抽样与参数估计课件

抽樣與參數估計

第一節抽樣分佈4.1.1三種不同性質的分佈總體分佈樣本分佈抽樣分佈總體中各元素的觀察值所形成的分佈分佈通常是未知的可以假定它服從某種分佈總體分佈

(populationdistribution)總體一個樣本中各觀察值的分佈也稱經驗分佈當樣本容量n逐漸增大時，樣本分佈逐漸接近總體的分佈樣本分佈

(sampledistribution)樣本樣本統計量的概率分佈是一種理論概率分佈隨機變數是樣本統計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統計量長遠我們穩定的資訊，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據 抽樣分佈

(samplingdistribution)抽樣分佈

(samplingdistribution)總體計算樣本統計量例如：樣本均值、比例、方差樣本4.1.2樣本統計量的抽樣分佈

(一個總體參數推斷時)樣本均值的抽樣分佈樣本比例的抽樣分佈抽樣方差的抽樣分佈樣本均值的抽樣分佈容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分佈一種理論概率分佈進行推斷總體總體均值

的理論基礎 樣本均值的抽樣分佈樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（重複抽樣）【例】設一個總體，含有4個元素(個體)

，即總體單位數N=4。4

個個體分別為x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。總體的均值、方差及分佈如下總體分佈14230.1.2.3均值和方差樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（重複抽樣）

現從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重複抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結果為所有可能的n

=2的樣本（共16個）第一個觀察值第二個觀察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（重複抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0

計算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分佈均值X的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值X的個數1234321取值的概率P（X

）1/162/163/164/163/162/161/16X樣本均值的抽樣分佈1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的分佈與總體分佈的比較

(例題分析)（重複抽樣）

=2.5σ2=1.25總體分佈14230.1.2.3抽樣分佈P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（不重複抽樣）

如果從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在不重複抽樣條件下，共有4×3=12個樣本。所有樣本的結果為所有可能的n=2的樣本（共12個）第一個觀察值第二個觀察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（不重複抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5

計算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分佈均值X的取值1.52.02.53.03.5均值X的個數22422取值的概率P（X

）2/122/124/122/122/12X樣本均值的抽樣分佈1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的抽樣分佈

(例題分析)（不重複抽樣）

=2.5σ2=1.25總體分佈14230.1.2.3抽樣分佈P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分佈

與中心極限定理

=50

=10X總體分佈n=4抽樣分佈Xn=16當總體服從正態分佈N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值

X也服從正態分佈，

X

的數學期望為μ，方差為σ2/n。即

X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分佈逐漸趨於正態分佈中心極限定理：設從均值為

，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分佈近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態分佈一個任意分佈的總體X中心極限定理

(centrallimittheorem)的分佈趨於正態分佈的過程抽樣分佈與總體分佈的關係總體分佈正態分佈非正態分佈大樣本小樣本正態分佈正態分佈非正態分佈樣本均值的數學期望樣本均值的方差重複抽樣不重複抽樣樣本均值的抽樣分佈

(數學期望與方差)樣本均值的抽樣分佈

(數學期望與方差)比較及結論：1.樣本均值的均值(數學期望)等於總體均值

2.樣本均值的方差等於總體方差的1/n均值的抽樣標準誤所有可能的樣本均值的標準差，測度所有樣本均值的離散程度，又稱為抽樣平均誤差小於總體標準差計算公式為重複抽樣不重複抽樣樣本比例的抽樣分佈總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數之比不同性別的人與全部人數之比合格品(或不合格品)與全部產品總數之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例

(proportion)容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分佈當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分佈可用正態分佈近似一種理論概率分佈推斷總體總體比例

的理論基礎 樣本比例的抽樣分佈樣本比例的抽樣分佈

(例題分析)（重複抽樣）【例】設某機床5臺中有2臺優、3臺良，即總體單位數N=5。5個個體分別為優品A1、A2，良品B1、B2、B3

。若抽到優品，記x＝1；若抽到良品，記x＝0。當n＝2時，樣本比例抽樣分佈如下表所有可能的n

=2的樣本（共25個）樣本比率樣本頻率P(p)1(A1,A1)(A1,A2)(A2,A1)(A2,A2)4/250.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/250(B1,B1)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B2)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)(B3,B3)9/25樣本比例的抽樣分佈

