北师大版数学 第1章 勾股定理（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第1章勾股定理·拔尖卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（

）A．5或7 B．1 C．7 D．252．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（

）A．6 B．132 C．7 D．3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=22时，b+c的值为（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．360 B．200 C．280 D．2424．（25-26八年级下·山东临沂·期中）某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距离15海里的B点，有一艘敌舰正以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（

）A．16海里/小时 B．20海里/小时C．32海里/小时 D．34海里/小时5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则SA．6 B．8 C．12 D．166．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8，点E为AC上一点，且CE=2，点D为边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，若EA′的延长线恰好经过点BA．2 B．3 C．4 D．67．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，动点E在边BC上，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连接AF、EF、CF、DF，则AF+DF的最小值是（

）A．4 B．25 C．5 D．9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，BD=BC=5，AB=1，AC=2，AD=2．则A．15 B．30 C．45 D．6010．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则∠APB等于（

）．A．120° B．135° C．150° D．160°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.5m12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知Rt△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下：①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米；②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完；③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆AB的高度为______米．14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE,BE,DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=2，PB=10，则正方形ABCD的边长为___________15．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是______．16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是______米．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片ABCD进行折纸．已知该纸片长AD为10cm，宽AB为8cm．折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为(1)BF=__________cm,    FC=(2)求EF的长．18．（8分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a，较长的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为(1)【探索求证】数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90(2)【问题解决】同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知△HMN中，HM=13,MN=15,HN=14，作MK⊥HN，就可以计算出△HMN的面积．请你完善解答过程，求出△HMN的面积．19．（10分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．(1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）：①在图1中，作出△ABC的AC边上的高BH；②在图2中，点F为AC的中点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；(2)在8×8的方格纸中与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）共有_____个．20．（10分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2，求△PDC21．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF．连接CE、CF．(1)点P为线段CF的中点，连接DP①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系；②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出∠PDC与∠ACE之间的数量关系并证明；(2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G，设FC、EC的长分别为m、n，则DG⋅DC的值是（用含m，n的式子表示）．22．（12分）（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90°．【初步探索】如图①，点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上，连结AE、BD，线段AE与BD的数量关系是____________，位置关系是______．【拓展延伸】如图②，点A、C、B不在同一条直线上，点E在△ACD内，点B在△ACD外，连结AE、BD，1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【知识应用】如图③，△ACD和△BCE两块等腰直角三角尺，∠ACD=∠ECB=90°．连结AE、DE．若有AE2=D23．（14分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为8m，8m，4m的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙2m，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！【方案设计】为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由6个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？（1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线．①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）；②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段A3（2）比较验证③比较A1B1，A2B2，A3【问题回归】定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用a2（3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则d2

第1章勾股定理·拔尖卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（

）A．5或7 B．1 C．7 D．25【答案】A【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可．【详解】解：当长为4的边是斜边，长为3的边是直角边时，由勾股定理可得：第三边长为42当长为3和4的边都是直角边，第三边为斜边时，由勾股定理得：第三边长为42综上所述，第三边长为5或7．2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（

）A．6 B．132 C．7 D．【答案】D【分析】先利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，再根据中点的定义求出CD的长度，最后在Rt△BCD中用勾股定理计算BD【详解】解：∵AC=12，BC=5，AB=13，∴ACAB∴AC∴∠C=90∵点D是AC的中点，∴CD=1∴在Rt△BCDBD=B3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=22时，b+c的值为（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．360 B．200 C．280 D．242【答案】D【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a=22，求出b、c的值，进而可得答案．【详解】解：根据表格中数据可得：a2+b则a2当a=22时，222解得：b=120，则c=120+2=122，∴b+c=120+122=242．4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距离15海里的B点，有一艘敌舰正以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（

）A．16海里/小时 B．20海里/小时C．32海里/小时 D．34海里/小时【答案】D【分析】根据方向角的度数及平行线的性质得出∠ABC=90°，根据敌舰的速度得出BC=8海里，利用勾股定理求出AC=17海里，进而可求出巡逻舰的航行速度．【详解】解：如图所示，由题意得，AF∥BE，∠FAB=50°，∠CBE=40°，AB=15海里，∴∠ABD=∠FAB=50°，∴∠ABC=180°−∠ABD−∠CBE=180−50°−40°=90°，∵敌舰以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务，∴BC=16×1∴AC=A∴巡逻舰的航行速度为17÷15．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则SA．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点．设八个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，得到正方形EFGH的面积S2=c2=4，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到S【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，∴a∵正方形EFGH的边长为2，∴S∵正方形ABCD的面积为S1正方形MNKT的面积为S3∴S6．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8，点E为AC上一点，且CE=2，点D为边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，若EA′的延长线恰好经过点BA．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】求出AE=6，由勾股定理可得BE=10，设AD=x，由折叠得A′D=AD=x，A′E=AE=6，由勾股定理求出BE，在【详解】解：如图，∵CE=2，AC=8∴AE=AC−CE=6，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=设AD=x，则BD=AB−AD=8−x由折叠得A′D=AD=x，A′∴BA′在Rt△A∴42解得x=3，∴AD=3．7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，．8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，动点E在边BC上，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连接AF、EF、CF、DF，则AF+DF的最小值是（

