《经济应用数学》9章

9.1Mathematica系统的简单操作9.1.1Mathematica的安装与启动9.1.2Mathematica退出9.1.3建立与保存文件9.1.1Mathematica的安装与启动安装与一般Windows应用软件的安装方法类似，安装Mathematica软件可以通过双击图标，按照安装提示一步一步地进行，注意安装过程中所需的“LicenseID”，“Password”，可经双击后得到如图（a）所示提示框的相应位置，然后填入图（b）的提示框中，以后单击【Next】按钮，就可以顺利地完成Mathematica软件的安装了．（a）（b）9.1.1Mathematica的安装与启动启动Mathematica装好后，要启动Mathematica系统，需在Windows操作系统中执行【开始】→【程序】→【Mathematica】命令，进入Mathematica系统，如图所示；也可以双击Mathematica图标直接启动．此时系统已进入交互状态，在等待用户输入命令．9.1.2Mathematica退出退出当软件使用完毕后，需要退出Mathematica时，只需单击工作窗口右上方的图标或在【File】菜单中选择【Exit】命令．9.1.3建立与保存文件与Windows的相关操作类似，在Mathematica界面上的【File】菜单中，选用【Saveas……】命令，输入文件名，然后单击【保存】按钮，即可保存文件．若要再次打开该文件，需要再执行【File】→【Open】菜单命令，在打开的对话框中选择该文件，然后单击【打开】按钮，即可．建立与保存9.2数、变量与数学函数9.2.3Mathematica在方程与图形中的应用9.2.4Mathematica在微积分中的应用9.2.2函数及其运算9.2.1算术运算9.2.1算术运算数及其基本运算1（1）Mathematica的常数输入键盘输入方法：Pi 表示

；E 表示e；Degree（/180）

表示度；I 表示虚数i；Infinity 表示无穷大∞．Mathematica模板调出与运用：在Mathematica5.0以上版本的输入中，可以使用一个工具按钮输入多种运算和字符．单击【File】菜单，选择一个含有多种常用运算和字符的模板。分别单击该模板中的

选项，可得到

，e，°（度），i，∞。9.2.1算术运算（2）Mathematica的运算符号键盘输入方法：

+

表示加；-

表示减；*

表示乘（或两数相乘中间添加空格）；/ 表示除；x^y 表示幂乘．模板输入方法：分别单击模板中的

选项，可得到乘、除、幂的运算符号．优先运算与数学中的习惯用法相近，可以使用圆括号进行优先运算，且可重复使用．9.2.1算术运算（3）Mathematica的算术运算注意若直接按左边的【Enter】键，只是在输入的命令中起换行的作用．进入Mathematica系统后，在Mathematica的界面上直接输入数与运算符号，按【Shift+Enter】组合键或右边小键盘上的【Enter】键，执行结果就会在屏幕上显示出来．如计算2+3，输入2+3，按【Shift+Enter】组合键或右边小键盘上的【Enter】键后，计算机Mathematica的界面上显示： In[1]：=2+3 Out[1]：=5其中，“In[1]：=”与“Out[1]：=”是计算机自动显示的内容，表示第一个输入与输出语句．再如： In[2]：=2*4+3（4+9） Out[2]：=479.2.1算术运算近似与精确2命令格式：