(例題分析)（重複抽樣）重複抽樣樣本比例抽樣分佈04/25P(p)8/2512/2500.51.0

p總體分佈：樣本分佈：樣本比例的抽樣分佈

(例題分析)（不重複抽樣）【例】仍用上例，採用不重複隨即抽樣時，機床優質品比率p的抽樣分佈如下表所有可能的n

=2的樣本（共20個）樣本比率樣本頻率P(p)1(A1,A2)(A2,A1)2/200.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/200(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)6/20樣本比例的抽樣分佈

(例題分析)（不重複抽樣）p不重複抽樣樣本比例抽樣分佈00.10.20.3P(p)0.40.50.600.51.0總體分佈：樣本分佈：樣本比例的數學期望樣本比例的方差重複抽樣不重複抽樣樣本比例的抽樣分佈

(數學期望與方差)樣本方差的抽樣分佈樣本方差的分佈

對於來自正態總體N(u,σ2)的簡單隨機樣本，則比值的抽樣分佈服從自由度為(n-1)

的

2分佈，即卡方(

2)分佈

(

2distribution)χ2分佈:設X1,X2,……,Xn是來自總體N(0,1)的樣本，則統計量服從自由度為n的χ2分佈，記為χ2～χ2（n）。設，則令，則Y服從自由度為1的

2分佈，即

當總體，從中抽取容量為n的樣本，則分佈的變數值始終為正分佈的形狀取決於其自由度n的大小，通常為不對稱的右偏分佈，但隨著自由度的增大逐漸趨於對稱期望為：E(

2)=n，方差為：D(

2)=2n(n為自由度)

可加性：若U和V為兩個獨立的

2分佈隨機變數，U~

2(n1)，V~

2(n2),則U+V這一隨機變數服從自由度為n1+n2的

2分佈

2分佈

(性質和特點)c2分佈

(圖示)

選擇容量為n的簡單隨機樣本計算樣本方差S2計算卡方值

2=(n-1)S2/σ2計算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分佈c2n=1n=4n=10n=20ms總體4.1.3樣本統計量的抽樣分佈

(兩個總體參數推斷時)兩個樣本均值之差的抽樣分佈兩個樣本比例之差的抽樣分佈兩個樣本方差比的抽樣分佈兩個樣本均值之差的抽樣分佈兩個總體都為正態分佈，即，兩個樣本均值之差的抽樣分佈服從正態分佈，其分佈的數學期望為兩個總體均值之差方差為各自的方差之和 兩個樣本均值之差的抽樣分佈兩個樣本均值之差的抽樣分佈

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分佈兩個樣本比例之差的抽樣分佈兩個總體都服從二項分佈分別從兩個總體中抽取容量為n1和n2的獨立樣本，當兩個樣本都為大樣本時，兩個樣本比例之差的抽樣分佈可用正態分佈來近似分佈的數學期望為方差為各自的方差之和 兩個樣本比例之差的抽樣分佈兩個樣本方差比的抽樣分佈兩個樣本方差比的抽樣分佈

兩個總體都為正態分佈，即X1~N(μ1,σ12)的一個樣本，Y1，Y2，…，Yn2是來自正態總體X2~N(μ2,σ22)從兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨立樣本兩個樣本方差比的抽樣分佈，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1)的F分佈，即由統計學家費舍(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一個字母來命名則設若U為服從自由度為n1的

2分佈，即U~

2(n1)，V為服從自由度為n2的

2分佈，即V~

2(n2),且U和V相互獨立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分佈，記為F分佈

(Fdistribution)F分佈

(圖示)

