣本分佈:如果我們從隨機變數X的總體中抽取了一個樣本，把樣本的n個值x1，x2，…，xn加以排隊並把它看成是某個離散隨機變數Xne的全部可能取值，它的概率分佈為

那麼可以求得Xne的分佈函數：

樣本分佈函數與總體分佈函數的關係

:

格利汶科－肯達利定理

設F(x)是隨機變數X的分佈函數，

是X的經驗分佈函數，則

格利汶科－肯達利定理是用簡單隨機樣本推斷總體的依據。樣本數字特徵對於一個給定的樣本x1，

x2

，…，

xn，有了樣本分佈函數後就可以計算它的數字特徵，為了區別於總體數字特徵，我們稱它們為樣本數字特徵。樣本數字特徵就是離散型隨機變數Xne的數字特徵

。樣本k階原點矩樣本平均值樣本方差樣本均方差樣本k階中心矩

樣本變差係數

樣本偏態係數上述兩式中，對於二元隨機變數（X,Y）,每次試驗得到一對數值(x,y),因此其樣本可記為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用類似於一元隨機變數樣本分佈的定義方法可定義二元隨機變數的樣本分佈函數，也可以計算樣本數字特徵，除了每一個變數的均值、方差和矩外，還有樣本協方差和樣本相關係數，它們的公式可按離散型二元隨機變數數字特徵公式得到，即樣本協方差樣本相關係數例：用測溫儀對一物體的溫度測量5次，其結果為（℃）：1250，1565，1245，1260，1275，試求樣本均值、方差、樣本離勢係數及偏態係數。解：樣本均值

樣本均方差

樣本離勢函數樣本偏態係數

§6－3抽樣分佈的概念

統計量

抽樣分佈

的概念抽樣分佈的數字特徵統計量

設X1

，

X2

，…，

Xn為總體X的一個樣本，

U=U（X1,X2,…,Xn)為樣本的連續函數，如果函數中不包含任何未知參數，則稱U為統計量。

例如則

因為

未知。樣本k階原點矩樣本平均值樣本方差樣本均方差樣本k階中心矩

樣本變差係數樣本偏態係數上述兩式中，樣本相關係數抽樣分佈的概念樣本是進行統計推斷的主要依據，統計量則是根據特定的統計推斷需要而對樣本進行的加工和整理，是進行統計推斷的主要手段和工具，統計量也是隨機變數，它的分佈稱為抽樣分佈。統計量的分佈有精確分佈和極限分佈（或稱漸進分佈）兩種形式。若總體X的分佈函數運算式已知，如對任一自然數n，都能給出統計量U（X1,X2，……，Xn）的分佈函數，則稱此分佈函數為統計量U的精確分佈。導出統計量的精確分佈，是用小樣本進行統計推斷的基礎和前提，但是，一般而言，要導出各種統計量的精確分佈，僅在某些特別簡單的情況下才能做到，在大多數情況下是很難做到的，甚至是不可能做到的。若統計量U的精確分佈無法求得，則可退而求其次，求出其當

時的極限分佈，這是用大樣本進行統計推斷的一般做法。應當注意的是，在實際問題中，應用極限分佈作統計推斷是，應該有足夠大的樣本容量n，但究竟n有多大才算大樣本，並沒有嚴格的限定，而且對於不同的統計量，要求也是不一樣的。抽樣分佈的數字特徵1.樣本均值的數學期望與方差2.樣本k階原點矩的數學期望和方差3.樣本方差的數學期望與方差§6－4幾種統計量的抽樣分佈

例：設總體X服從的分佈，求樣本的平均值

的分佈。解：因為X的特徵函數為

所以

的特徵函數為

可見（1）（2）（3）

(4)

(5)§6－5順序統計量及其分佈順序統計量的概念：設（X1,X2,…,Xn)為X的樣本，定義樣本函數

，

=g(X1,X2,…,Xn),(m=1,2,…,n)

含義：當（X1,X2,…,Xn

)取值（x1,x2,…,xn

)時，

取（x1,x2,…,xn

)中從大到小排列的第m項數值。即當把（x1,x2,…,xn)按由大到小的順序排列成

順序統計量。順序統計量的分佈

假定X為連續型隨機變數，其分佈函數為F(x)，密度函數為f(x)。

記

Xm*的分佈函數為Fm(x)，密度函數為fm(x)。

圖

6-4所以