新版2026秋八年级上册数学月考压轴题专项

1(人教版·教师教学与学生培优通用)使用说明：本专项针对八年级上册月考压轴题题均附详细解答过程与方法点拨，建议学生先独立思考，再专题一三角形综合压轴题【题1】三角形内角和与外角综合(1)求∠BOC的度数；(2)若∠ABC=40°,求∠BOE的度数；(3)探究：若将条件“∠A=60°”改为“∠A=α含α的代数式表示);(4)在(3)的条件下，若过点O作FG//BC,分别交AB、AC于点F、G,求证：(1)因为∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。(2)因为∠ABC=40°,∠A=60°,所以∠ACB=180°-60°-40°=80°。2∠BOE是△COD的外角(对顶角关系),或者直接计算：(4)证明：因为BD平分∠ABC,所以∠FBO=∠OBC。所以∠FBO=∠FOB,所以FB=FO(等角对等边)。因为FG//BC,所以∠GOC=∠OCB。能需要重新分析。)本题考查三角形角平分线、内角和定理、平行线性质和等腰三角形判定。第(1)(3)问是经典结论——三角形两条角平分线的夹角等于90°加第三个角的一半；第(2)问利用对顶角或外角计算；第(4)问是“角平分线+平行线→(1)求这个多边形的边数；(2)这个多边形共有多少条对角线?3(3)若从这个多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把这个多边形分成多少个三角形?(4)若一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比相邻外角大108°,求这个多边形(1)设这个多边形的边数为n。答：这个多边形的边数为11。(2)n边形对角线的条数为n(n-3)/2。答：这个多边形共有44条对角线。当n=11时，可以分成11-2=9个三角形。答：可以把这个多边形分成9个三角形。(4)设每个外角为x°,则每个内角为(x+108)°。因为内角与相邻外角互补，所以x+(x+108)=180,解得x=36。答：这个多边形的边数为10。和=(n-2)×180°;(2)任意多边形外角和=360°;(3)n边形对角线条数=n(n-3)/2;(4)4从一个顶点出发可将n边形分成(n-2)个三角形。第(4)问利用“内角与相邻外角互补”5专题二全等三角形证明压轴题【题3】全等三角形与辅助线AC上，且BE=AF。(3)若AB=6,BE=2,求四边形AEDF的面积；(4)若点E在AB的延长线上，点F在AC的延长线上，其他条件不变，(1)(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由。(1)证明：连接AD。因为AB=AC,∠BAC=90°,D所以AD=BD=DC(直角三角形斜边中线等于斜边的一半),AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°,∠B=∠(2)证明：由(1)知△BDE≌△ADF,所以∠BDE=∠ADF。因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,即∠BDE+∠EDA=90°。所以∠ADF+∠EDA=90°,即∠E所以DE⊥DF。因为AB=AC=6,∠BAC=90°,所以BC=6√2,AD=BC/2=3√2。6答：四边形AEDF的面积为9。(4)结论仍然成立。理由：连接AD。所以AD=BD,AD⊥BC,∠ABD=∠ACD=45°,∠BAD=∠CAD=45°。当E在AB延长线上，F在AC延长线上时，所以DE⊥DF。结论仍然成立。本题是等腰直角三角形背景下的全等三角形证明题。关键辅助线是连接AD,利用等腰结论，从而构造全等三角形。第(3)问利用全等三角形面积相等，将四边形面积转化为三角形面积；第(4)问是变式探究，需要重新分析角度关系，证明思路与原题类似。【题4】截长补短法证明线段和差关系交于点F。7(1)求∠AFC的度数；AC=AE+CD?请说明理由。(1)因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°。(2)证明：在AC上截取AG=AE,连接FG。因为AD平分∠BAC,所以∠EAF=∠GAF。因为∠AFC=120°,所以∠AFE=180°-120°=60°(邻补角)。又因为∠CFD=∠AFE=60°(对顶角),所以∠CFG=∠CFD。因为CE平分∠BCA,所以∠DCF=∠GCF。