）A．4 B．25 C．5 D．【答案】B【分析】过点F作BC的垂线交BC延长线于点G，并在BC延长线上取点Q，使得CD=CQ，连接FQ，连接AQ，证明△ABE≌△EGFAAS，进而证明△FGC是等腰直角三角形，得到∠DCF=∠FCG=45°，再证明△DCF≌△QCFSAS，推出AF+DF=AF+QF，当F点在线段AQ上时，AF+DF有最小值，最小值为AQ的长，利用勾股定理求出【详解】解：过点F作BC的垂线交BC延长线于点G，并在BC延长线上取点Q，使得CD=CQ，连接FQ，连接AQ，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠BCD=∠D=90°，由旋转性质得AE=EF，∠AEF=90°，∴∠BAE=∠GEF=90°−∠AEB，∵FG⊥BC，∴∠FGE=∠EBA=90°，∴△ABE≌△EGFAAS∴BE=GF，EG=AB=BC，∴BE+CE=CG+CE，∴CG=BE=FG，∴△FGC是等腰直角三角形，∴∠FCG=45°，∵∠DCQ=90°，∴∠DCF=∠FCG=45°，∵CD=CQ,CF=CF，∴△DCF≌△QCFSAS∴DF=QF，∴AF+DF=AF+QF，当F点在线段AQ上时，AF+DF有最小值，最小值为AQ的长，在Rt△ABQ中，AB=2,BQ=BC+CQ=4，∠ABQ=90°∴AQ=A∴AF+DF的最小值为259．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，BD=BC=5，AB=1，AC=2，AD=2．则A．15 B．30 C．45 D．60【答案】C【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键．过点D作DE⊥AB，垂足为E，AE=x，在Rt△ADE和Rt△BDE中，以DE为桥利用勾股定理列方程得AE=1，即可得DE=1，由AE=DE得∠EAD=45°，由AB=DE，BC=BD可证Rt△ABC≌Rt△EBDHL，可得【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∴DE2=AD2∴AD设AE=x，则BE=AE+AB=x+1，∴22解得x=1，即AE=1，∴DE=A又∵AB=1，∴AE=DE=AB，∴∠EAD=180°−∠E∵AB²+AC²=1²+2²=5，BC2=∴∠BAC=90°，在Rt△ABC和RtBC=BDAB=DE∴Rt△ABC≌∴∠C=∠EBD，∵∠EBD+∠ADB=∠EAD=45°，∴∠C+∠ADB=45°故选：C．10．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则∠APB等于（

