辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期中考试试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C2.已知数列的前项和为，且，则（）A.16 B.17 C.20 D.21【答案】B3.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.0【答案】A4.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则下列结论正确的是（）A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3:0获胜的概率为C.乙队以3:1获胜的概率为 D.乙队以3:2获胜的概率为【答案】B5.函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】A6.高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（）A. B. C. D.【答案】B7.已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A8.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（）A. B. C. D.【答案】A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（）A.的公差 B.C. D.【答案】AD10.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（）x4681012ya2bc6A.变量x与y的样本相关系数 B.C.当时，残差为 D.当时，y的预测值为【答案】BCD11.已知函数，则（）A.的零点之和为3B.的图象关于点对称C.曲线不存在倾斜角为的切线D.曲线在处的切线的斜率为432【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点移动五次后位于点的概率是________．【答案】13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____【答案】14.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则_____________.【答案】1012四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由条件可知，解得，，所以的通项公式为．（2）因为，所以数列的前项和为.16.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）当，求的最值．解：（1）依题意，，则，又，即切点坐标为，故所求切线方程为：，即.（2）由.令，得.当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，故是的极小值，也是最小值.又，而，即.故在区间上的最大值为，最小值为.17.已知数列中，，，，等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和.（1）解：等比数列满足，所以，得，，得，所以等比数列的公比为，故其通项公式为（2）证明：由（1）可知：，即，所以，又所以数列是首项是1，公差为1的等差数列，故，所以令18.已知．（1）若，求函数的极值；（2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围．解：（1）时，定义域为，，，令解得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以在时，函数取得极小值；无极大值.（2）因为存在单调递增区间，所以在上有解.由，得，∵，当且仅当时取等号.∴，即，所以实数的取值范围是.19.雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望.（2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整.第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为.已知甲同学第一关通过的概率为.（i）求该同学第二关通过的概率；（ii）记甲同学通过第n关的概率为当时，恒成立，求M的最小值.附：若随机变量服从正态分布则解：（1）因为，则，所以，由题知，所以.（2）（i）由题