因为AC=AG+CG,且AG=AE,CG=CD,所以AC=AE+CD。8(注：此题第(3)问较难，核心是分析截长补短法成立的条件——需要明剩下的部分等于另一条短线段。第(2)问的关键是在AC上截取AG=AE,构造全等三角形，再利用角度关系证明另一组全等。第(3)问需要逆向分析截长补短法成立9专题三轴对称与最短路径压轴题【题5】最短路径问题(1)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求点P的坐标及PA+PB的最小(3)在x轴上找一点M,在y轴上找一点N,使四边形AMN(4)若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求所有满足条件的点C的坐标。(1)作点A关于x轴的对称点A'(1,-3),连接A'B,与x轴交于点P。此时PA+PB=PA'+PB=A'B,值最小。设直线A'B的解析式为y=kx+b,代入A'(1,-3)、B(5,1):k+b=-3,5k+b=1,解得k=1,b=-4。所以y=x-4,令y=0,得x=4,所以P(4,0)。A'B=V[(5-1)²+(1+3)²]=√(16+16=√3(2)作点A关于y轴的对称点A"(-1,3),连接A"B,与y轴交于点Q。设直线A"B的解析式为y=kx+b,代入A"(-1,3)、B(5,1):令x=0,得y=8/3,所以Q(0,8/3)。(3)四边形AMNB的周长=AM+MN+NB+AB。其中AB为定值，要使周长最小，只需AM+MN+NB最小。作点A关于x轴的对称点A'(1,-3),作点B关于y轴的对称点B'(-5,1),连接A'B',与x轴交于M,与y轴交于N。此时AM+MN+NB=A'M+MN+NB'=A'B',值最小。设直线A'B'的解析式为y=kx+b,代入A'(1,-3)、B'(-5,1):k+b=-3,-5k+b=1,解得k=-2/3,b=-7/3。令x=0,得y=-7/3,所以N(0,-7/3)。对称点将折线段转化为直线段。第(1)(2)问是“两定点+一直线”的基本模型；第(3)问是“两定点+两直线”的模型，需要作两次对称；第(4)问是等腰三角形存在性问题，需要分类讨论(以AB为腰、以AB为底),注意不要遗漏任何一种情况。专题四整式乘法与因式分解压轴题【题6】乘法公式的灵活运用(2)若a=2024,求b+c的值；(3)若x满足(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0,试判断关于x的方程的根的情况；(4)若将条件改为a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状。理由：因为a²+b²+c²=ab+bc+ca,所以2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca,所以b+c=2024+2024=4048。(3)展开方程：相加得3x²-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0。方程化为3x²-6mx+3m²=0,即x²-2mx+m²=0,(x-m)²=0。所以方程有两个相等的实数根x₁=x₂=m=a。得a²-6a+b²-8b+c²-10c+50=所以a=3,b=4,c=5。因为32+4²=9+16=25=52,即a²+b²=c²,本题考查完全平方公式的灵活运用和配方法。第(1)问是经典题型，通过“两边乘2再配方”将等式转化为三个完全平方的和为0,从而得出三边相等；第(3)问需要先展开化简方程，再利用(1)的结论判断根的情况；第(4)问通过配方求出三边的具体长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状。配方法是【题7】因式分解的综合应用应用。例如：已知x+y=3,xy=2,求x²+y2的值(1)已知a+b=5,ab=3,求a²+b²和(a-b)²的值；(2)已知x²+y²+4x-6y+13=0,求x^y的值；(3)求证：对于任意正整数n,(n+7)²-(n-5)2能被24整除；(4)若a、b、c为三角形的三边长，且满足a²+b²+c²-ab-(a-b)²=a²-2ab+b²=(a+b)²-所以x+2=0,y-3=0,解得x=-2,y=3。所以x^y=(-2)³=-8。(3)证明：(n+7)²-(n-5)²=[(n+7)+(n-5)][(n+7)因为n是正整数，所以n+1是正整数，所以24(n+1)能被24整除，即(n+7)²-(n-5)²能被24整除。