江苏省南京河西外国语学校2026-2027学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南京河西外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是（）A.x-4=2x B.x2+x-5=0 C.x2-4y+2=0 D.-x+2=02.下列函数关系中，成反比例函数的是（）A.矩形的面积S一定时，长a与宽b的函数关系

B.矩形的长a一定时，面积S与宽b的函数关系

C.正方形的面积S与边长a的函数关系

D.正方形的周长L与边长a的函数关系3.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（）A.2 B.3 C.4 D.54.若关于x的方程2（x-4）2=m+3有实数根，则m的取值范围是（）A.m≥0 B.m＞-3 C.m≥3 D.m≥-35.在⊙O中，若∠AOB=2∠COD，则与的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定6.对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线y=3翻折；方案③先沿直线x=2翻折，再向右平移1个单位长度.若要使变化后的图象经过点（3，4），则可行的方案是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.写出一个两个根分别为1和-3的一元二次方程

.8.将一元二次方程x2+8x+7=0化成（x+h）2=k的形式，则方程可变形为

.9.已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与⊙O的位置关系是

.10.若函数y=16x与y=的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是

．11.已知m、n是方程x2-5x-1=0的两个实数根，则m+n-mn=

.12.已知⊙O的半径为5cm,点O到直线l的距离OP为7cm,把直线l向上平移

cm,才能使l与⊙O相切？

13.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（-3，n），B（2，m），结合图象，关于x的不等式的解集为

.14.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=108°，点E在上，则∠E=

°.

15.定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角.例如图中∠APB为圆内角，设∠APB的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为α、β，则∠APB的度数是

（用α、β表示）.

16.如图，若点P在扇形AOB的内部，则∠APB的度数的取值范围是

.

三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解下列方程：

（1）2x2+4x-1=0.

（2）x（x-1）=2-2x.18.(本小题6分)

如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB.求证：B是弧DE的中点.19.(本小题6分)

如图，已知▱ABCD内接于圆.求证：四边形ABCD是矩形.20.(本小题8分)

（1）若关于x的方程（x-3）（x-2）=p（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；

（2）关于x的方程（x-3）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根21.(本小题8分)

如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC=CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE.

（1）求证∠A=∠D；

（2）若的度数为108°，求∠E的度数.22.(本小题8分)

如图，在⊙O中，两条弦AC与BD相交于点M，且AC=BD，连接MO并延长交AB于点E.求证：

（1）MA=MB；

（2）MO平分∠AMB.23.(本小题8分)

已知代数式A=2x2+5x-3，B=x2+x-8.

（1）当x为何值时，代数式A比B的值大2；

（2）求证：对于任意x的值，代数式A-B的值恒为正数.24.(本小题9分)

2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为秉持“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件(1)求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率(2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？25.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的一条弦.

（1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD，使AB=CD；

（2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD，使AB=CD，且AB⊥CD.

（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

26.(本小题9分)

定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且|x1-x2|=1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2-3x+2=0的两个根是x1=1，x2=2，此时|x1-x2|=|1-2|=1，则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”.（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是______（填序号）.

①x2=1；②x2+4x+4=0；③x2-x=0.

（2）已知方程（x-k）（x-3）=0是“邻根方程”，求k的值.

（3）若方程x2-bx+c=0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0.27.(本小题10分)

【问题背景】

如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD.

