浙江省绍兴市柯桥中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省绍兴市柯桥中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试试题（考试时间：120分钟，分值：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B2.某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（）A.89和 B.和 C.90和 D.和92【答案】B3.已知，，为向量，则“”是“或”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B4.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（

）A. B. C. D.【答案】A5.如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（

）A.与是异面直线 B.平面C.与所成角的余弦值为 D.【答案】D6.如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（）A.3 B.4 C. D.5【答案】B7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】B8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，1+2sinA1-2cosA=sin2C1+cos2CA. B. C. D.【答案】C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.B.的共轭复数为C.若A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若，则一定是等腰三角形D.若复数是关于的方程的一个根，则【答案】AB10.如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（

）A.三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．B.无论点N在何处，始终有平面成立．C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．D.平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．【答案】BCD11.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（）A. B.C.边上的中线长为 D.的取值范围是【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中O'A'=O'B'【答案】13.如图，在等腰梯形中，，，，，点是梯形的腰上的一动点，则的最大值是______．【答案】614.在长方体中，其中是正方形，已知，AA1>1．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点．（1）用表示；（2）求.解：（1）因为点D为的中点，所以，因为点E在上，且，所以.（2）.16.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩(满分：100分)分成六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.解：（1）由题可得，所以样本数据的平均数约为.（2）成绩较高的前的学生对应的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，设获得该荣誉证书的最低分数为x，则.（3）由题可得成绩在和的频数分别为，所以这两组数据的总平均数和方差.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接，交于点，连接，四边形为正方形，是的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面.（2）证明：底面为正方形，．平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，又是正三角形，为的中点，，，平面，平面．平面，平面平面．（3）解：取的中点O，连接，因为，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，平面，所以平面，如图，建立空间直角坐标系，设，则.，设是平面的法向量，则，即，令，解得，，设与平面所成角为，则.18.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．解：（1）因为，所以，故，又因为，所以.（2），，由余弦定理可得：，即，又因为，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为.（3）如图所示：设，则，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，又因为与互补，所以，所以①，在中，由余弦定理可得：，整理得，②由①②可得：，解得，所以.19.将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体．（1）证明：；（2）若二面角和的平面角互补，求；（3）证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于．（1）证明：取中点，连接，因为，所以，同理有，且，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）解：由（1）可知且，所以即为二面角的平面角，设，取中点，连接，因为，所以，同理有，所以即为二面角的平面角，设，在中，，设，由余弦定理有，在中，，同理，由余弦定