N[表达式，n] 精确n位有效数字； N[表达式] 近似值按计算机默认的数位（6位）处理； [表达式]//N 同“N[表达式]”情形．

特别地，若仅对上一次的结果进行精确或近似，可以将上式的表达式替换成“%”，“%”表示上一次的结果．9.2.1算术运算提示（1）当输出的结果是106以下数字，近似值按计算机默认的6位有效数字处理；106及106以上的近似值计算机按科学计算法处理；（2）N[表达式，n]——精确n位有效数字，而当n=1，2，…，16时，结果都按计算机默认的6位处理，如 In[1]：=N[，18] Out[1]：=3.14159265358979324 In[2]：=N[，12] Out[2]：=3.14159（按计算机默认的6位处理） In[3]：=4566000.66777777777777//N Out[3]：=4.566×1069.2.2函数及其运算Mathematica中的数学函数1（1）常用的数学函数输入对数函数的命令格式：Log[x]（以e为底的对数函数），Log[a，x]（以a为底的对数函数）；三角函数的命令格式：Sin[x]，Cos[x]，Tan[x]，Cot[x]，Sec[x]，Csc[x]；反三角函数的命令格式：ArcSin[x]，ArcCos[x]，……；幂函数、指数函数的输入方法：选择BasicInput模板左上角的模块，将具体的数值或变量填入即可．特别地，对于根式可以选择该模板的

进行输入．9.2.2函数及其运算函数表达式的运算规则：1函数都以大写字母开头，后面用小写字母．当函数名可以分成几段时，每段的头一个字母用大写，后面的字母用小写，如ArcSin[x]．2函数的名称是一个字符串，其中不能有空格．3函数的自变量表用方括号括起来，不能用圆括号．4多元函数的自变量之间用逗号分隔．

在Mathematica3.0以上版本的输入中，可以使用工具按钮输入各种函数，即在【Palettes（调色板）】中选择【BasicaCalculations（基本计算）】命令。9.2.2函数及其运算（2）变量赋值命令格式：

变量x=值a 将值a赋给变量x；u=v=a 将值a赋给变量u，v（给多个变量赋值）；

变量x=变量y 用变量y替换变量x；[f[x]]/.x→a 变量x临时赋值为a；u=. 清除变量u的值；clear[x] 清除变量x及赋的值，多用做清除函数．例如，输入：x=3，计算机将x赋值为3；输入：u=.，计算机将x赋值3清除；输入：clear[x]，计算机将变量x及其赋值的3全部清除；输入：f[x]=3x/.x→2，计算机将2赋值给f(x)中的x，按【Enter+Shift】组合键或右边小键盘上的【Enter】键后，计算机Mathematica的界面上就会显示赋值后的计算结果6．9.2.2函数及其运算函数运算2（1）自定义函数及函数值的计算自定义函数的命令格式：f[x]：=表达式（或f[x]=表达式）

定义的规则只对x成立；f[x_]：=表达式（或f[x_]=表达式） 定义的规则x可以被替代；

表达式1 条件1分段函数的命令格式：

表达式1 条件2

表达式n

条件nf[x_]：=Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n]（或f[x_]：=Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n]）；Clear[f]表示清除所有以f为函数名的函数定义．9.2.2函数及其运算例1注意输入f[2]与f[2.]的区别，体现输出结果近似或精确的不同形式．9.2.2函数及其运算注意等号要输双等号．例2解

In[1]：=g[x]：=Which[x>0，x，x==0，0，x<0，－x] g[1] Out[1]：=1 In[2]：=g[－3] Out[2]：=3 In[1]：=g[0] Out[1]：=0（2）函数的基本运算9.2.2函数及其运算函数的四则运算包括f1[x]+f2[x]，f1[x]-f2[x]，f1[x]*f2[x]，f1[x]/f2[x]．Factor[表达式] 表示分解因式．Expand[表达式] 表示展开多项式的和．Simplefy[表达式] 表示化简．Apart[表达式] 表示分解为部分分式．例39.2.2函数及其运算解:9.3Mathematica在方程与图形中的应用9.3.2绘图9.3.1解方程9.3.1解方程解方程命令格式1解方程f(x)=0的命令格式为Solve[f(x)==0，x]．解方程组的命令格式2解方程组的命令格式为Solve[{f(x)==0，g(y)==0，…}，{x，y，…}]．注意每个方程的等号都为双等号．9.3.1解方程例1解（1）In[1]：=Solve[{==4，==3}，{x，y}]Out[1]：={{x→1，y→2}}