两边乘2得2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0,本题考查乘法公式和因式分解的综合应用。第(1)问利用完全平方公式的变形求值；第(2)问用配方法将方程转化为两个完全平方的和为0;第(3)问用平方差公式因式分解，证明整除性；第(4)问与题6第(1)问类似，用配方法判断三角形形状。这些题型都是整式乘法与因式分解章节的经典题型，专题五分式化简与应用压轴题【题8】分式化简求值先化简，再求值：(a²-4)/(a²-4a+4)-1/(2-a)÷2/(a²-2a),其中a是方程x²+3x-4=0的根。(1)化简上述分式；(4)若原分式的值为整数，求满足条件的整数a的值。(1)原式=[(a+2)(a-2)]/(a-2)²-1/(2-a)×(a²-2a)/2=(a+2)/(a-2)+1/(a-2)(2)解方程x²+3x-4=0,得(x+4)(x-1)=0,所以x=-4或x=1。(3)解不等式组：2a-1>0得a>1/2;a-2<0得a<2。所以1/2<a<2,整数解为a=1。(4)原式=(a²+4)/[2(a-2)]。要使原式为整数，需要t/2+4/t为整数。因为a是整数，所以t是整数且t≠0。t=1:1/2+4=4.5,不是整数；t=-2:-1-2=-3,是整数，a=0(但a=0时分式无意义，舍去);综上，满足条件的整数a的值为4、6、-2。本题考查分式的混合运算和化简求值。第(1)问要注意运算顺序，先乘除后加减，除法要转化为乘法；第(2)问要注意分式有意义的条件(分母不为0),舍去使分母为0的根；第(3)问先解不等式组确定a的取值范围，再取整数解；第(4)问是分式值为整数的问题，常用换元法(令a-2=t)将分式拆分为整式加分式的形式，再分析整除【题9】分式方程应用某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需340元；购进A商品5件和B商品4件，共需620元。(2)若该商店准备用不超过4000元的资金购进A、B两种商品共50件，且A商品的数量不少于B商品数量的2倍，问有几种进货方案?(3)在(2)的条件下，若A商品每件售价120元，B商品每件售价80元，问哪种进货方案获得的利润最大?最大利润是多少?(4)若该商店将A商品的售价提高a元(a>0),B商品的售价不变，在(2)的条件下，要使所有进货方案获得的利润都相同，求a的值。由题意得3x+2y=340,5x+4y=620。解得x=60,y=80。答：A商品每件进价60元，B商品每件进价80元。(2)设购进A商品m件，则购进B商品(50-m)件。由题意得60m+80(50-m)≤4000,即4000-20m≤4000,m≥0。又m≥2(50-m),即m≥100-2m,3m≥100,m≥100/3又m≤50,且m为整数，所以m=34、35、...、50,共17种方案。(3)设利润为W元，则W=(120-60)m+(80-80)(50-m)=60因为60>0,所以W随m的增大而增大。答：购进A商品50件、B商品0件时，利润最大，最大利润为3000元。(4)A商品售价提高a元后，每件利润为(60+a)元，B商品每件利润为0元。W=(60+a)m+0×(50-m)=(需要60+a=0,即a=-60。但题目要求a>0,所以不存在这样的a值。(注：若B商品也有利润，设B商品每件利润为b元，则W=(60+a)m+b(50-m)=(60+a-要使W与m无关，需要60+a-b=0,即a=b-60。此题中B商品利润为0,所以a=-60,不符合a>0的条件。)本题是分式方程(实际为二元一次方程组)与不等式的综合应用题。第(1)问列二元一次方程组求进价；第(2)问根据资金限制和数量关系列不等式组，确定进货方案数；第(3)问建立利润函数，根据一次函数的增减性求最大值；第(4)问是“利润与进货方案无关”的问题，需要利润表达式中m的系数为0。注意第(3)问中B商品的利润率为0(售价=进价),这是题目设计的特殊条件。【题10】几何综合探究题板的30°角顶点放在点D处，三角板绕点D旋转，三角板的两边分别交AB、AC于点(1)如图1,当三角板的两边分别与AB、AC垂直时，求证：DE=DF;(2)如图2,当三角板旋转到任意位置时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请(3)在(2)的条件下，