浙江省北斗星盟2026届高三下学期二模数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省北斗星盟2026届高三下学期二模试题选择题部分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=0,1,2,3,B={x∣0≤lnA. B. C. D.【答案】B2.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D3.已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D4.已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法构成四边形【答案】A5.AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设正整数，其中，.记.则（）A.3 B.2 C.1 D.26【答案】A6.已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C7.已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B8.如图所示，由个边长为的小正方形拼成一个边长为的大正方形网格，质点从顶点出发，沿着网格线运动至顶点停止，规定运动过程中任意顶点（含起点和终点）均不可重复经过.设随机变量表示质点从到经过的路径总长度，若质点所有可能的运动路径是等可能的，则（）A. B. C. D.【答案】B二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则的准线可能是（）A. B. C. D.【答案】BC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若，则的最小值为1C.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3D.若在上无零点，则的取值范围为【答案】AD11.“杨辉三角”由南宋数学家杨辉在所著《详析九章算法》中首次提出，它揭示了二项式系数在三角形数表中的几何排列规律.如图所示，记“杨辉三角”第行第个数为，并由此构造新的-数表，记-数表的第行第个数为Pi,j，满足Pi,j=j-1⋅ai,j,P-数表第行所有数字之和记为，则下列说法正确的是（）A.P4,4B.当时，Pi,jC.除以7的余数为1D.【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为纯虚数，则实数的值为_______．【答案】13.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.【答案】14.已知正四面体的棱长为，点为的重心，点是正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为_________.【答案】非选择题部分四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求角的大小；（2）已知，为的中点，且，求的周长.解：（1）由及正弦定理得，因为，所以，代入上式：，整理得，因为，所以，所以，又，所以.（2）因为为中点，所以，两边平方得，可得①，由余弦定理可得②，整理可得，，故，故的周长为.16.近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下：年份编码123456销售量276312354386418450（1）求这6年销售量数据的极差与第75百分位数；（2）从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率；（3）销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）.参考公式及数据：（1）（2）.解：（1）由题意得极差为，而，向上取整可得第75百分位数为418.（2）设事件表示：其中一个数据不小于400（千辆），事件表示：另一个数据不小于400（千辆），则，（3）由题意得，法一：可得，a=y-则关于的经验回归方程为，将代入回归方程，得到，故预测第8年新能源车的年销量为522.87千辆.法二：可得，此时，此时回归方程为，将代入回归方程，得到，故预测第8年新能源车的年销量为千辆.17.如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置.（1）若，求证：平面；（2）记平面与平面的夹角为，求的最小值.（1）证明：连接、，如下图所示：因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，又因为，所以，则，所以，因为四边形为平行四边形，则，由余弦定理计算得，，所以，，所以，故，因为，，所以，所以，翻折前，翻折后则有，因为，、平面，所以平面，而平面，所以，又因为，，、平面，所以平面.（2）解：以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，设平面的法向量为，，，则，令，得，设平面的法向量为，，，则，令，则，所以，令，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为.18.已知双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，且.（1）求双曲线的标准方程；（2）若是双曲线的左右顶点，点是线段上一点（异于两点），直线与双曲线交于点，直线与双曲线交于点，直线与直线交于点.（i）求四边形面积的最大值；（ii）是否存在定点，使得以为直径的圆始终与某条定直线相切？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，，可得，因为直线与双曲线交于两点，将代入，解得，.因为，所以，，解得，.故双曲线的标准方程为：.（2）如图所示：（i）不妨设点是双曲线上异于、的任意一点，下证直线和的斜率之积为定值.由，得.由（1）题知，，，.则.设且，则，，因为点、、三点共线，所以，，因为点、、三点共线，所以,，因为点是双曲线上的点，所以，则，因为点是双曲线上的点，所以，则，故，联立y=3(t+1)(x-1)y=3(t-1)(x+1)，解得，x=ty=3(t2-1)因为-233<t<233则，故当时，取得最大值为4.（ii）由（i）得H(t,3(t2-1))，设x=ty=3t2-3，则可得，如图知点的轨迹为抛物线，其中对比抛物线的标准形式x2=2p(y-k)可得，，即，该抛物线的顶点为，开口向上，焦点在顶点上方处，准线在顶点下方处，所以焦点的纵坐标为-3+p2准线方程为：y=-3-p所以，以为直径的圆始终与直线相切.故存在定点为和定直线满足题意.19.对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”.（1）试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明）①；②；③；（2）已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围；（3）求证：n∑i=133i-1-ln1+（1）解：对于①，令h(x)=而，当时，恒成立，则在上单调递减，且，则，可得，得到是在上的上域函数，对于②，令m(x)而，当时，恒成立，则在上单调递增，且，则，可得，得到是在上的下域函数，对于③，令n(x)=lnx+1则，当时，恒成立，则在上单调递增，且，则lnx+1+12x得到是在上的下域函数，综上可得，①是“上域函数”，②③是“下域函数”.（2）解：由题意知，当时，lnx+1≥当时，l