（2）In[2]：=Solve[x-1==0，x]Out[2]：={{x→1}}（3）In[3]：=Solve[{==0，==2}，{x，y}]Out[3]：={{x→6/5，y→1/5}}注意上述命令可以通过模板调出，采用以下步骤：（1）选择菜单栏中的【File】；（2）在下拉菜单中执行【Palettes】命令；（3）在下一级菜单中单击基本计算BasicCalculations选项，将会另外出现一个工具窗口．（4）在其窗口中选择图形Algebra选项前的符号“””,使其符号变成“▽”并列出【SolvingEquations】项的清单进行选择．9.3.2绘图作函数

图像的命令格式1（1）只规定变量范围的作图命令： Plot[f(x)，{x，x1，x2}]；（2）不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令： Plot[f(x)，{x，x1，x2}，PlotRange→{y1，y2}]；（3）不仅规定自变量范围，还可以加标注（函数名称，坐标轴）的作图命令： Plot[f(x)，{x，x1，x2}，PlotLabel→“表达式”，AxesLabel→{“x”，“y”}]．9.3.2绘图观察多个函数图形在同一个坐标系的情况2设

，

，…，在一个坐标系里观察这些函数图像，其命令格式为： Plot[{f1(x)，f2(x)，…}，{x，x1，x2}]．例29.3.2绘图例39.3.2绘图例49.3.2绘图分段函数的绘图3先利用条件Which语句自定义分段函数，然后用Plot语句画出分段函数的图形，即首先输入f[x_]：=Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…条件n，表达式n]，然后再输入Plot[f(x)，{x，x1，x2}]．例59.3.2绘图参数方程绘图4使用ParametricPlot函数可以画参数形式的图形，其命令格式为：ParametricPlot[{x(t)，y(t)}，{t，a，b}，可选项]ParametricPlot[{{x1(t)，y1(t)}，{x2(t)，y2(t)}，…}，{t，a，b}，可选项]例69.3.2绘图二元函数的图像5使用Plot3D函数可以画二元函数的图形，其具体步骤如下．（1）定义二元函数，其命令格式：z[x，y]=表达式；（2）Plot3D[z[x，y]，{x，x1，x2}，{y，y1，y2}]．例79.4Mathematica在微积分中的应用9.4.2导数与微分9.4.1极限与连续9.4.3积分运算及简单应用9.4.1极限与连续极限19.4.1极限与连续例19.4.1极限与连续例2例39.4.1极限与连续分段函数分界点的连续性2根据连续的概念，利用上述命令，判断函数在某一点的极限，并判断极限值与此点的函数值是否相等．若相等，则函数在此点连续．例49.4.2导数与微分导数运算1（1）显函数的导数运算一阶导数的命令格式为D［f，x］（f为函数表达式，x为自变量）；n阶导数的命令格式为D［f，{x，n}］（n为导数的阶数）；用BasicInput工具栏中的求一阶导数的形式：（函数表达式）；用BasicInput工具栏中的求二阶导数或的形式：（函数表达式），（函数表达式）．函数表达式可以是一元或多元函数，变量可有一个或多个，使用灵活．例如例59.4.2导数与微分例69.4.2导数与微分例79.4.2导数与微分例89.4.2导数与微分9.4.2导数与微分（2）隐函数的导数运算9.4.2导数与微分例99.4.2导数与微分例109.4.2导数与微分函数的微分、全微分2求函数的微分dy，其命令格式为Dt［f（x）］．输出的表达式中所含的Dt［x］，这里可以视为数学中的dx求函数的全微分dz，其命令形式为Dt［f［x，y］］．例11例12例139.4.2导数与微分用Mathematica解微分方程3（1）没有初始条件的微分方程命令格式：DSolve［微分方程，y［x］，x］．注意：要将输入成y［x］，另外，微分方程中的等号要用双等号．（2）含初始条件的微分方程命令格式：DSolve［{微分方程，初始条件}，y［x］，x］．注意：要将输入成y［x］，另外，微分方程及初始条件中的等号要用双等号．例14例15例169.4.2导数与微分9.4.3积分运算及简单应用不定积分1输入格式：在BasicInput模板中的，输入数学积分式．注意：输出结果均不带积分常数．例179.4.3积分运算及简单应用定积分2输入格式：在BasicInput模板中的，输入数学积分式．例18例199.5Mathematica在线性代数中的应用9.5.1Mathematica中矩阵的相关计算9.5.2用Mathematica求解线性方程组矩阵的输入方法19.5.1Mathematica中矩阵的相关计算（1）按表的格式输入（一般方法）：

