北师大版数学 第1章 勾股定理·基础通关卷 试卷 含答案

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第一章勾股定理·基础通关建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（

）A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，132．一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．不能确定3．中，，，，则（

）A．10 B．14 C．12 D．54．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（

）A． B． C． D．6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（

）A．16 B．6 C．48 D．247．如图，顶点，，在边长为1的正方形网格格点上，若于点，则的长为（

）．A． B． C． D．8．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（

）m路，却踩伤了花草A．1 B．5 C．2 D．79．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（

）A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知的三边，，满足，则的形状为________．12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？”译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩．13．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______．14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米．15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________．16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，在中，，于．若，，(1)求的长度；(2)求的长度．18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画．(1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4；(2)在图②中画一个等腰直角三角形．19．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题：(1)如图，线段的长为尺，线段的长为尺；(2)求芦苇的长度．20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段．(1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）；(2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长．21．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．22．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题．(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数．请你补充完整猜想并验证猜想．23．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，．(1)判断的形状，并证明；(2)记的面积为，的面积为，求的值．24．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；解决问题：(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．板块内容背景阐述灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务．素材一工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）．素材二灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草．素材三灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米．(1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：；(2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积；(3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）．

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第一章勾股定理·基础通关建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（

）A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【答案】D【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可．【详解】解：根据勾股数的定义依次判断：选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除；选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除；选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D．2．一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】D【分析】题干未说明，，中哪条边是斜边，因此无法确定三边的平方关系【详解】解：∵勾股定理指出，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，本题未说明，，哪条边是该直角三角形的斜边，∴无法确定A、B、C中哪一个等式成立3．中，，，，则（

）A．10 B．14 C．12 D．5【答案】A【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可．【详解】解：在中，，，为斜边，由勾股定理得，，，，边长为正数，．4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解．【详解】解：设正方形的边长分别为，∵正方形的面积分别是，∴，，∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边，∴由勾股定理得，∴，∴正方形的面积是．5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答．【详解】解：∵，，∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边；长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边．符合条件的图形为选项B．6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（

）A．16 B．6 C．48 D．24【答案】C【分析】本题利用长方形四个角为直角，邻边与对角线构成直角三角形，结合勾股定理求出另一边长，再根据长方形面积公式计算即可．【详解】解：设长方形另一边长为，则对角线长为．∵长方形内角为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形，∴由勾股定理得：，展开得：，化简得：，解得．∴长方形面积为．7．如图，顶点，，在边长为1的正方形网格格点上，若于点，则的长为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可．【详解】解：由网格图可知，，点到所在直线的距离为3，，∴，∵，∴，∴，解得：．8．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（

）m路，却踩伤了花草A．1 B．5 C．2 D．7【答案】C【分析】根据勾股定理求出，再根据解答．【详解】解：如图所示，根据题意，得，根据勾股定理，得，则，所以他们仅仅少走了路．9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（

）A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米【答案】B【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解．【详解】解：∵米，米，米，∴，∴，∵点P在上，∴当时，的值最小，∴此时，∴，∴，∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米．10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项．【详解】A、梯形的面积为，三个直角三角形的面积之和为，令二者相等，两边乘化简得，即，故A选项可以证明勾股定理．B、大正方形的面积为，四个三角形与中间小正方形的面积之和为令二者相等，展开化简得，即，故选项B可以证明勾股定理．C、大正方形的面积为，四个三角形与中间小正方形的面积之和为，令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理．D、大正方形的面积为，其余各部分面积之和为，令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知的三边，，满足，则的形状为________．【答案】直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵，∴，∴是直角三角形．12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？”译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩．【答案】/【分析】设长方形田的宽为x步，对角线长为步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转换为亩数即可．【详解】解：设宽为x步，则对角线长为步，由勾股定理得：，解得，面积平方步，亩数．13．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______．【答案】9【详解】解：∵所有的四边形都是正方形，∴图中所有三角形都为直角三角形，由勾股定理得：正方形E的面积．14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米．【答案】140【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出．【详解】解：在中，，，，，，，是直角三角形，，即．在中，，，由勾股定理得：，（米）．15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________．【答案】13【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵为的中点，高，∴，将圆柱侧面展开，如图所示：∵这个圆柱的底面圆的直径为，∴在侧面展开图中，，，∴在中，，即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13．16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____．【答案】或【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形，当或时，分别画出图形,再结合折叠的性质以及勾股定理进行列式计算，即可作答．【详解】解：当时，将沿折叠到，，，点、、三点共线，，，由勾股定理得，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得，，当时，，，，结合折叠的性质，折叠后的点的位置无法使得，综上，或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，在中，，于．若，，(1)求的长度；(2)求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边；（2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高．【详解】（1）解：，，，．（2）解：，，，，，，解得．18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画．(1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4；(2)在图②中画一个等腰直角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用网格画出一个底边为，高为的锐角三角形即可；（2）利用网格画出一个两条边相等，且有一个角是直角的三角形即可．【详解】（1）解：如图：即为所求；由图可得：，边上的高为，∴；（2）解：如图：即为所求；由勾股定理可得，，∴，∴为等腰直角三角形．19．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题：(1)如图，线段的长为尺，线段的长为尺；(2)求芦苇的长度．【答案】(1)，(2)尺【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案；（2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺，（2）解：设芦苇长尺，则水深尺，在中，，即，解得：，则（尺），答：芦苇长尺．20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段．(1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）；(2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长．【答案】(1)是(2)【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可；（2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题．【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段，若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形，直角三角形一定是等直三角形；（2）解：∵是的等直分割线段，∴是等腰三角形，∴，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，∴．21．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：

，，，，，，

为直角三角形．(2)原路线的长为【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）设，则，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）略（2）解：设，则，由（1）知为直角三角形，，为直角三角形，，即，解得，，原路线的长为．22．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题．(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数．请你补充完整猜想并验证猜想．【答案】(1)（10，24，26）(2)，，证明：∵，，∴，∴是勾股数．【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26；（2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性．【详解】（1）略（2）略23．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，．(1)判断的形状，并证明；(2)记的面积为，的面积为，求的值．【答案】(1)是直角三角形．证明：∵，∴，在中，，，根据勾股定理得，在中，，∵，根据勾股定理的逆定理得，，∴是直角三角形；(2)66【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；（2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解．【详解】（1）略（2）在中，，在中，．24．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；解决问题：(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明