【简单应用】

（1）在图1中，若AC=，BC=2，则CD=______；

（2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，=，若AB=13，BC=12，求CD的长．

【拓展规律】

（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】x2+2x-3=0（答案不唯一）

8.【答案】（x+4）2=9

9.【答案】相离

10.【答案】

11.【答案】6

12.【答案】2或12

13.【答案】0＜x＜2或x＜-3

14.【答案】126

15.【答案】

16.【答案】60°＜∠APB＜120°

17.【答案】解：（1）这里a=2，b=4，c=-1，

∵△=16+8=24，

∴x==；

（2）方程整理得：x2+x-2=0，即（x-1）（x+2）=0，

解得：x=1或x=-2．

18.【答案】证明：如图，连接BC，

∵CE∥AB，

∴∠BCE=∠CBO，

∵OB=OC，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠BCO=∠BCE，

即∠BCD=∠BCE，

∴，

∴B是弧DE的中点．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

又∵▱ABCD内接于圆，

∴∠A+∠C=180°，

∴∠A=∠C=90°，

∴四边形ABCD是矩形．

20.【答案】解：（1）方程（x-3）（x-2）=p可化为x2-5x+6-p=0，

这里a=1，b=-5，c=6-p,

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×1×（6-p）=25-24+4p＞0，

∴p＞-，即满足条件的p的取值范围为p＞-；

（2）方程（x-3）（x+2）=p2可化为x2-x-6-p2=0，

∴b2-4ac=25+4p2＞0，

∴方程有两不相等的实数根，

设方程两根为x1、x2，

∵x1•x2=-6-p2＜0，

∴方程有一个正根，一个负根，

故选C．

21.【答案】（1）证明：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴即AD⊥BC，

又AC=CD，

∴AB=BD，

∴∠A=∠D；

（2）解：∵的度数为108°，

∴∠EBA=54°，

又∠EBA=∠A+∠D，∠A=∠D，

∴，

∴∠E=∠A=27°．

22.【答案】证明见解析．

23.【答案】（1）解：根据题意得，（2x2+5x-3）-（x2+x-8）=2，

2x2+5x-3-x2-x+8=2，

2x2+5x-3-x2-x+8-2=0，

x2+4x+3=0，

x2+4x=-3，

x2+4x+4=-3+4，

（x+2）2=1，

∴x1=-1，x2=-3，

即当x为-1或-3时，代数式A比B的值大2；

（2）证明：A-B=（2x2+5x-3）-（x2+x-8）

=2x2+5x-3-x2-x+8

=x2+4x+5

=x2+4x+4+1

=（x+2）2+1，

对于任意x的值，（x+2）2≥0，

∴（x+2）2+1＞0，

即A-B＞0，

∴对于任意x的值，代数式A-B的值恒为正数．

24.【答案】【小题1】设该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+x）2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去）．

答：该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为25%【小题2】设该款纪念徽章降价y元，则每件的销售利润为（68-y-45）元，月销售量为（400+20y）件，

根据题意得：y2-3y-40=0，

解得：y1=8，y2=-5（不符合题意，舍去）．

答：该款纪念徽章降价8元

25.【答案】使AB=CD的弦CD，如图①即为所求；理由如下：

连接AO、BO并延长，分别交⊙O于点C、D，连接CD，

∵AC=BD，且AC、BD互相平分，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，

弦CD即为所求；

使AB=CD，且AB⊥CD的弦CD，如图②③即为所求；

方法1：如图②，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，过点O作CF⊥AE交⊙O于点C，F，

∴∠AOC=90°，

作弦FD=BE，连接CD，

∵AE、CF为⊙O的直径，

∴∠B=∠D=90°，

∴△ABE和△CDF是直角三角形，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），

∴AB=CD，

∵FD=BE，

∴∠A=∠C，

又∵∠AMD=∠OMC，

∴∠ANM=∠COM=90°，

∴AB⊥CD，

弦CD即为所求；

方法2：如图③，

过点O作OM⊥AB于点M；作正方形OMNP，则OP=OM；延长NP交⊙O于点C，D，

∴CD=AB，

弦CD即为所求

26.【答案】③

2或4

证明：设方程x2-bx+c=0的两个根为x1，x2，

则x1+x2=b，x1x2=c，且Δ=（-b）2-4×1×c=b2-4c≥0，

∵方程x2-bx+c=0是“邻根方程”，

∴|x1-x2|=1，

∴，

∴，

∴b2-4c=1，

∴，

∴

=，

而（b+1）2≥0，

∴，

故b+2c+1≥0

27.【答案】（1）3；

（2）如图3，连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵=，

∴AD=BD，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理得：AC=5，

由图1得：AC+BC=CD，

5+12=CD，

∴CD=；

（3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1，

连接D1A、D1B、D1C、CD，如图4，

由（2）得：AC+BC=D1C，

∴D1C=，

∵D1D是⊙O的直径，

∴∠D1CD=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=A