樟树高三数学数列题型强化练

樟树高三数学数列题型强化练考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1，则a4的值为（）A.7B.8C.15D.162.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=5,S6=27，则该数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.43.等比数列{bn}中，b1=2,b4=32，则该数列的公比q为（）A.2B.4C.2或-4D.-2或44.已知数列{an}的通项公式为an=n(n+1)，则a10的值为（）A.950B.960C.970D.9805.等差数列{an}中，a1+a5=10，a2+a6=12，则a3+a7的值为（）A.8B.10C.12D.146.数列{cn}的前n项和为Sn=n²+n，则数列{cn}的通项公式为（）A.nB.2nC.n²D.2n²7.在等比数列{bn}中，若b2=6,b4=54，则b6的值为（）A.486B.162C.243D.1088.已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=1，则a5的值为（）A.15B.25C.35D.459.若数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则a4的值为（）A.8B.7C.6D.510.已知数列{an}是等差数列，且a1=-5,d=2，则使得an≥1成立的最小正整数n为（）A.4B.5C.6D.7二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知等差数列{an}中，a1=0,d=3，则该数列的前20项和Sn=.12.已知等比数列{bn}中，b1=1,q=3，则该数列的前5项和S5=.13.若数列{an}满足an=n²/(n+1)²，则lim(n→∞)(an+1/an)=.14.已知数列{cn}满足c1=1,cn+1=(cn+1)/n(n≥1)，则c4=.15.已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=b1=1,a2+b2=3,a3+b3=5，则数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q分别为d=,q=.三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn=n²-2n+3。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求使得Sn≤20成立的正整数n的取值范围。17.(本小题满分15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=7,S5=35。(1)求数列{an}的通项公式和前n项和公式；(2)设b_n=1/(a_n*a_{n+1})，求数列{b_n}的前n项和T_n。18.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=2,an+1=(an+2)/(an+1)(n≥1)。(1)求a2,a3,a4；(2)探究数列{an}是否有界，并证明你的结论。19.(本小题满分15分)设等比数列{bn}的前n项和为Sn，公比为q(q≠1)，且S3=7,S6=63。(1)求公比q和首项b1；(2)若数列{cn}满足c_n=b_n/(b_n+b_{n+1})，求数列{c_n}的前n项和R_n。20.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+(n+1)/(n+2)(n≥1)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)证明：对于任意正整数n，都有Sn<n(n+1)/2+1。试卷答案一、选择题：1.C2.B3.D4.B5.C6.B7.A8.C9.C10.B二、填空题：11.117012.12013.114.3/415.2,2三、解答题：16.解：(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n²-2n+3-[(n-1)²-2(n-1)+3]=2n-3。验证n=1时，a1=1，符合上式。故an=2n-3(n∈ℕ*)。(2)由(1)知Sn=n²-2n+3。解不等式n²-2n+3≤20，即n²-2n-17≤0。解得(√18-1)/2≤n≤(√18+1)/2。由于n为正整数，故n=2,3。所以，使得Sn≤20成立的正整数n的取值范围是{2,3}。17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d。由a3=7,S5=35，得a1+2d=7,5a1+10d=35。解得a1=1,d=3。故an=1+(n-1)*3=3n-2。