{{}，{}，，{}}，生成行列的矩阵．注意：此时输出格式与我们常见的矩阵形式不同，若要转换为数学格式，则其命令格式为：

{{}，{}，，{}}//MatrixForm．（2）菜单输入（适用于大矩阵）：执行【Input】→【CreateTable/Matrix】命令，输入行数及列数，可形成数学形式的矩阵，然后在相应的位置输数即可．（3）单击【BasicInput】模板中的进行输入（适用于二阶小矩阵）．计算矩阵A的行列式29.5.1Mathematica中矩阵的相关计算计算矩阵A的行列式值的方法：①输入矩阵A；②计算矩阵行列式的值：命令格式为Det［A］．例1矩阵的基本运算39.5.1Mathematica中矩阵的相关计算命令格式：A+B 表示矩阵A与B相加；k﹡A 表示数k与矩阵A相乘；Transpose［M］ 表示矩阵M的转置；A．B 表示矩阵A与B相乘；M//MatrixForm 表示矩阵，标准形式输出（数学常见形式）．9.5.1Mathematica中矩阵的相关计算例2矩阵求逆49.5.1Mathematica中矩阵的相关计算命令格式：Inverse［A］ 求方阵A的逆矩阵；Inverse［A］//MatrixForm求方阵A的逆矩阵，并以标准形式（即数学中常见的矩阵形式输出）．例3矩阵求秩59.5.1Mathematica中矩阵的相关计算方法：用初等变换将矩阵化为行最简形，非零行数即为矩阵的秩．命令格式：RowReduce［A］//MatrixForm．例49.5.2用Mathematica求解线性方程组判断方程组的解是否存在1判断系数矩阵和增广矩阵的秩，是否相等，即可判断方程组的解是否存在．具体的步骤如下：（1）求系数矩阵和增广矩阵的秩．命令格式：RowReduce［M］，秩为执行结果矩阵中的非零行数．（2）判断：若，则有解．当时，有唯一解；当时，有无穷多解．其中，n为未知数的个数．若方程组是齐次线性方程组，则当时，齐次线性方程组只有零解；当时，齐次线性方程组有非零解．9.5.2用Mathematica求解线性方程组例59.5.2用Mathematica求解线性方程组例69.5.2用Mathematica求解线性方程组求齐次线性方程组的基础解系和通解29.5.2用Mathematica求解线性方程组例79.5.2用Mathematica求解线性方程组求非齐次线性方程组的基础解系和通解39.5.2用Mathematica求解线性方程组例89.5.2用Mathematica求解线性方程组例89.6Mathematica在统计中的应用9.6.1数据的统计与分析9.6.2线性回归9.6.1数据的统计与分析Mean［data］ 计算data的均值；Variance［dist］ 计算data的样本方差；VarianceMLE［dist］ 计算data的方差；Median［data］ 计算data的中位值．注意：利用Mathematica计算上式时，必须要先调出相应的软件包，格式如下：＜＜Statistics'DescriptiveStatistics'其中，“'”是用键盘上Esc键下方的键键入的．9.6.1数据的统计与分析例1从某班抽出10人，测量身高．数据如下：1.54，1.63，1.71，1.54，1.66，1.57，1.72，1.78，1.59，1.56，求这组样本数据的均值、样本方差和中位值．解输入命令：＜＜Statistics'DescriptiveStatistics'Data1={1.54，1.63，1.71，1.54，1.66，1.57，1.72，1.78