）．A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．【详解】连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形是解答本题的第一个关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.5m【答案】已变形【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形．【详解】解：∵木门正常时，∠B应为直角，根据勾股定理，应有：A∵AB=2m，BC=1∴A又测得AC=2.5m∴A∵5≠6.25，即AB∴∠B不再是直角，木门已变形．12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知Rt△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____【答案】24【分析】在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，阴影部分面积=半圆AC+半圆BC+直角三角形ABC面积−半圆AB，求出即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8∴AB=A则S==24．13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下：①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米；②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完；③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆AB的高度为______米．【答案】13.6【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．连接HF并延长交AB于M，在Rt△AMF中和Rt△AMH中，分别使用勾股定理得AM2+3.52=AF2①【详解】解：连接HF并延长交AB于M，∴MF=3.5,HF=1.5,BM=1.6，AH=AF+0.5，则MH=MF+HF=5，在Rt△AMF中，A即AM在Rt△AMH中，A即AM由②−①得：解得AF=12.5，代入①得：AM∴AM∴AM=12，∴AB=AM+MB=12+1.6=13.6（米）．故答案为：13.6．14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE,BE,DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=2，PB=10，则正方形ABCD的边长为___________【答案】10【分析】根据SAS证明△ABE≌△ADP，得BE=DP，∠AEB=∠APD，可判断△AEP是等腰直角三角形，求出∠BEP=135°−45°=90°，在Rt△BEP中，求得BE=2，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，证明△BEF是等腰直角三角形，得EF=BF=1，AF=3，在Rt△ABF【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AP⊥AE，∴∠EAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又AE=AP，∴△ABE≌△ADPSAS∴BE=DP，∠AEB=∠APD，∵AE=AP=2，∠EAP=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP=∠APE=45°，EP=2∵∠APD=180°−45°=135°，∴∠AEB=135°，∴∠BEP=135°−45°=90°，在Rt△BEP中，PB=10，∴BE=P过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵∠AEB=135°，∴∠BEF=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF=1∴AF=AE+EF=2+1=3，在Rt△ABF中，AB=15．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是______．【答案】直角三角形【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．【详解】解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，则△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°，又∵CN=CN，∴△MNC≌△DNC，∴MN=ND=n,AM=BD=m，又∠DBN=45°+45°=90°，∴n∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是______米．【答案】19【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH，连接AH，BH．过点B作BQ⊥AH交AH延长线于点Q．即AM+MN+NB=MN+HN+BN≥MN+BH．随后，结合已知条件，在Rt△HQB中，运用勾股定理求出BH的长，最后求得AM+MN+NB【详解】解：如图，将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH，连接AH，BH．过点B作BQ⊥AH交AH延长线于点Q．∵将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH，∴AM=HN，∴AM+MN+NB=MN+HN+BN≥MN+BH，即AM+MN+NB≥MN+BH∵河宽4米，∴MN=4（米），∴AM+MN+NB≥4+BH．∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，∴AQ=5+4+4=13（米），∴HQ=AQ−AH=13−4=9（米），∵A，B两点之间的水平距离为12米，∴BQ=12（米），∵BQ⊥AH交AH延长线于点Q，∴∠Q=90°．在Rt△HQBHB=H∴AM+MN+NB≥4+BH=4+15=19（米），即AM+MN+NB的最小值是19米．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片ABCD进行折纸．已知该纸片长AD为10cm，宽AB为8cm．折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为(1)BF=__________cm,    FC=(2)求EF的长．【答案】(1)6；4(2)EF=5【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可．（1）根据矩形的性质，折叠的性质，可得AD=AF=BC，根据勾股定理求出BF，根据BF+CF=BC，即可；（2）设CE=x，根据折叠的性质，可得EF=DE，根据勾股定理，即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，由折叠可得，AD=AF，∴AB=AF=AD=10，∵AB=8，在Rt△ABF中，A∴102∴BF=6；∵BF+CF=BC，∴6+CF=10，∴CF=4；故答案为：6；4．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8，由折叠可得，EF=DE，设CE=x，∴DE=DC−CE=8−x，在Rt△EFC中，E∴8−x2解得：x=3，∴EF=DE=8−3=5．18．（8分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a，较长的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为(1)【探索求证】数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90(2)【问题解决】同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知△HMN中，HM=13,MN=15,HN=14，作MK⊥HN，就可以计算出△HMN的面积．请你完善解答过程，求出△HMN的面积．【答案】(1)见解析(2)84【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解；（2）根据勾股定理构造等量关系即可求得HK的长度，即可求解面积．【详解】（1）解：∵S且S梯形∴1∴a（2）解：由题意设HK=x，∵HM=13,MN=15,HN=14，∴KN=HN−HK=14−x．∵MK⊥HN，∴∠MKH=∠MKN=90在Rt△MHKM在Rt△MNKM∴13解得x=5，∴HK=5，∴MK=13∴S19．（10分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．