Sn=5*1+10*3=5+30=35。验证无误。Sn=n*(1+(3n-2))/2=3n²-n/2。(2)b_n=1/(a_n*a_{n+1})=1/((3n-2)*(3(n+1)-2))=1/((3n-2)*(3n+1))。=1/3*(1/(3n-2)-1/(3n+1))。T_n=b1+b2+...+b_n=1/3*[(1/1-1/4)+(1/4-1/7)+...+(1/(3n-2)-1/(3n+1))]=1/3*(1-1/(3n+1))=(3n)/(3(3n+1))=n/(3n+1)。18.解：(1)a1=2。a2=(a1+2)/(a1+1)=(2+2)/(2+1)=4/3。a3=(a2+2)/(a2+1)=(4/3+2)/(4/3+1)=(10/3)/(7/3)=10/7。a4=(a3+2)/(a3+1)=(10/7+2)/(10/7+1)=(24/7)/(17/7)=24/17。(2)猜想数列{an}有界。证明：假设存在M>0，使得对于任意n∈ℕ*，都有|an|≤M。由a1=2,an+1=(an+2)/(an+1)，得|an+1|=|(an+2)/(an+1)|≤(|an|+2)/(|an|+1)。当|an|≥1时，|an+1|≤(|an|+2)/|an|=1+2/|an|≤1+2=3。当|an|<1时，|an+1|≤(|an|+2)/|an|=1+2/|an|>1+2=3。由a1=2，可知a1≥1。若数列有界，则必然存在某个n0，使得an0≥1。设an0≥1，则对于任意n≥n0，都有an≥1。由上述递推关系可知，对于任意n≥n0，都有|an+1|≤3。因此，数列{an}有上界3。由a1=2>0，可知数列{an}有下界0。故数列{an}有界。19.解：(1)设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q(q≠1)。由S3=7,S6=63，得b1(1+q+q²)=7,b1(1+q+q²+q³+q⁴+q⁵)=63。后式除以前式，得(1+q³)/(1+q+q²)=9。整理得q⁴-8q²+1=0。解得q²=4±3√3。由于S6-S3=b4+b5+b6=b1*q³*(1+q+q²)=63-7=56。故b1*q³=8。若q²=4+3√3，则q³=√(4+3√3)*√(4+3√3)*√(4+3√3)>√(4+3√3)*8>8，矛盾。若q²=4-3√3，则q³=√(4-3√3)*√(4-3√3)*√(4-3√3)=(4-3√3)^(3/2)=8/(4+3√3)*(4-3√3)^(1/2)=8/(4+3√3)*√(4-3√3)=8/(4+3√3)*√((4-3√3)²)=8/(4+3√3)*√(16-24√3+27)=8/(4+3√3)*√(43-24√3)。由于b1*q³=8，故b1=8/q³。代入b1(1+q+q²)=7，得8/q³*(1+q+4-3√3)=7。解得q=√(4-3√3)。将q代入b1=8/q³，得b1=1。故公比q=√(4-3√3)，首项b1=1。(2)由(1)知q=√(4-3√3),b1=1。cn=b_n/(b_n+b_{n+1})=1/(1+q^(n-1))。R_n=c1+c2+...+c_n=1/(1+q⁰)+1/(1+q¹)+...+1/(1+q^(n-1))=1+1/(1+q)+...+1/(1+q^(n-1))=(1+q+q²+...+q^(n-1))/(1+q+q²+...+q^n)=1/(1+q^n)。注意到q=√(4-3√3)，则q⁴=1，故q^n=(√(4-3√3))^n=(4-3√3)^(n/2)。当n为偶数时，q^n=(4-3√3)^(n/2)为正数。当n为奇数时，q^n=-((3√3-4)^(n/2))，为负数。R_n=1/(1+q^n)=1/(1+(4-3√3)^(n/2))当n为偶数；=1/(1-(3√3-4)^(n/2))当n为奇数。R_n=1/(1+(4-3√3)^(n/2))当n为偶数；=1/(1+(3√3-4)^(n/2))当n为奇数。20.解：(1)由a1=1,an+1=an+(n+1)/(n+2)(n≥1)，得an+1-an=(n+1)/(n+2)。an-an-1=n/(n+1)(n≥2)。an-a1=(2/3+3/4+...+n/(n+1))。an=1+(2/3+3/4+...+n/(n+1))。an=1+(1-1/3+1-1/4+...+1-1/(n+1))=1+(n-(1/3+1/4+...+1/(n+1)))=1+n-∑(k=3ton)(1/k)。an=n+1-(∑(k=1to2)(1/k)+∑(k=3ton)(1/k))=n+1-(1+1/2+∑(k=3ton)(1/k))=n+1-(3/2+∑(k=3ton)(1/k))=n-1/2-∑(k=3ton)(1/k)。an=n-1/2-(1/3+1/4+...+1/(n+1))=n-1/2-((1/3+1/4)+(1/5+1/6)+...+(1/(n-1)+1/n)+1/(n+1))=n-1/2-(∑(k=3ton)(1/k))。an=n-1/2-(Hn-1-1/2)=n-1/2-(Hn-