不同自由度的F分佈F（1,10)(5,10)(10,10)F分佈

（性質）若F～F(n1，n2），則F分佈在上α分位點有性質：T統計量的分佈T

統計量的分佈定義：設X~N(0,1)，Y~

2(n2),

並且X，Y獨立，則隨機變數服從自由度為n的T分佈，記為T～T（n）。T

統計量的分佈

設X1，X2，…，Xn1是來自正態總體N~(μ,σ2)的一個樣本，稱為統計量,它服從自由度為(n-1)的t分佈Xt

分佈與正態分佈的比較正態分佈t分佈t不同自由度的t分佈標準正態分佈t(df=13)t(df=5)ZT分佈

（性質）T分佈關於X軸（即t＝0）對稱，因此，T分佈在α分位點上有4.1.4抽樣誤差一、抽樣誤差的概念二、抽樣平均誤差的意義三、抽樣平均誤差的計算四、影響抽樣平均誤差的因素五、抽樣極限誤差六、概率度一、抽樣誤差的概念抽樣誤差的概念抽樣誤差：是指樣本指標（統計量）和總體指標（參數）之間數量上的差別。用數學符號表示：抽樣誤差的理解抽樣誤差是指由於抽樣的隨機性而產生的那一部分代表性誤差，不包括登記誤差，也不包括可能發生的偏差。偏差，破壞了抽樣的隨機原則而產生的誤差；遵守了隨機原則但可能抽到各種不同的樣本而產生的誤差。隨機誤差有兩種：實際誤差和抽樣平均誤差。實際誤差：是指一個樣本指標與總體指標之間的差別，這是無法知道的誤差。抽樣平均誤差：是指所有可能出現的樣本指標的標準差，也可以說是所有可能出現的樣本指標和總體指標的平均離差。二、抽樣平均誤差的意義抽樣平均誤差的意義抽樣誤差是反映統計量對參數代表性程度的；測定統計量的代表性程度的抽樣誤差時，把各個可能的統計量與參數之間都存在的抽樣誤差的所有結果都考慮進去，用平方平均數的方法便可求得標準差，即抽樣平均誤差。抽樣平均誤差的意義：是實際可以運用於衡量統計量對於參數代表性程度的一個尺度；是計算統計量與參數之間變異範圍的一個根據；在組織抽樣調查中，也是確定抽樣單位數多少的計算依據之一。三、抽樣平均誤差的計算（一）抽樣平均數（樣本平均數）的抽樣平均誤差根據定義：1.重複（回置式）抽樣抽樣平均數的抽樣平均誤差重複抽樣的情況下，樣本變數是相互獨立的，樣本變數x與總體變數X同分佈。2、不重複（非回置式）抽樣抽樣平均數的抽樣平均誤差不重複抽樣的情況下，樣本變數不相互獨立的。式中：

表示第i個被抽中的單位取值為的概率，即其中任意一個的概率。式中：其中：K，L＝1，2，……，N

其中：（二）抽樣成數（樣本比率）的抽樣平均誤差重複抽樣抽樣成數的平均誤差：不重複抽樣抽樣成數的平均誤差：（三）類型抽樣的抽樣平均誤差類型比例抽樣的誤差，取決於各組樣本單位數的總和與各組組內的方差（即各組組內標準差的平方）的平均數。採用等比例類型抽樣，則（三）類型抽樣的抽樣平均誤差類型抽樣在等比例抽樣時的

抽樣誤差計算公式在重複抽樣條件下：類型抽樣在等比例抽樣時的

抽樣誤差計算公式不重複抽樣條件下：（四）等距抽樣的抽樣平均誤差無關標誌排隊等距抽樣，一般可以按簡單隨機抽樣方法計算抽樣誤差。重複抽樣：不重複抽樣：（四）等距抽樣的抽樣平均誤差有關標誌排隊法等距抽樣實質上可以看作一種特殊的分類抽樣，不同的是分類更細緻，組數更多，而在每個組之內則只抽選一個樣本單位。因此，一般認為可以用類型抽樣的抽樣誤差公式來計算抽樣誤差。∴有關標誌排隊法等距抽樣相當於分成Ni＝k的n個組的等比例類型抽樣。故（四）等距抽樣的抽樣平均誤差重複抽樣條件下：（