(1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）：①在图1中，作出△ABC的AC边上的高BH；②在图2中，点F为AC的中点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；(2)在8×8的方格纸中与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）共有_____个．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)2【分析】本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．（1）①作AE⊥BC，取格点G，连接BG并延长交AC于H即可；②取格点M，连接FM交AB于点D即可；（2）分类讨论，三边分别为公共边时，通过数格子，找到与另外两边相等线段组成的三角形，连线即可．【详解】（1）①作AE⊥BC，取格点G，连接BG并延长交AC与H，证明：由作图可知，AE=BE，∠CEA=∠GEB=90°，CE=GE，∴△CEA≌△GEBSAS∴∠ACE=∠BGE，∴∠GBE+∠ACE=∠GBE+∠BGE=90°，∴∠BHC=90°，∴BH⊥AC，即BH为△ABC的AC边上的高；②取格点M，连接FM交AB于点D即可；证明：连接AM，取格点M下方格点为N，可知∠ADF=∠ANF+∠DFN=45°+∠DFN，由勾股定理可知AM=12+22∴AM=AF，AM∴△AMF是等腰直角三角形，即∠AMF=∠AFM=45°，∵NF∥BC，∴∠AFN=∠ACB，∴∠ACB=∠AFM+∠DFN=45°+∠DFN∴∠ADF=∠ACB；（2）∵与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形∴分别是以AB,AC,BC为公共边的三角形当公共边为AB时当公共边为BC时当公共边为AC时，不符合题意，舍去故答案为：2．20．（10分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2，求△PDC【答案】(1)A(2)3【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；（2）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明ΔAPD为等腰直角三角形，可得AP=DP=2，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC=2【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案为：A；（2）由题意可知：△ABP≌△DBP，∴BA=BD，∠ABP=∠DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA∴AD=AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∠BAD=60°，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴∠PBC=90°，∵∠CPB=45°，∴∠APB=180°−45°=135°，∴∠DPC=90°，∵∠ABC=120°，∠ACB=45°，∴∠BAC=15°，∴∠CAD=45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP=DP=2∴AD=2，延长BP交AD于点E，如图，∵∠ABP=∠PBD，∴BE⊥AD，PE=1∴BE=A∴PB=BE−PE=3∵∠CPB=∠PCB=45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC=2∴S21．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF．连接CE、CF．(1)点P为线段CF的中点，连接DP①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系；②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出∠PDC与∠ACE之间的数量关系并证明；(2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G，设FC、EC的长分别为m、n，则DG⋅DC的值是（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)①DP⊥CE,DP=1②∠PDC=∠ACE+45°证明：如图，过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M，连接MF，∴∠CAM=∠EAF=90°，∴∠CAE=∠MAF∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，DA=DC∴∠DAM=45°∴DA=DM∴DC=DM∴AC=AM又∵AE=AF∴△ACE≌△AMF∴∠ACE=∠AMF∵点P为线段CF的中点，DC=DM∴DP∴∠PDC=∠FMC=∠AMF+∠AMC=∠ACE+45°，即∠PDC=∠ACE+45°(2)n【分析】（1）①证明△DCF≌△BCESAS，得出CF=CE，∠DCF=∠BCE，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出PD=PC=12CF，进而可得DP=12CE；延长DP交EC于点M，设∠PCD=∠PDC=α②过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M，连接MF，证明△ACE≌△AMFSAS得出∠ACE=∠AMF，进而证明DP是△AFM的中位线，可得DP（2）连接DF,BE，过点E作EH⊥AB于点H，证明△DAF≌△BAESAS得出∠FDA=∠EBA，DF=BE，进而证明△FGD≌△EHBAAS，得出GD=BH，FG=HE，设GD=BH=a，FG=HE=c,CG=b，进而根据勾股定理表示出m,n，得出【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=AD∵等腰直角三角形AEF∴AE=AF∴BE=DF∴△DCF≌△BCE∴CF=CE，∠DCF=∠BCE∵点P为线段CF的中点，∴PD=PC=∴DP=1∵PC=PD∴∠PCD=∠PDC如图，延长DP交EC于点M，设∠PCD=∠PDC=α，则∠DCF=∠BCE=α，∴∠ECD=90°−∠BCE=90°−α，∴∠ECD+∠CDM=90°，∴PD⊥CE；②略（2）解：如图，连接DF,BE，过点E作EH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°又∵等腰直角三角形AEF∴AE=AF，∠FAE=90°∴∠DAF=∠BAE=90°−∠FAB∴△DAF≌△BAE∴∠FDA=∠EBA，DF=BE∴90°−∠FDA=90°−∠EBA即∠GDF=∠HBE又∵FG⊥CD,HE⊥BH，∴∠FGD=∠EHB=90°∴△FGD≌△EHB∴GD=BH，FG=HE设GD=BH=a，FG=HE=c,CG=b，则CH=CB+BH=CD+BH=a+b+a=2a+b在Rt△CGF中，CF在Rt△CHE中，CE∴a∴DG⋅DC=a22．（12分）（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90°．【初步探索】如图①，点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上，连结AE、BD，线段AE与BD的数量关系是____________，位置关系是______．【拓展延伸】如图②，点A、C、B不在同一条直线上，点E在△ACD内，点B在△ACD外，连结AE、BD，1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【知识应用】如图③，△ACD和△BCE两块等腰直角三角尺，∠ACD=∠ECB=90°．连结AE、DE．若有AE2=D【答案】【初步探索】AE=BD，AE⊥BD；【拓展延伸】见解析；【知识应用】45°或135°．【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得AC=CD，CE=CB，∠ACE=∠DCB=90°，从而可证△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可证，AE=BD∠CAE=∠CDB，根据三角形内角和定理可得∠DGE=90°，从而可证【拓展延伸】由【初步探索】可知△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可证AE=BD，∠CAE=∠CDB，根据三角形内角和定理可得∠DOM=90°，从而可得【知识应用】连接BD由【拓展延伸】可知△ACE≌△DCB，根据等腰直角三角形的性质可得BE2=2CE2，从而可得B【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长AE交BD于点G，∵△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90°，∴AC=CD，CE=CB，∠ACE=∠DCB=90°，在△ACE和△DCB中AC=CD∠ACE=∠DCB∴△ACE≌∴AE=BD，∠CA